সমাধান : মনে করি, একটি পেনের মূল্য = \(x\) টাকা
একটি টি পেনসিলের = y টাকা
\(5 x+3 y-34=0\)
\(7 x+6 y-53=0\)
বজ্রগুণন পদ্ধতিতে পাই,
\(\frac{x}{-159+204}=\frac{y}{-238+265}=\frac{1}{30-21}\)
বা, \(\frac{x}{45}=\frac{y}{27}=\frac{1}{9}\)
\(\therefore x=\frac{45}{9}=5, \quad y=\frac{27}{9}=3\)
\(\therefore\) একটি পেনের মূল্য 5 টাকা ও একটি পেনসিলের মূল্য 3 টাকা।

সমাধান : মনে করি, আয়েশার ওজন \(x\) কিগ্রা, রফিকের ওজন y কিগ্রা,
\(\therefore x+y=85\)
বা, \( x+y-85=0\)
\(\frac{x}{2}=\frac{4 y}{9}\)
বা, \(9 x=8 y\)
\(9 x-8y-0=0\)
বজ্রগুণন পদ্ধতিতে পাই,
\(\frac{x}{-680}=\frac{y}{-765}=\frac{1}{-8-9}\)
\(\therefore x=\frac{680}{17}=40, \quad y=\frac{765}{17}=45\)
\(\therefore\)আয়েশার ওজন 40 কিগ্রা. ও রফিকের ওজন 45 কিগ্রা

সমাধান : মনে করি, কাকাবাবুর বর্তমান বয়স = \(x\) বছর।
ও বোনের বর্তমান বয়স = y বছর।
প্রথম শর্তানুসারে,
\(x=2 y\).........(i)
10 বছর আগে আমার কাকার বয়স\((x-10)\)ও আমার বোনের বয়স \((y-10)\)বছর ছিল।
দ্বিতীয় শর্তানুসারে,
\(x-10=3(y-10)\)
বা, \(x-10=3y-30\)
বা, \(x=3y-30+10\)
\(\therefore x=3y-20\)........(ii) (i) ও (ii) সমীকরণ হতে \(x\)-এর মান তুলনা করে পাই,
\(2y=3y-20\)
বা, \(2y-3y=20\)
বা, \(-y=-20\)
বা, \(y=20\)
(i) নং সমীকরণে \(x\) -এর মান বসিয়ে পাই,
\(x=2\times20=40\)
\(\therefore\) কাকাবাবুর বর্তমান বয়স =40 বছর
ও বোনের বর্তমান বয়স = 20 বছর।

মনে করি, 5 টাকার নোট পেয়েছেন \(x\) টি ও 10 টাকা নোট পেয়েছেন y টি, \(x\) টি 5 টাকার নোটের মূল্য \(5x\) টাকা ও y টি 10 টাকার নোটের মূল্য \(10y\) টাকা।
প্রথম শর্তানুসারে, \(5 x+10 y=590\)
বা, \(x+2 \mathrm{y}=118 \quad \therefore x=118-2 \mathrm{y}\ldots(i)\)
দ্বিতীয় শর্তানুসারে, \(x+y=70 \quad \therefore x=70-y\ldots(ii)\)
(i) ও (ii) নং সমীকরণ হতে \(x\)-এর মান তুলনা করে পাই,
\(118-2 y=70-y\)
বা, \(-2 y+y=70-118\)
বা, \(-y=-48\)
বা, y = 48
(ii) নং সমীকরণে y-র মান বসিয়ে পাই,
\(x=70-48=22\)
\(\therefore\) তিনি ব্যাংক থেকে 22 টি 5 টাকার নোট ও 48 টি 10 টাকার নোট পেয়েছিলেন।

মনে করি, প্রকৃত ভগ্নাংশ টির লব \(x\) এবং হর y;
\(\therefore\) প্রকৃত ভগ্নাংশটি \(\frac{x}{y}\)
প্রথম শর্তানুসারে, \(\mathrm{y}=x+5\ldots(i)\)
দ্বিতীয় শর্তানুসারে, \(\frac{x+3}{y+3}=\frac{3}{4}\)
বা, \(3 y+9=4 x+12\)
বা, \(3 y=4 x+12-9\)
বা, \(3 y=4 x+3 \quad \therefore y=\frac{4 x+3}{3}\ldots(ii)\)
(i) ও (ii) নং সমীকরণ হতে y-এর মান তুলনা করে পাই,
\(x+5=\frac{4 x+3}{3}\)
বা, \(4 x+3=3 x+15\)
বা, \(4 x-3 x=15-3\)
বা, \(x=12\)
(i) নং সমীকরণে \(x\)-এর মান বসিয়ে পাই,
\(y=12+5=17\)
\(\therefore\) প্রকৃত ভগ্নাংশটি \(\frac{12}{17}\)

