সমাধান : $\frac{2}{x}+\frac{3}{y}=1$
$\Rightarrow \frac{2}{x}=1-\frac{3}{y}=\frac{y-3}{y}$
$\Rightarrow \frac{x}{2}=\frac{y}{y-3}$
$\Rightarrow x=\frac{2 y}{y-3}$

সমাধান : $2 x+3 y=9$
বা, $2 x+3\left(\frac{7-4 x}{-5}\right)=9$
বা, $-10 x+21-12 x=-45$
বা, $-22 x=-45-21=-66$
$\therefore x=3$

সমাধান : (a) $3 x-y=7$
বা, $y=3 x-7$.......(i)
বা, $2 x+4 y=0$.......(ii)
(ii) নং সমীকরণে y-এর পরিবর্তে $3 x-7$ বসিয়ে পাই।
বা, $2 x+4(3 x-7)=0$
বা, $2 x+12 x-28=0$
$14 x=28 \Rightarrow x=2$
(i) নং সমীকরণে $x=2$ বসিয়ে পাই, $y=3 \times 2-7=-1$
$\therefore$ নির্ণেয় সমাধান $x=2, y=-1$

(b) $\frac{x}{2}+\frac{y}{3}=2$
বা, $\frac{y}{3}=2-\frac{x}{2}$
বা, $y=\frac{3}{2} (4-x)$ ………(i)
$\frac{x}{4}+\frac{y}{2}=2$
বা, $x+2 y=8$ ………(ii)
(ii) নং সমীকরণে y-এর পরিবর্তে $\frac{3}{2}(4-x)$ বসিয়ে পাই,
বা, $x+2 \times \frac{3}{2}(4-x)=8$
বা, $x+12-3 x=8$
বা, $-2 x=-4$
$\therefore x=2$
(i) নং সমীকরণে $x=2$ বসিয়ে পাই
$y=\frac{3}{2}(4-2)=\frac{3}{2} \times 2=3$
$\therefore$ নির্ণেয় সমাধান $x=2, y=3$

সমাধান : $2 x+\frac{3}{y}=1$
$\frac{1}{y}=\frac{1-2 x}{3}$…….(i)
$5 x-\frac{2}{y}=\frac{11}{12}$……..(ii)
(ii) নং সমীকরণে $\frac{1}{y}$এর পরিবর্তে $\frac{1-2 x}{3}$ বসিয়ে পাই,
$5 x-\frac{2}{3}(1-2 x)=\frac{11}{12}$
বা, $15 x-2+4 x=\frac{11}{4}$
বা, $4 (19 x-2)=11$
বা, $76 x-8=11$
বা, $x=\frac{19}{76}$
$\therefore x=\frac{1}{4}$
$\frac{1}{y}=\frac{1-2 x}{3}=\frac{1-2 \times \frac{1}{4}}{3}=\frac{1-\frac{1}{2}}{3}=\frac{1}{6}$
$\therefore$ নির্ণেয় সমাধান , $x=\frac{1}{4}, \quad y=6$
যাচাই : $2 x+\frac{3}{y} = 2 \times \frac{1}{4}+\frac{3}{6}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$
$5 x-\frac{2}{y}=5 \times \frac{1}{4}-\frac{2}{6}=\frac{5}{4}-\frac{1}{3}=\frac{11}{12}$
$x=\frac{1}{4}, y=6$ মান (i) ও (ii) সমীকরণকে সিদ্ধ করে।

সমাধান : $\frac{2}{x}+\frac{3}{y}=2$
বা, $\frac{3}{y}=2-\frac{2}{x}$
$\frac{1}{y}=\frac{1}{3}\left(\frac{2 x-2}{x}\right)$…….(i)
$\frac{5}{x}+\frac{10}{y}=\frac{35}{6}$………(ii)
(ii) নং সমীকরণে $\frac{1}{y}$-এর পরিবর্তে $\frac{1}{3}\left(\frac{2 x-2}{x}\right)$ বসিয়ে পাই,
$\frac{5}{x}+\frac{10}{3}\left(\frac{2 x-2}{x}\right)=\frac{35}{6}$
বা, $15+10(2 x-2)=\frac{35}{6} \times 3 x$
বা, $30+40 x-40=35 x$
বা, $5 x=10 \quad \therefore x=2$
(i) নং সমীকরণে $x=2$ বসিয়ে পাই,
$\frac{1}{y}=\frac{1}{3}\left(\frac{2 \times 2-2}{2}\right)$
$=\frac{1}{3} \times \frac{2}{2}=\frac{1}{3}$
$\therefore y=3$
$\therefore$ নির্ণেয় সমাধান $x=2, y=3$
যাচাই : $\frac{2}{x}+\frac{3}{y}=\frac{2}{2}+\frac{3}{3}=1+1=2$
$\frac{5}{x}+\frac{10}{y}=\frac{5}{2}+\frac{10}{3}=\frac{35}{6}$
$\therefore x=2 , y=3$ মান (i) ও (ii) নং সমীকরণকে সিদ্ধ করে

