দেওয়া আছে, \(4 x^{2}+(2 x-1)(2 x+1)=4 x(2 x-1)\)
বা, \(4 x^{2}+(2 x)^{2}-(1)^{2}=8 x^{2}-4 x \)
বা, \(4 x^{2}+4 x^{2}-8 x^{2}+4 x=1\)
বা, \(8 x^2+8 x^2+4 x=1\)
বা, \(4 x=1\)
যেহেতু \(4 x=1\) একটি একঘাত সমীকরণ, প্রদত্ত সমীকরণটি কোনাে একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ নয়।
\(\therefore\) এক্ষেত্রে শ্রীধর আচার্যের সূত্র প্রয়ােগ করা সম্ভব নয়।

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ।
\(a x^2+b x+c\) দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান
বীজ \(=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4 a c}}{2 a}\)

\(5 x^{2}+2 x-7=0\) সমীকরণটিকে
\(a x^{2}+b x+c=0(a \neq 0)\) আদর্শ দ্বিঘাত সমীকরণের সঙ্গে তুলনা করে পাই, a = 5, b = 2 এবং c = -7
শ্রীধর আচার্যের সূত্রানুসারে
\(x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}=\frac{-2 \pm \sqrt{(2)^{2}-4 \times 5
\times-7}}{2 \times 5}=\frac{-2 \pm \sqrt{4+140}}{10}\)
\(=\frac{-2 \pm \sqrt{144}}{10}=\frac{-2 \pm 12}{10}\)
\(\therefore\) \(x=\frac{-2+12}{10}\) এবং \(x=\frac{-2-12}{10}\)
এখন, দেওয়া আছে, \(x=\frac{k+12}{2}\ldots\ldots(1)\)
আবার, \(x=\frac{-2+12}{10}\ldots\ldots(2)\)
\(\therefore\) (1) ও (2) তুলনা করে পাই, k = - 2।

\(3{x^2} + 11x - 4 = 0\)...........(i)
(i) নং দ্বিঘাত সমীকরণকে \(a{x^2} + bx + c = 0[a \ne 0]\)
দ্বিঘাত সমীকরণের সঙ্গে তুলনা করে পাই,
a = 3, b = 11 এবং c = -4
\(b^2-4 a c\)
\(=(11)^2-4 \times 3 \times(-4)\)
\(=121+48=169 > 0\)
\(\therefore\) (i) নং দ্বিঘাত সমীকরণের বাস্তব বীজ আছে।
বীজগুলি \( = \frac{{ - b \pm \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}\)
\( = \frac{{ - 11 \pm \sqrt {{(11)^2} - 4.3.(-4)} }}{{2.3}}\)
\(=\frac{-11 \pm \sqrt{121+48}}{2 \times 3}\)
= \(\frac{{ - 11 \pm \sqrt {169} }}{{2.3}}\)
=\(\frac{{ - 11 \pm 13}}{6}\)
হয়, \(x = \frac{{ - 11 + 13}}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\)
অথবা, \(x = \frac{{ - 11 - 13}}{6} = \frac{{ - 24}}{6} = - 4\)
\(\therefore\) (i) নং সমীকরণের বীজদ্বয় - 4 ও \(\frac{1}{3}\)

\((x-2)(x+4)+9=0\)
বা, \(x^2+4 x-2 x-8+9=0\)
বা, \({x^2} + 2x - 8 + 9 = 0\)
বা, \({x^2} + 2x + 1 = 0\)………. (i)
(i) নং দ্বিঘাত সমীকরণকে \(a{x^2} + bx + c = 0\)
\((a \neq 0)\) দ্বিঘাত সমীকরণের সঙ্গে তুলনা করে পাই,
a = 1, b = 2, এবং c = 1
\(\therefore\) \({b^2} - 4ac = {2^2} - 4.1.1 = 4 - 4 = 0\)
\(\therefore\) (i) নং দ্বিঘাত সমীকরণের বাস্তব বীজ আছে।
বীজগুলি \( = \frac{{ - b \pm \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}} = \frac{{ - 2 \pm 0}}{{2.1}} = \frac{{ - 2 \pm 0}}{2}\)
হয়, \(x = \frac{{ - 2 + 0}}{2} = - 1\)
অথবা, \(x = \frac{{ - 2 - 0}}{2} = - 1\)
\(\therefore\) (i) নং সমীকরণের বীজদ্বয় -1 ও -1 .