মনে করি, প্রথম সংখ্যাটি \(x\) এবং দ্বিতীয় সংখ্যাটি y
প্রথম শর্তানুসারে, \(x+21=2 y\)
\(\therefore x=2 y-21\ldots(i)\)
দ্বিতীয় শর্তানুসারে, \(y+12=2 x\)
বা, \(\frac{y+12}{2}=x \quad \therefore x=\frac{y+12}{2}\ldots(ii)\)
(i) ও (ii) নং সমীকরণ হতে \(x\)-এর মান তুলনা করে পাই,
\(2 y-21=\frac{y+12}{2}\)
বা, \(4 y-42=y+12\)
বা, \(4 y-y=12+42\)
বা, \(3 y=54\)
বা, \(y=\frac{54^{18}}{3}=18\)
(i) নং সমীকরণে y-এর মান বসিয়ে পাই,
\(x=2 \times 18-21=36-21=15\)
\(\therefore\) প্রথম সংখ্যা 15 এবং দ্বিতীয় সংখ্যা 18

মনে করি, লালিমা ও রমেন পৃথকভাবে কাজ করলে যথাক্রমে \(x\) দিনে ও y দিনে কাজটি শেষ করতে পারে।
লালিমা 4 দিন করে \(\frac{4}{x}\) অংশ
এবং রমেন 3 দিনে করে \(\frac{3}{y}\) অংশ
প্রথম শর্তানুসারে, \(\frac{4}{x}+\frac{3}{y}=\frac{2}{3}\)
বা, \(\frac{4}{x}=\frac{2}{3}-\frac{3}{y}\)
বা, \(\frac{4}{x}=\frac{2 y-9}{3 \mathrm{y}} \quad \therefore \frac{1}{x}=\frac{2 y-9}{12 \mathrm{y}}\ldots(i)\)
আবার, লালিমা 3 দিনে করে \(\frac{3}{x}\) অংশ
এবং রমেন 6 দিনে করে \(\frac{6}{y}\) অংশ।
দ্বিতীয় শর্তানুসারে, \(\frac{3}{x}+\frac{6}{y}=\frac{11}{12}\)
বা, \(\frac{3}{x}=\frac{11}{12}-\frac{6}{y}\)
বা, \(\frac{3}{x}=\frac{11 y-72}{12 y}\)
\(\therefore \frac{1}{x}=\frac{11 y-72}{36 y}\ldots(ii)\)
(i) ও (ii) নং সমীকরণ হতে \(\frac{1}{x}\)-এর মান তুলনা করে পাই,
\(\frac{2 y-9}{12 y}=\frac{11 y-72}{36 y}\)
বা, \(\frac{2 y-9}{1}=\frac{11 y-72}{3}\)
বা, \(11 y-72=6 y-27\)
বা, \(11 y-6 y=72-27\)
বা, \(5 y=45\)
বা, \(y=\frac{45^{9}}{5}=9\)
(i) নং সমীকরণে y-এর মান বসিয়ে পাই,
\(\frac{1}{x}=\frac{2 \times 9-9}{12 \times 9}=\frac{g}{12 \times 8}=\frac{1}{12}\)
বা, \(x=12\)
\(\therefore\) লালিমা পৃথকভাবে 12 দিনে ও রমেন পৃথকভাবে 9 দিনে কাজ করতে পারে।

মনে করি, প্রথম প্রকারের \(x\) লিটার শরবতের সহিত দ্বিতীয় প্রকারের y লিটার শরবত মেশানো হল।
প্রথম শর্তানুসারে, \(\frac{5 x}{100}+\frac{8 y}{100}=9 \frac{2}{3}\)
বা, \(\frac{5 x+8 y}{100}=\frac{29}{3}\)
\(\therefore 15 x+24 y=2900\ldots(i)\)
দ্বিতীয় শর্তানুসারে, \(x+y=150\)
\(\therefore x=150-y\ldots(ii)\)
(i) নং সমীকরণে \(x\)-এর পরিবর্তে \((150-y)\) বসিয়ে পাই,
\(15(150-y)+24 y=2900\)
বা, \(2250-15 y+24 y=2900\)
বা, \(9 y=2900-2250\)
বা, \(y=\frac{650}{9}=72 \frac{2}{9}\)
(ii) নং সমীকরণে \(y=\frac{650}{9}\) বসিয়ে পাই,
\(x=150-\frac{650}{9}=\frac{1350-650}{9}\)
\(=\frac{700}{9}=77 \frac{7}{9}\)
\(\therefore\) প্রথম প্রকারের \(77 \frac{7}{9}\) লিটার শরবত এর সহিত দ্বিতীয় প্রকার \(72 \frac{2}{9} f\) লিটার শরবত মেশানো হয়েছিল।