সমাধান $\frac{x+y}{x y}=3$
বা, $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=3$
$\frac{1}{y}=3-\frac{1}{x}$………(i)
$\frac{x-y}{x y}=1$
$\frac{1}{y}-\frac{1}{x}=1$….....(ii)
(ii) নং সমীকরণে $\frac{1}{y}$-এর পরিবর্তে $3-\frac{1}{x}$ বসিয়ে পাই
$3-\frac{1}{x}-\frac{1}{x}=1,$
বা, $3-\frac{1+1}{x}=1$
$\Rightarrow x=1$
(i) নং সমীকরণে $x=1$ বসিয়ে পাই, $\frac{1}{y}=3-\frac{1}{1}=2$
$y=\frac{1}{2}$
নির্ণেয় সমাধান $x=1, \quad y=\frac{1}{2}$
যাচাই : বামপক্ষ $=\frac{1+\frac{1}{2}}{1 \frac{1}{2}}=\frac{3}{2} \times \frac{2}{1}=3=$ডানপক্ষ
বামপক্ষ$=\frac{1-\frac{1}{2}}{1 \cdot \frac{1}{2}}=\frac{1}{2} \times \frac{2}{1}=1$ডানপক্ষ
$x=1, y=\frac{1}{2}$ মান (i) নং ও (ii) নং সমীকরণকে সিদ্ধ করে

সমাধান : $3(x+y)=7(x-y) x+y=\frac{7}{10}$……(ii)
বা, $3 x+3 y=7 x-7 y$
বা, $4 x=10 y$
$x=\frac{5}{2} y$…….(i)
(i) নং সমীকরণে $x$ এর পরিবর্তে $\frac{5}{2} y$ বসিয়ে পাই,
$\frac{5}{2} y+y=\frac{7}{10}$
বা, $\frac{7 y}{2}=\frac{7}{10} \Rightarrow y=\frac{1}{5}$
$x=\frac{5}{2}, y=\frac{5}{2} \times \frac{1}{5}=\frac{1}{2}$
$\therefore$ নির্ণেয় সমাধান $x=\frac{1}{2} ; y=\frac{1}{5}$
যাচাই : $2 x-5 y=2 \times \frac{1}{2}-5 \times \frac{1}{5}=0$
$x+y=\frac{1}{2}+\frac{1}{5}=\frac{7}{10}$
$x=\frac{1}{2}, y=\frac{1}{5}$ মান (i) নং ও (ii) সমীকরণকে সিদ্ধ করে।

সমাধান : $2(x-y)=3$
বা, $2 x=2 y+3$
$x=\frac{2 y+3}{2}$..........(i)
$5 x+8 y=14$………(ii)
(ii) নং সমীকরণে $x$-এর পরিবর্তে $\frac{2 y+3}{2}$ বসিয়ে পাই,
$5\left(\frac{2 y+3}{2}\right)+8 y=14$
বা, $10 y+15+16 y=28$
বা, $26 y=13 \quad \therefore y=\frac{1}{2}$
(i) নং $y=\frac{1}{2}$ বসিয়ে পাই
$x=\frac{2 \times \frac{1}{2}+3}{2}=\frac{1+3}{2}=2$
নির্ণেয় সমাধান $x=2, \quad y=\frac{1}{2}$

$2 x+\frac{3}{y}=5 \ldots (i)$, $5 x-\frac{2}{y}=3 \ldots (ii)$
(i) নং সমীকরণ হতে পাই,
$2 x+\frac{3}{y}=5$
বা, $\frac{3}{y}=5-2 x \quad \therefore \frac{1}{y}=\frac{5-2 x}{3}\ldots(iii)$
(ii) নং সমীকরণে $\frac{1}{y}$ এর পরিবর্তে $\frac{5-2 x}{3}$ বসিয়ে পাই, $5 x-2 \times \frac{5-2 x}{3}=3$
বা, $5 x-\frac{10-4 x}{3}=3$
বা, $\frac{15 x-10+4 x}{3}=3$
বা, $19 x-10=9$
বা, $19 x=19$
বা, $x=1$
(i) নং সমীকরণে $x$-এর মান বসিয়ে পাই,
$2 \times 1+\frac{3}{y}=5$
বা, $\frac{3}{y}=5-2$
বা, $\frac{3}{y}=3$
বা, $y=1$
$\therefore$ নির্ণেয় সমাধান $x=1, y=1$

সমাধান : $\frac{y}{3}=1-\frac{x}{2}$
$y=3\left(1-\frac{x}{2}\right)$…....(i)
$\frac{x}{3}+\frac{y}{2}=1$…….(ii)
(i) নং সমীকরণে y-এর পরিবর্তে $3\left(1-\frac{x}{2}\right)$ বসিয়ে পাই
$\frac{x}{3}+\frac{1}{2} \times 3\left(1-\frac{x}{2}\right)=1$
বা, $\frac{x}{3}+\frac{3}{2}-\frac{3 x}{4}=1$
বা, $\frac{x}{3}-\frac{3 x}{4}=1-\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}$
বা, $-\frac{5 x}{12}=-\frac{1}{2} \Rightarrow x=\frac{6}{5}$
(i) নং সমীকরণে $x=\frac{6}{5}$ বসিয়ে পাই,
$y=3\left(1-\frac{1}{2} \times \frac{6}{5}\right)=3\left(1-\frac{3}{5}\right)=\frac{6}{5}$
$\therefore$ নির্ণেয় সমাধান $x=y=\frac{6}{5}$

