Class 9 Chapter 5 kosi dakhi 5.2|নবম শ্রেণী কষে দেখি 5.2|রৈখিক সহ সমীকরণ (দুই চল বিশিষ্ট)|Chapter 5|Ganit Prakash Class 9 Solution|Determination of distance|West Bengal Board Class 9 Math
কষে দেখি - 5.2

1. নীচের সহসমীকরণগুলির লেখচিত্র অঙ্কন করে সমাধানযোগ্য কিনা লিখি ও সমাধানযোগ্য হলে সমাধানটি বা অসংখ্য সমাধানের ক্ষেত্রে 3টি সমাধান লেখো।

(a) \(2 x+3 y-7=0 ; 3 x+2y-8=0\)

\(2 x+3 y-7=0\ldots(i)\)
বা, \(3 y=7-2 x \quad \therefore y=\frac{7-2 x}{3}\)
\(3 x+2 y-8=0\ldots(ii)\)
\(2 y=8-3 x \quad \therefore y=\frac{8-3 x}{2}\)
\(\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline x & 2 & 5 & 8 \\
\hline y & 1 & -1 & -3 \\
\hline
\end{array}\)
\(\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline x & 0 & 2 & 4 \\
\hline y & 4 & 1 & -2 \\
\hline
\end{array}\)

প্রদত্ত সহসমীকরণদ্বয় সমাধানযোগ্য এবং লেখচিত্র থেকে পাই, সমীকরণদ্বয়ের ছেদ বিন্দুর স্থানাঙ্ক (2, 1)।
\(\therefore\) সমীকরণদ্বয়ের সাধারণ সমাধান \(x=2, y=1\)

(b) \(4 x-y=11, -8 x+2 y=-22\)

\(4 x-y=11 \ldots .(i)\)
\(-8 x+2 y=-22\)
\(4 x-y=11\)………(ii)
(i) ও (ii) সহসমীকরণ দুটি একই।
\(4 x-y=11\)
\(y=4 x-11\)

\(x\)	2	4	5
\(y\)	-3	5	9

সহ-সমীকরণ সমাধানযোগ্য ও সঙ্গত।
সরলরেখার উপরিস্থিত যে-কোনো বিন্দু সমীকরণের সমাধান বিন্দু।
\(\therefore\) নির্ণেয় 3টি সমাধান
\(\left(x_{1}, y_{1}\right)=(2,-3),\left(x_{2}, y_{2}\right)=(4,5),\left(x_{3}, y_{3}\right)=(5,9)\)

(c) \(7 x+3 y=42, 21 x+9 y=42\)

: \(7 x+3 y=42\) …....(i)
\(21 x+9 y=42\)
\(7 x+3 y=14\).......(ii)
\(7 x+3 y=42\)
\(y=\frac{42-7 x}{3}\)

\(x\)	3	0	6
\(y\)	7	14	0

\(7 x+3 y=14\)
\(y=\frac{14-7 x}{3}\)

\(x\)	2	-1	5
\(y\)	0	7	-7

লেখচিত্র দুটি সমান্তরাল সরলরেখা।
সহ-সম টি সঙ্গত ও সমাধান নয় অর্থাৎ \(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}\)

(d) \(5 x+y=13 ; 5 x+5y=12\)

: \(5 x+y=13\)
\(y=13-5 x\)

\(x\)	1	2	3
\(y\)	8	3	-2

\(5 x+5 y=12\)
\(5 y=12-5 x\)
\(y=\frac{12-5 x}{5}\)

\(x\)	\(-\frac{1}{4}\)	2	1
\(y\)	\(\frac{53}{20}\)	\(\frac{2}{5}\)	\(\frac{7}{5}\)

\(\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{1}}=\frac{5}{5} \neq \frac{1}{5}\) অর্থাৎ সমীকরণ সমাধানযোগ্য।
\(\therefore\) নির্ণেয় সমাধান বিন্দু \(P\left( \frac{53}{20}, -\frac{1}{4}, \right)\)

2. নীচের প্রতিজোড়া সমীকরণগলির একই চলের সহগগুলির ও ধ্রুবকগুলির অনুপাতের সম্পর্ক নির্ণয় করে সমীকরণ দুটি সমাধানযোগ্য কিনা লিখি ও সমীকরণগুলির লেখচিত্র এঁকে যাচাই করো।

(a) \(x+5 y=7 ; x+5 y=20\)

\(\frac{1}{1}=\frac{5}{5} \neq \frac{7}{20} \quad\left[\because\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}\right]\)
সহ-সমীকরণ দুটি অসঙ্গত ও সমাধানযোগ্য নয়।
\(x+5 y=7\)
\(y=\frac{7-x}{5}\)

\(x\)	-3	2	-8
\(y\)	2	1	3

\(x+5 y=20\)
\(y=\frac{20-x}{5}\)

\(x\)	0	5	10
\(y\)	4	4	2

লেখচিত্র দুটি পরস্পর সমান্তরাল সরলরেখা ও সমাধানযোগ্য নয়

(b) \(2 x+y=8 ; 2y - 3x=-5\)

\(\frac{2}{-3} \neq \frac{1}{2}\) \(\therefore\) সহ-সমীকরণ দুটি পরস্পর ছেদী, সঙ্গত ও সমাধানযোগ্য।
\(2 x+y=8\)
\(y=8-2 x\)

\(x\)	0	5	10
\(y\)	4	4	2

\(-3 x+2 y=-5\)
\(2 y=3 x-5\)
\(y=\frac{3 x-5}{2}\)