মনে করি, অখিলবাবুর প্রাপ্ত ভোট \(x\) টি এবং ছন্দা দেবীর প্রাপ্ত ভোট y টি।
প্রথম শর্তানুসারে, \(x-y=75 \quad \therefore x=75+y\ldots(i)\)
অখিল বাবুর ভোটের \(20 \%=\left(x\right.\) এর \(\left.\frac{20}{100}\right)\) টি \(=\frac{x}{5}\) টি
দ্বিতীয় শর্তানুসারে, \(\left(y+\frac{x}{5}\right)-\left(x-\frac{x}{5}\right)=19\ldots(ii)\)
বা, \(y+\frac{x}{5}+\frac{x}{5}-x=19\)
বা, \(\frac{5 y+x+x-5 x}{5}=19\)
বা, \(5 y-3 x=95\)
বা, \(5 y-3(75+y)=95\)
[\(x\) এর পরিবর্তে (75 + y) বসিয়ে পাই]
বা, \(5 y-225-3 y=95\)
বা, \(2 y=320\)
বা, \(y=160\)
(i) নং সমীকরণে y-এর মান বসিয়ে পাই,
বা, \(x=160+75=235\)
\(\therefore\) অখিলবাবু ভোট পায় 235 টি ও ছন্দাদেবী ভোট পায় 160 টি।

মনে করি, রফিকদের আয়তক্ষেত্রাকার মেঝের দৈর্ঘ্য \(x\) মিটার ও প্রস্থ y মিটার।
\(\therefore\) মেঝের ক্ষেত্রফল \(xy\) বর্গমিটার।
প্রথম শর্তানুসারে, \((x+2)(y+3)=x y+75\)
বা, \(x y+3 x+2 y+6=x y+75\)
বা, \(3 x=x y+75-x y-2 y-6\)
বা, \(3 x=69-2 y \quad \therefore x=\frac{69-2 y}{3}\ldots(i)\)
দ্বিতীয় শর্তানুসারে, \((x-2)(y+3)=x y+15\)
বা, \(x y+3 x-2 y-6=x y+15\)
বা, \(3 x=x y+15-x y+2 y+6\)
বা, \(3 x=21+2 y \quad \therefore x=\frac{21+2 y}{3}\ldots(ii)\)
(i) ও (ii) নং সমীকরণ হতে \(x\)-এর মান তুলনা করে পাই,
\(\frac{69-2 y}{3}=\frac{21+2 y}{3}\)
বা, \(69-2 y=21+2 y\)
বা, \(69-21=2 y+2 y\)
বা, \(48=4 y\)
বা, \(y=\frac{48}{4}=12\)
(ii) নং সমীকরণে y-এর মান বসিয়ে পাই,
\(x=\frac{21+2 \times 12}{3}=\frac{21+24}{3}=\frac{45^{15}}{3}=15\)
\(\therefore\) রফিকদের আয়তাকার মেঝের দৈর্ঘ্য 15 মিটার ও প্রস্থ 12 মিটার।

মনে করি, মেরির কাছে \(x\) টাকা এবং ঈশানের কাছে y টাকা আছে।
প্রথম শর্তানুসারে, \(x+\frac{y}{3}=200\)
বা, \(3 x+y=600 \quad \therefore y=600-3 x\ldots(i)\)
দ্বিতীয় শর্তানুসারে, \(y+\frac{x}{2}=200\)
বা, \(2 \mathrm{y}+x=400\)
বা, \(2 \mathrm{y}=400-x \quad \therefore \mathrm{y}=\frac{400-x}{2}\)
(i) ও (ii) নং সমীকরণ হতে y-এর মান তুলনা করে পাই,
\(600-3 x=\frac{400-x}{2}\)
বা, \(1200-6 x=400-x\)
বা, \(1200-400=-x+6 x\)
বা, \(800=5 x\)
বা, \(x=\frac{800}{5}=160\)
(i) নং সমীকরণে \(x\)-এর মান বসিয়ে পাই,
\(y=600-3 \times 160=600-480=120\)
\(\therefore\) মেরির কাছে আছে 160 টাকা ও ঈশানের কাছে আছে 120 টাকা।