সমাধান : $\frac{x}{3}=\frac{y}{4} \ldots \ldots$(i)
$7 x-5 y=2 \ldots\ldots$ (ii)
$\frac{x}{3}=\frac{y}{4}=k$ (ধরি),
$x=3 k, y=4 k$
(ii) নং সমীকরণে $x=3 k, y=4 k$ বসিয়ে পাই,
$7 x-5 y=2$
বা, $7 \times 3 k-5 \times 4 k=2$
বা, $21 k-20 k=2$
$\therefore k=2$
$x=3 \times 2, \quad y=4 \times 2$
$x=6, \quad y=8$
$\therefore$ নির্ণেয় সমাধান $x=6, y=8$

সমাধান : $\frac{2}{x}+\frac{5}{y}=1$
$\frac{1}{y}=\frac{1}{5}\left(1-\frac{2}{x}\right)$……..(i)
$\frac{3}{x}+\frac{2}{y}=\frac{19}{20}$……….(ii)
(ii) নং সমীকরণে $\frac{1}{y}$-এর পরিবর্তে $\frac{1}{5}\left(1-\frac{2}{x}\right)$ বসিয়ে পাই,
$\frac{3}{x}+\frac{2}{5}\left(1-\frac{2}{x}\right)=\frac{19}{20}$……..(ii)
বা, $\frac{3}{x}+\frac{2}{5}\left(1-\frac{2}{x}\right)=\frac{19}{20}$
বা, $\frac{3}{x}+\frac{2}{5}-\frac{4}{5 x}=\frac{19}{20}$
বা, $\frac{3}{x}+\frac{4}{5 x}=\frac{19}{20}-\frac{2}{5}$
বা, $\frac{15-4}{5 x}=\frac{19-8}{20}$
বা, $\frac{11}{5 x}=\frac{11}{20}$
বা, $5 x=20$
$\therefore x=4$
$\therefore \frac{1}{y}=\frac{1}{5}\left(1-\frac{2}{x}\right)=\frac{1}{5}\left(1-\frac{2}{4}\right) \quad[\because x=4]$
$=\frac{1}{5}\left(1-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{5} \times \frac{1}{2}=\frac{1}{10}$ $\therefore y=10$
$\therefore$ নির্ণেয় সমাধান $x=4, y=10$

সমাধান : $\frac{1}{3}(x-y)=\frac{1}{4}(y-1)$
$4 x-5 y=7(x-7)$
বা, $4 x-4 y=3 y-3$
বা, $4 x=7 y-3$
$x=\frac{7 y-3}{4}$…….(i)
(i) নং সমীকরণে $x$-এর পরিবর্তে $\frac{7 y-3}{4}$ বসিয়ে পাই
$7 y-3-5 y=7\left(\frac{7 y-3}{4}-7\right)$
বা, $4(2 y-3)=7(7 y-31)$
বা, $8 y-12=49 y-217$
বা, $-41 y=-217+12=-205 \quad \therefore y=5$
$\therefore x=\frac{7 y-3}{4}=\frac{7 \times 5-3}{4}=\frac{35-3}{4}=\frac{32}{4}=8$
$\therefore$ নির্ণেয় সমাধান $x=8, y=5$

সমাধান : $\frac{x}{14}+\frac{y}{18}=1$
বা, $9 x+7 y=126$
$y=\frac{126-9 x}{7}$…....(i)
$2(x+y)+3 x-5 y=8$
$5 x-3 y=8$……..(ii)
(ii) নং সমীকরণে y-এর পরিবর্তে বসিয়ে পাই
$5 x-3 \frac{(126-9 x)}{7}=8$
বা, $35 x-378+27 x=56$
বা, $62 x=56+378=434$
$\therefore x=\frac{424}{62}=7$
$\therefore y=\frac{126-9 x}{7}=\frac{126-9 x}{7}=\frac{63}{7}=9$
$\therefore$ নির্ণেয় সমাধান $x=7, y=9$

সমাধান : $p(x+y)=2 p q$
বা, $x+y=2 q$
$y=2 q-x$......(i)
$q(x-y)=2 p q$
$x-y=2 p q$.......(ii)
(ii) নং সমীকরণে y-এর পরিবর্তে $2 q-x$ বসিয়ে পাই।
$x-(2 q-x)=2 p$
বা, $2 x=2 p+2 q=2(p+q)$
$\therefore x=p+q$
(i) নং সমীকরণে $x=p+q$ বসিয়ে পাই,
$y=2 q-(p+q)=q-p$
$\therefore$ নির্ণেয় সমাধান $x=p+q, \quad y=q-p$