\(x\)	1	5	3
\(y\)	2	5	2

লেখচিত্র থেকে পাই, সরলরেখা 5টি (3, 2) বিন্দুতে ছেদ করেছে।
\(\therefore\) নির্ণেয় সমাধান \((x, y)=(3,2)\)

(c) \(5 x+8 y=14 ; 15 x+24 y=42\)

সমাধান : \(5 x+8 y=14,15 x+24 y=42\)
\(\frac{5}{15}=\frac{8}{24}=\frac{14}{42} \quad\left[\because \frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}\right]\)
সহ-সমীকরণ সঙ্গত ও সমাধানযোগ্য ও অসংখ্য সমাধান থাকবে।
\(5 x+8 y \Rightarrow y=\frac{14-5 x}{8}\)

\(x\)	-2	6	14
\(y\)	3	-2	-7

\(\therefore\) লেখচিত্র একটি সরলরেখা ও দুটি লেখচিত্র পরস্পর সমাপতিত হবে ও অসংখ্য বিন্দু সরলরেখার ওপর অবস্থিত। তারা সমাধান বিন্দুসমূহ।

(d) \(3 x+2 y=6; 12 x+8 y=24\)

সমাধান : \(3 x+2 y=6\)
\(y=\frac{6-3 x}{2}\)

\(x\)	0	2	4
\(y\)	3	0	-3

\(12 x+8 y=24\)
\(\Rightarrow 3 x+4 y=6\)
\(\frac{3}{12}=\frac{2}{8}=\frac{6}{24} \quad\left[\because\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}\right]\)
সমীকরণ সঙ্গত ও সমাধানযোগ্য ও অসংখ্য সমাধান থাকবে।
লেখচিত্র দুটি পরস্পর সমাপতিত হবে ও একটি সরলরেখার উপরিস্থিত সকল বিন্দুই সমান হবে।

3. নীচের প্রতিজোড়া সমীকরণগুলি একই চলের সহগগুলির ও ধ্রুবকগুলির অনুপাতের সম্পর্ক নির্ণয় করে সমীকরণগুলির লেখচিত্রগুলি সমান্তরাল বা পরস্পরচ্ছেদি বা সমাপাতিত হবে কিনা লিখি।

4. নীচের প্রতিজোড়া সমীকরণগুলির মধ্যে যেগুলি সমাধানযোগ্য তাদের লেখচিত্র এঁকে সমাধান করি এবং অসংখ্য সমাধানের ক্ষেত্রে 3টি সমাধান লিখি।

(a) \(4 x+3 y=20; 8 x+6y=40\)

সমাধান : \(4 x+3 y=20; \quad 8 x+6 y=40\)
\(\frac{4}{8}=\frac{3}{6}=\frac{20}{40} \quad\left[\because \frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}\right]\)
লেখচিত্র দুটি প্রস্পর সমাপতিত, সঙ্গত ও অসংখ্য সমাধান থাকবে।
\(y=\frac{20-4 x}{3}\)

\(x\)	-1	5	2
\(y\)	8	0	4

(c) \(4 x+3 y=20 ; \frac{3 x}{4}-\frac{y}{8}=1\)

সমাধান : \(4 x+3 y=20 ; \quad 6 x-y=8\)
\(\frac{4}{6} \neq \frac{3}{-1} \quad\left[\because \frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}\right]\)
লেখচিত্র দুটি অর্থাৎ দুটি সরলরেখা পরস্পর ছেদী, সঙ্গত, একক সমাধান থাকবে।
\(4 x+3 y=20\)
\(y=\frac{20-4 x}{3}\)

\(x\)	-1	5	2
\(y\)	8	0	4

\(6 x-y=8\)
\(y=6 x-8\)

\(x\)	1	2	3
\(y\)	-2	4	10

\(\therefore\) নির্ণেয় সমাধান \(P\left(x_{1}, y\right)=(2,4)\)

(d) \(p-q=3 ; \frac{p}{3}+\frac{q}{2}=6\)

সমাধান : \(p-q=3, \quad 2 p+3 q=36\)
\(\therefore \frac{1}{2} \neq \frac{-1}{3}\left[\because \frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}\right]\)
সমীকরণ লেখচিত্র দুটি পরস্পর ছেদী ও সঙ্গত একক সমাধান থাকবে।
\(p=3+q\)

\(p\)	3	9	2
\(q\)	0	46	-1

\(3 q=36-2 p\)
\(q=\frac{36-2 p}{3}\)

\(p\)	0	0	18
\(q\)	12	6	0

লেখচিত্র দুটি \(\overline{A B}\) ও \(\overline{CD}\) সরলরেখা দুটি পরস্পর P (9,6) বিন্দুতে ছেদ করেছে। নির্ণেয় সমাধান (p, q) = p (9, 6)

(e) \(p-q=3 ; \frac{p}{5}-\frac{q}{5}=3\)

সমাধান : \(p-q=3, \quad p-q=15\)
\(\frac{1}{1}=\frac{-1}{-1} \quad\left[\because \frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}\right]\)
লেখচিত্র দুটি সমান্তরাল ও সমাধানযোগ্য নয়।

5. তথাগত একটি দুইচল বিশিষ্ট একঘাত সমীকরণ \(x+y=5\) লিখেছে। আমি এর একটি দুইচল বিশিষ্ট একঘাত সমীকরণ লিখি যাতে দুটি সমীকরণের লেখচিত্র।