মনে করি, মেলায় গিয়েছিল \(x\) জন এবং দাদু মোট y টাকা দিয়েছিলেন। যদি 2 জন বন্ধু কম থাকত তবে y টাকা \((x – 2)\) জনের মধ্যে সমান ভাগে ভাগ করে দিলে প্রত্যেকে পেত \(\frac{y}{x-2}\) টাকা করে।
\(\therefore\) প্রথম শর্তানুসারে, \(\frac{y}{x-2}=18 \quad \therefore y=18(x-2)\ldots(i)\)
আবার যদি 3 জন বন্ধু বেশি থাকতো তবে y টাকা \((x + 3)\) জনের মধ্যে সমানভাগে ভাগ করে দিলে প্রত্যেকে পেত \(\frac{y}{x+3}\) টাকা করে।
দ্বিতীয় শর্তানুসারে, \(\frac{y}{x+3}=12 \therefore y=12(x+3)\ldots(ii)\)
(i) নং ও (ii) নং সমীকরণ হতে y-এর মান তুলনা করে পাই,
বা, \(18(x-2)=12(x+3)\)
বা, \(3(x-2)=2(x+3)\)
বা, \(3 x-6=2 x+6\)
বা, \(3 x-2 x=6+6\)
বা, \(x=12\)
(i) নং সমীকরণে \(x\)-এর মান বসিয়ে পাই,
\(y=18(12-2)=18 \times 10=180\)
\(\therefore\) দাদার বন্ধুরা ছিল 12 জন এবং দাদু মোট 180 টাকা দিয়েছিলেন।

মনে করি, ওই থলিতে 1 টাকার মুদ্রা ছিল \(x\) টি যার মূল্য \(x\) টাকা এবং 50 পয়সার মুদ্রা ছিল y টি যার মূল্য \(\frac{y}{2}\) টাকা।
প্রথম শর্তানুসারে, \(x+\frac{y}{2}=350\)
বা, \(x=350-\frac{y}{2} \therefore x=\frac{700-y}{2}\ldots(i)\)
আমার বোন ওই থলি থেকে এক-তৃতীয়াংশ 50 পয়সার মুদ্রা বের করে নিলে এখন ঐ থলিতে 50 পয়সার মুদ্রার সংখ্যা হয় \(\left(y-\frac{y}{3}\right)\) টি যার মূল্য \(\frac{1}{2}\left(y-\frac{y}{3}\right)\) টাকা। এইবার সমসংখ্যক 1 টাকার মুদ্রা ওই থলিতে রাখলে এখন থলিতে 1 টাকার মুদ্রার সংখ্যা হয় \(\left(x+\frac{y}{3}\right)\) টি যার মূল্য \(\left(x+\frac{y}{3}\right)\) টাকা।
দ্বিতীয় শর্তানুসারে, \(\frac{1}{2}\left(y-\frac{y}{3}\right)+\left(x+\frac{y}{3}\right)=400\)
বা, \(y-\frac{y}{3}+2 x+\frac{2 y}{3}=800\)
বা, \(2 x=800+\frac{y}{3}-\frac{2 y}{3}-y\)
বা, \(2 x=\frac{2400+y-2 y-3 y}{3}\)
বা, \(x=\frac{2400-4 y}{6}\)
বা, \(x=\frac{2(1200-2 y)}{\sigma_{3}} \quad \therefore x=\frac{1200-2 y}{3}\ldots(ii)\)
(i) ও (ii) নং সমীকরণ হতে x-এর মান তুলনা করে পাই,
\(\frac{700-y}{2}=\frac{1200-2 y}{3}\)
বা, \(2100-3 y=2400-4 y\)
বা, \(-3 y+4 y=2400-2100\)
বা, \(y=300\)
(i) নং সমীকরণে y-এর মান বসিয়ে পাই,
\(x=\frac{700-300}{2}=\frac{400}{2}=200\)
\(\therefore\) থলিতে 1 টাকার মুদ্রা 200 টি ও 50 পয়সার মুদ্রা 300 টি ছিল।

