ABCD সামান্তরিকের \(\angle \mathrm{B}=60^{\circ}\)
\(\therefore \angle D=\angle B=60^{\circ}\) [ বিপরীত কোণ]
আবার, \(\angle \mathrm{B}+\angle \mathrm{C}=180^{\circ}\)
\(\begin{aligned} \therefore \angle C &=180^{\circ}-B \\ &=180^{\circ}-60^{\circ} \\ &=120^{\circ} \end{aligned}\)
\(\therefore \angle A=\angle C=120^{\circ}\) [বিপরীত কোণ]
\(\therefore\) সামান্তরিকটির \(\angle \mathrm{A}=120^{\circ}, \angle \mathrm{B}=60^{\circ}, \angle \mathrm{C}=120^{\circ}\) এবং \(\angle \mathrm{D}=60^{\circ}\)

আমরা জানি সামান্তরিকের \(\angle \mathrm{PQR}=55^{\circ}\) এবং \(\angle \mathrm{PRS}=70^{\circ}\)
PQRS সামান্তরিকের,
\(\angle \mathrm{PQR}+\angle \mathrm{QRS}=180^{\circ}\)
\(\therefore \angle \mathrm{PQR}+\angle \mathrm{PRQ}+\angle \mathrm{PRS}=180^{\circ}\)
\(\therefore 55^{\circ}+\angle \mathrm{PRQ}+70^{\circ}=180^{\circ}\)
\(\therefore \angle \mathrm{PRQ}=180^{\circ}-125^{\circ}\)
\(\therefore \angle \mathrm{PRQ}=55^{\circ}\)

ABCD সামান্তরিকের \(\angle \mathrm{BAD}\)-এর সমদ্বিখণ্ডক AP
\(\therefore \angle P A B=\angle P A D\)
আবার \(\angle \mathrm{ADC}\)-এর সমদ্বিখণ্ডক DP
\(\therefore \angle P D C=\angle P D A\)
আবার সামান্তরিক ABCD হতে পাই, \(\angle \mathrm{DAB}+\angle \mathrm{DAC}=180^{\circ}\)
\(\therefore \angle \mathrm{PAB}+\angle \mathrm{PAD}+\angle \mathrm{PDA}+\angle \mathrm{PDC}=180^{\circ}\)
\(\angle P A D+\angle P A D+\angle P D A+\angle P D A=180^{\circ}\)
\([\because \angle \mathrm{PAB}=\angle \mathrm{PAD}\) এবং \(\angle \mathrm{PDC}=\angle \mathrm{PDA}\)
বা, \(2 \angle \mathrm{PAD}+2 \angle \mathrm{PDA}=180^{\circ}\)
\(\therefore \angle \mathrm{PAD}+\angle \mathrm{PDA}=90^{\circ} \\ \angle \mathrm{APD}=180^{\circ}-(\angle \mathrm{PAD}+\angle \mathrm{PDA}) \\=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ} \) সুতরাং \(\angle \mathrm{APD}\)-এর মান 90°

\(\angle \mathrm{SQR}=25^{\circ}\)
\(\therefore \angle \mathrm{PSQ}\) = একান্তর \(\angle \mathrm{SQR}=25^{\circ}\)
আবার \(\angle \mathrm{PSQ}+\angle \mathrm{QSR}=90^{\circ}\)
\(\therefore \angle Q S R=90^{\circ}-25^{\circ}=65^{\circ}\)
আমরা জানি আয়তক্ষেত্রের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
অর্থাৎ \(\angle \mathrm{PSQ}=\angle \mathrm{SPR}=25^{\circ}\)
\(\therefore Y^{\circ}=180^{\circ}-\left(25^{\circ}+25^{\circ}\right)=130^{\circ}\)
\(\therefore X^{\circ}=\angle Q S R=65^{\circ}\)
\(\therefore \mathrm{X}=65^{\circ}\) এবং \(\mathrm{Y}=130^{\circ}\)

PQRS সামান্তরিকে \(\angle \mathrm{QOR}=100^{\circ}\)
\(\therefore \angle \mathrm{POS}=100^{\circ}\)
\(\therefore 2 Y^{\circ}+100=180^{\circ}\)
বা, \(2 \mathrm{Y}^{\mathrm{o}}=80^{\circ}\)
বা, \(Y^{\circ}=40^{\circ}\)
\(\therefore X^{0}=90^{\circ}-40^{\circ}=50^{\circ}\)
\(X=50^{\circ}\) এবং \(Y=40^{\circ}\)

যেহেতু ABCD একটি সামান্তরিক।
\(\therefore A B \| C D\) এবং AB = CD
আবার যেহেতু ABEF একটি সামান্তরিক
\(\therefore \mathrm{AB} \| \mathrm{BF}\) এবং AB = EF
\(\because\) AB = CD এবং AB = EF
\(\therefore\) CD = EF
আবার যেহেতু \(\mathrm{AB} \| \mathrm{CD}\) এবং \(\mathrm{AB} \| \mathrm{EF}\)
\(\therefore \mathrm{CD} \| \mathrm{EF}\)
\(\therefore\) CDFE চতুর্ভুজের \(\mathrm{CD} \| \mathrm{EF}\) এবং CD = EF
\(\therefore\) CDFE একটি সামান্তরিক।

ধরা যাক ABCD একটি সামান্তরিক যার AB > AD
প্রমাণ করতে হবে \(\angle \mathrm{BAC} প্রমাণ : \(\mathrm{AD} \| \mathrm{BC}\) ও AC ছেদক।
\(\therefore \angle D A C\) = একান্তর \(\angle\)ACB
আমরা জানি, কোন ত্রিভুজের বৃহত্তম বাহুর বিপরীত কোণ বৃহত্তম হয়।
সুতরাং, \(\Delta \mathrm{ABC}\) হতে পাই,
\(\angle A B C>\angle A C B>\angle B A C\)
\(\therefore \angle \mathrm{ACB}>\angle \mathrm{BAC}\)
\(\therefore \angle D A C>\angle B A C[\because \angle D A C=\angle A C B]\)
\(\therefore \angle \mathrm{BAC}