মনে করি, আমাদের বাড়ি থেকে মামার বাড়ির দূরত্ব \(x\) কিমি এবং মোটর গাড়ির গতিবেগ y কিমি / ঘণ্টা।
\(\therefore\) মামার বাড়ি যাবার স্বাভাবিক সময় \(\frac{x}{y}\) ঘণ্টা।
প্রথম শর্তানুসারে, \(\frac{x}{y+9}=\frac{x}{y}-3\)
বা, \(\frac{x}{y+9}-\frac{x}{y}=-3\)
বা, \(x\left(\frac{1}{y+9}-\frac{1}{y}\right)=-3\)
বা, \(x \cdot\left[\frac{y-y-9}{y(y+9)}\right]=-3\)
বা, \(x=\frac{-3 y(y+9)}{-9}\)
\(\therefore x=\frac{1}{3} y(y+9)\ldots(i)\)
দ্বিতীয় শর্তানুসারে, \(\frac{x}{y-6}=\frac{x}{y}+3\)
বা, \(\frac{x}{y-6}-\frac{x}{y}=3\)
বা, \(x\left(\frac{1}{y-6}-\frac{1}{y}\right)=3\)
বা, \(x.\frac{y-y+6}{y(y-6)}=3\)
বা, \(x=\frac{3 y(y-6)}{6}\)
\(\therefore x=\frac{1}{2} y(y-6)\ldots(ii)\)
(i) ও (ii) নং সমীকরণ হতে \(x\)-এর মান তুলনা করে পাই,
\(\frac{y(y+9)}{3}=\frac{y(y-6)}{2}\)
বা, \(\frac{y+9}{3}=\frac{y-6}{2} \quad[\because y \neq 0]\)
বা, \(2 y+18=3 y-18\)
বা, \(18+18=3 y-2 y\)
\(\therefore y=36\)
(i) নং সমীকরণে y-এর মান বসিয়ে পাই,
\(x=\frac{1}{3} \times 36^{12}(36+9)=12 \times 45=540\)
\(\therefore\) আমাদের বাড়ি থেকে মামার বাড়ির দূরত্ব 540 কিমি এবং মোটর গাড়ির গতিবেগ ঘন্টায় 36 কিমি।

মনে করি, সংখ্যাটির এককের ঘরের অঙ্ক \(x\) এবং দশকের ঘরের অঙ্ক y।
সংখ্যাটি \((10y + x)\)
প্রথম শর্তানুসারে, \(10 y+x=4(x+y)+3\)
বা, \(10 y+x=4 x+4 y+3\)
বা, \(10 y-4 y=4 x-x+3\)
বা, \(6 y=3 x+3\)
বা, \(y=\frac{3(x+1)}{6}\)
\(\therefore y=\frac{x+1}{2}\ldots(i)\)
সংখ্যাটির অঙ্কদ্বয়ের স্থান বিনিময় করলে সংখ্যাটি \((10 x+y)\)
দ্বিতীয় শর্তানুসারে, \(10 x+y=10 y+x+18\)
বা, \(10 x-x-18=10 y-y\)
বা, \(9 x-18=9 y\)
বা, \(\frac{9(x-2)}{9}=y \quad \therefore y=x-2\ldots(ii)\)
(i) ও (ii) নং সমীকরণ হতে y-এর মান তুলনা করে পাই,
বা, \(\frac{x+1}{2}=x-2\)
বা, \(2 x-4=x+1\)
বা, \(2 x-x=1+4\)
বা, \(x=5\)
(ii) নং সমীকরণে \(x\)-এর মান বসিয়ে পাই,
y = 5 - 2 = 3
\(\therefore\) নির্ণেয় সংখ্যাটি \((10 \times 3+5)=35\)

মনে করি, দুই অঙ্কের সংখ্যাটির এককের ঘরের অঙ্কটি \(x\) এবং দশকের ঘরের অঙ্কটি y
\(\therefore\) সংখ্যাটি \((10 y+x)\)
প্রথম শর্তানুসারে, \(x+y=14\)
\(\therefore x=14-y\ldots(i)\)
সংখ্যাটি থেকে 29 বিয়োগ করলে প্রাপ্ত সংখ্যাটি হয়
\(10 \mathrm{y}+x-29=10 \mathrm{y}+x-30+1\)
\(=10(y-3)+(x+1)\)
\(\because\) অঙ্কদ্বয় সমান তাই
দ্বিতীয় শর্তানুসারে, \(x+1=y-3\)
বা, \(x=y-3-1 \quad \therefore x=y-4\ldots(ii)\)
(i) ও (ii) নং সমীকরণ হতে \(x\)-এর মান তুলনা করে পাই,
\(14-y=y-4\)
বা, \(14+4=y+y\)
বা, \(18=2 y\)
বা, \(y=\frac{18}{2}=9\)
(i) নং সমীকরণ হতে y-এর মান বসিয়ে পাই,
বা, \(x=14-9=5\)
\(\therefore\) নির্ণেয় সংখ্যাটি \(10 \times 9+5=95\)

মনে করি, স্থির জলে নৌকার গতিবেগ \(x\) মাইল/ঘণ্টা এবং স্রোতের গতিবেগ y মাইল/ঘণ্টা।
\(\therefore\) স্রোতের অনুকূলে নৌকার কার্যকরী বেগ \((x+y)\) মাইল/ঘণ্টা এবং স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার কার্যকরী বেগ \((x – y)\) মাইল/ঘণ্টা।
প্রথম শর্তানুসারে, \(6(x+y)=30\)
বা, \(x+y=5\)
\(\therefore x=5-y\ldots(i)\)
দ্বিতীয় শর্তানুসারে, \(10(x-y)=30\)
বা, \(x-y=3 \quad \therefore x=3+y\ldots(ii)\)
(i) ও (ii) নং সমীকরণ হতে \(x\)-এর মান তুলনা করে পাই,
\(5-y=3+y\)
বা, \(5-3=y+y\)
বা, \(2 y=2\)
বা, y = 1
(i) নং সমীকরণে y-এর মান বসিয়ে পাই,
\(x=5-1=4\)
\(\therefore\) স্থির জলে নৌকার বেগ 4 মাইল / ঘণ্টা এবং স্রোতের বেগ 1 মাইল / ঘণ্টা।

মনে করি, ট্রেনটির প্রারম্ভিক বেগ ঘণ্টায় \(x\) কিমি এবং নির্দিষ্ট সময় y ঘণ্টা।
\(\therefore\) গন্তব্যস্থলের দূরত্ব \(xy\) কিমি
প্রথম অবস্থায় ট্রেনটি 1 ঘণ্টায় অতিক্রম করে x কিমি এবং তারপর বিশেষ কারণে 1 ঘণ্টা দেরি করে বাকি \((xy – x)\) কিমি পথ অতিক্রম করে ঘণ্টায় \(\frac{3 x}{5}\) কিমি বেগে।

এখন \(\frac{3 x}{5}\) কিমি / ঘণ্টা বেগে \((xy – x)\) কিমি পথ যেতে সময় লাগে \(=\frac{x y-x}{\frac{3 x}{5}}\) ঘণ্টা
\(=x(y-1) \times \frac{5}{3 x}\) ঘণ্টা \(=\frac{5 y-5}{3}\) ঘণ্টা
প্রথম শর্তানুসারে, \(1+1+\frac{5 y-5}{3}=y+3\)
বা, \(\frac{5 y-5}{3}-y=3-1-1\)
বা, \(\frac{5 y-5-3 y}{3}=1\)
বা, \(2 y-5=3\)
বা, \(2 y=8\)
বা, y = 4
আবার বিশেষ কারণটি পূর্বের স্থান থেকে 50 কিমি দূরবর্তী স্থানে হলে ট্রেনটি \((x + 50)\) কিমি পথ অতিক্রম করে \(x\) কিমি/ঘণ্টা বেগে। \(x\) কিমি / ঘণ্টা বেগে \((x +50)\) কিমি পথ যেতে সময় লাগে \(\frac{x+50}{x}\) ঘণ্টা। এরপর ট্রেনটি 1 ঘণ্টা দেরি করে এবং অবশিষ্ট \([x y-(x+50)]\) কিমি পথ অতিক্রম করে \(\frac{3 x}{5}\) কিমি / ঘণ্টা বেগে।

\(\frac{3 x}{5}\) কিমি বেগে \((x y-x-50)\) কিমি পথ যেতে সময় লাগে \(\frac{x y-x-50}{\frac{3 x}{5}}\) ঘণ্টা \(=\frac{5(x y-x-50)}{3 x}\) ঘণ্টা
\(=\frac{5(x .4-x-50)}{3 x}\) ঘণ্টা \([\because y=4]\)
\(=\frac{5(3 x-50)}{3 x}\) ঘণ্টা
দ্বিতীয় শর্তানুসারে,
\(\frac{x+50}{x}+1+\frac{5(3 x-50)}{3 x}=4+3-1 \frac{20}{60}\ldots(ii)\)
বা, \(1+\frac{50}{x}+1+5-\frac{250}{3 x}=7-1 \frac{1}{3}\)
বা, \(\frac{50}{x}-\frac{250}{3 x}=7-7-\frac{4}{3}\)
বা, \(\frac{150-250}{3 x}=-\frac{4}{3}\)
বা, \(\frac{- 100}{x}=- 4\)
বা, \(x=\frac{100}{4}=25\)
\(\therefore\) ট্রেনটির গতিবেগ 25 কিমি/ঘণ্টা এবং ট্রেনটি মোট \(=(25 \times 4)\) কিমি বা 100 কিমি পথ চলেছিল।

মনে করি, দুই অঙ্কের সংখ্যাটির এককের অঙ্ক \(x\) এবং দশকের অঙ্কটি y,
\(\therefore\) সংখ্যাটি \(10 y+x\)
প্রথম শর্তানুসারে, \(10 y+x=6(x+y)+6\)
বা, \(10 y+x=6 x+6 y+6\)
বা, \(10 y-6 y=6 x-x+6\)
বা, \(4 y=5 x+6 \quad \therefore y=\frac{5 x+6}{4}\ldots(i)\)
সংখ্যাটির অঙ্কদ্বয় স্থান পরিবর্তন করলে উৎপন্ন সংখ্যাটি \(10 y+x\)
দ্বিতীয় শর্তানুসারে, \(10 x+y=4(x+y)+9\)
বা, \(10 x+y=4 x+4 y+9\)
বা, \(10 x-4 x-9=4 y-y\)
বা, \(6 x-9=3 y\)
বা, \(3 y=6 x-9 \quad \therefore y=2 x-3\ldots(ii)\)
(i) ও (ii) নং সমীকরণ হতে y-এর মান তুলনা করে পাই,
\(\frac{5 x+6}{4}=2 x-3\)
বা, \(8 x-12=5 x+6\)
বা, \(8 x-5 x=6+12\)
বা, \(3 x=18\)
বা, \(x=6\)
(ii) নং সমীকরণে \(x\)-এর মান বসিয়ে পাই,
\(y=2 \times 6-3=12-3=9\)
\(\therefore\) নির্ণেয় সংখ্যা \(10 \times 9+6=96\)

মনে করি, বাক্স সংখ্যা \(x\) টি এবং প্রতিবাক্সে কমলালেবুর সংখ্যা y টি
\(\therefore\) মোট কমলালেবু সংখ্যা \(xy\) টি
প্রথম শর্তানুসারে, \((x-3)(y+20)=x y\)
বা, \(x y+20 x-3 y-60-x y=0\)
বা, \(20 x=3 y+60 \quad \therefore x=\frac{3 y+60}{20}\ldots(i)\)
দ্বিতীয় শর্তানুসারে, \((x+1)(y-5)=x y\)
বা, \(x y-5 x+y-5-x y=0\)
বা, \(y-5=5 x \quad \therefore x=\frac{y-5}{5}\ldots(i)\)
(i) ও (ii) নং সমীকরণ হতে \(x\)-এর মান তুলনা করে পাই,
\(\frac{3 y+60}{20}=\frac{y-5}{5}\)
বা, \(\frac{3 y+60}{4}=y-5\)
বা, \(4 y-20=3 y+60\)
বা, \(4 y-3 y=60+20\)
বা, \(y=80\)
(ii) নং সমীকরণে y-এর মান বসিয়ে পাই,
\(x=\frac{80-5}{5}=\frac{75}{5}=15\)
\(\therefore\) বাক্সের সংখ্যা 15টি এবং প্রতিবাক্সে কমলালেবুর সংখ্যা 80।
\(\therefore\) মোট লেবুর সংখ্যা \((15 \times 80)\) টি = 1200 টি

\(\because x=3 y\)
বা, \(3 t=3\left(\frac{2 t}{3}-1\right)\)
বা, \(3 t=2 t-3\)
বা, \(3 t-2 t=-3\)
বা, \(t=-3\)
\(\therefore\) t এর নির্ণেয় মান (-3)

\(2 x+5 y=8\) এবং \(2 x-k y=3\) এই সমীকরণদ্বয়ের কোনো সমাধান থাকবে না যদি
\(\frac{2}{2}=\frac{5}{-k} \neq \frac{8}{3}\)
বা, \(1=\frac{5}{-k}\)
বা, k = -5
\(\therefore\) K-র মান (-5) হলে প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়ের কোনো সমাধান থাকবে না।

\((x-5)^{2}+(x-y)^{2}=0\) যেহেতু, দুটি বাস্তব বর্গরাশির সমষ্টি শূন্য, সুতরাং উহাদের মান পৃথক পৃথকভাবে শূন্য।
\(\therefore(x-5)^{2}=0\) এবং \((x-y)^{2}=0\)
বা, \(x-5=0\) বা, \(x=5\)
বা, \(x-y=0\) বা, \(x=\mathrm{y}\)
\(\therefore\) \(x=5\) এবং y = 5

\(x^{2}+y^{2}-2 x+4 y=-5\)
বা, \(x^{2}-2 x+1+y^{2}+4 y+4=0\)
বা, \((x-1)^{2}+(y+2)^{2}=0\)
দুটি বর্গরাশির সমষ্টি শূন্য হলে ওদের মান পৃথক পৃথকভাবে শূন্য হয়।
\(\therefore(x-1)^{2}=0\) এবং \((y+2)^{2}=0\)
বা, \(x-1=0\) বা, \(x=1\) বা, \(y+2=0\) বা, \(y=-2\)
\(\therefore x=1, y=-2\)

\(r x-3 y-1=0\) এবং \((4-r) x-y+1=0\) সমীকরণদ্বয়ের কোনো সমাধান থাকবে না যদি, \(\frac{r}{4-r}=\frac{-3}{-1} \neq \frac{-1}{1}\) হয়
বা, \(-12+3 r=-r\) বা, \(4 r=12\) বা, \(r=3\)
\(\therefore\) r -.এর মান 3 হলে প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়ের কোনো সমাধান থাকবে না।

\(a_{1} x+b_{1} y+c_{1}=0\)
বা, \(b_{1} y=-a_{1} x-c_{1}\)
বা, \(y=\frac{-a_{1}}{b_{1}} x-\frac{c_{1}}{b_{1}}\)
\(\therefore \quad y=\left(\frac{-a_{1}}{b_{1}}\right) x+\left(\frac{-c_{1}}{b_{1}}\right)\)

\(k x-21 y+15=0\) এবং \(8 x-7 y=0\) সমীকরণদ্বয়ের একটিমাত্র সমাধান থাকবে যদি, \(\frac{k}{8} \neq \frac{-24}{-7}\) হয়
বা, \(k \neq 24\)
\(\therefore\) k-র মান 24 বাদ দিয়ে অপর যে কোনো বাস্তব মানের জন্য সমীকরণদ্বয়ের একটিমাত্র সমাধান থাকবে।

\(5 x+8 y=7\) এবং \((a+b) x+(a-b) y=(2 a+b+1)\) সমীকরণদ্বয়ের অসংখ্য সমাধান থাকবে যদি
\(\frac{5}{a+b}=\frac{8}{a-b}=\frac{-7}{-(2 a+b+1)}\) হয়
যদি \(\frac{5}{a+b}=\frac{8}{a-b}\)
বা, \(8 a+8 b=5 a-5 b\)
বা, \(3 a=-13 b\)
বা, \(\frac{a}{-13}=\frac{b}{3}=k\) (ধরি) \((\mathrm{K} \neq 0)\)
\(\therefore a=-13 k, b=3 k\)
আবার যদি, \(\frac{8}{a-b}=\frac{7}{2 a+b+1}\) হয়
বা, \(16 a+8 b+8=7 a-7 b\)
বা, \(9 a+15 b+8=0\)
বা, \(9 \times(-13 k)+15 \times(3 k)+8=0\)
বা, \(-117 k+45 k=-8\)
বা, \(-72 k=-8\)
বা, \(k=\frac{-8}{-72}=\frac{1}{9}\)
\(\therefore a=\frac{-13}{9}\) এবং \(b=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}\)

\(4 x+3 y=7\)
\(7 x-3 y=4\)
\(\because \frac{4}{7} \neq \frac{3}{-3}\)

\(3 x+6 y=15,6 x+12 y=30\)
\(\because \frac{3}{6}=\frac{6}{12}=\frac{15}{30}\left(=\frac{1}{2}\right)\)

\(4 x+4 y=20,5 x+5 y=30\)
\(\because \frac{4}{5}=\frac{4}{5} \neq \frac{20}{30}\left(=\frac{2}{3}\right)\)

(a) \(2 \times 1+3 \times 1=5(\neq 9)\)
(b) \(6 \times 1+2 \times 1=8(\neq 9)\)
(c) \(3 \times 1+2 \times 1=5\)

\(4 \times 4+3 \times 3=25\)
\(5 \times 4-2 \times 3=14\)

(a) \(1+6=7,3-4=-1(\neq 7)\)
(b) \(1+(-6)=-5(\neq 7), 4+3=7\)
(c) \(1+6=7,4+3=7\)
(d) \(-1+6=5,-4+3=-1(\neq 7)\)