\({(4x - 3)^2} - 2(x + 3) = 0\)
বা, \({(4x)^2} - 2 \times 4x \times 3 + {(3)^2} - 2x - 6 = 0\)
বা, \(16{x^2} - 24x + 9 - 2x - 6 = 0\)
বা, \(16{x^2} - 26x + 3 = 0\)
\(a{x^2} + bx + c = 0\) সমীকরণের সহিত প্রদত্ত সমীকরণটি তুলনা করলে পাই, a = 16, b = -26 এবং c = 3
\(\therefore\) শ্রীধর আচার্যের সূত্র থেকে পাই, \(x = \frac{{b \pm \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}\)
a, b, c-এর মান বসিয়ে পাই,
\(x = \frac{{ - ( - 26) \pm \sqrt {{{( - 26)}^2} - 4.16.3} }}{{2.16}}\)
= \(\frac{{ + 26 \pm \sqrt {676 - 192}}}{{32}}\)
\(= \frac{{26 \pm \sqrt {484} }}{{32}}\)
= \(\frac{{26 \pm 22}}{{32}}\)
সুতরাং \(x = \frac{{26 + 22}}{{32}} = \frac{{48}}{{32}} = \frac{3}{2}\)
অথবা, \(x = \frac{{26 - 22}}{{32}} = \frac{4}{{32}} = \frac{1}{8}\)
নির্ণেয় সমীকরণটির বীজদ্বয় \(\frac{3}{2}\) ও \(\frac{1}{8}\)

\(3{x^2} + 2x - 1 = 0\)..............(i)
(i) নং দ্বিঘাত সমীকরণকে \(a{x^2} + bx + c = 0\)
দ্বিঘাত সমীকরণের সঙ্গে তুলনা করে পাই,
\(a = 3, b = 2, c = -1\)
\(\therefore\) \({b^2} - 4ac = {(2)^2} - 4.3 \cdot ( - 1)\)
\({\rm{ = 4 + 12 = 16 > 0}}\)
\(\therefore\) (i) নং দ্বিঘাত সমীকরণের বাস্তব বীজ আছে ।
বীজগুলি \( = \frac{{ - b \pm \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}} = \frac{{ - 2 \pm \sqrt {16} }}{{2.3}} = \frac{{ - 2 \pm 4}}{{2.3}} = \frac{{ - 1 \pm 2}}{3}\)
হয়, \(x = \frac{{ - 1 + 2}}{3} = \frac{1}{3}\)
অথবা, \(x = \frac{{ - 1 - 2}}{3}=1\)
\(\therefore\) (i) নং সমীকরণের বীজদ্বয় \(-1\) ও \(\frac{1}{3}\)

\(3{x^2} + 2x + 1 = 0\)...........(i)
(i) নং দ্বিঘাত সমীকরণকে \(a{x^2} + bx + c = 0\)
দ্বিঘাত সমীকরণের সঙ্গে তুলনা করে পাই,
\({\rm{a = 3 , b = 2}}\) এবং c = 1
\(\therefore\) \({b^2} - 4ac{\rm{ }} = {\rm{ }}4 - 4 \times 3 \times 1{\rm{ }} = 4 - 12{\rm{ }} = - 8< 0\)
\(\therefore\) (i) নং সমীকরণের কোনো বাস্তব বীজ নেই ।

\(10{x^2} - x - 3 = 0\)
বা, \(10 x^2-(6-5) x-3=0\)
বা, \(10{x^2} - 6x + 5x - 3 = 0\)
বা, \({{2 x ( 5x - 3 ) + 1 ( 5 x - 3 )}}\)
বা, \((5x - 3)(2x + 1) = 0\)
\((5x - 3) = (2x + 1)\) -এর একটি অবশ্যই শূন্য হবে।
\(\therefore\) হয়, \({\rm{5 x - 3 = 0}}\)
বা, \(5x = 3\)
বা, \({\rm{ }}x = \frac{3}{5}\)
অথবা \({\rm{2 x + 1 = 0}}\)
বা, \({\rm{2 x = - 1}}\)
বা, \(x = - \frac{1}{2}\)
\(\therefore\) নির্ণেয় সমাধান\( x = - \frac{1}{2}, \frac{3}{5}\)
\(10{x^2} - x - 3 = 0\) সমীকরণটিকে \(a{x^2} + bx + 2 = 0\) দ্বিঘাত সমীকরণের সঙ্গে তুলনা করে পাই,
\({\rm{a = 10 , b = - 1}}\) এবং c = - 3
শ্ৰীধর আচার্যের সূত্রের সাহায্যে সমাধান করলে পাই,
\(x = \frac{{ - ( - 1) \pm \sqrt {{(-1)^2} + 4.10( - 3)} }}{{2.10}}\)
= \(\frac{{1 \pm \sqrt {1 + 120} }}{{20}}\)
\( = \frac{{1 \pm \sqrt {121} }}{{20}}\)
= \(\frac{{1 \pm 11}}{{20}}\)
সুতরাং \(x = \frac{{1 + 11}}{{20}} = \frac{{12}}{{20}} = \frac{3}{5}\)
অথবা, \(x = \frac{{1 - 11}}{{20}} = \frac{{ - 10}}{{20}} = - \frac{1}{2}\)
\(\therefore\) নির্ণেয় সমাধান \(x = - \frac{1}{2}, \frac{3}{5}\)

\(10{x^2} - x + 3 = 0 \ldots \ldots \ldots (i)\)
(i) নং সমীকরণকে \(a{x^2} + bx + c = 0(a \ne 0)\) দ্বিঘাত সমীকরণের সঙ্গে তুলনা করে পাই,
\({\rm{a = 10 , b = - 1}}\)
\(\therefore\) \({b^2} - 4ac = {( - 1)^2} - 4 \times 10 \times 3 = 1 - 120 = - 119 < 0\)
\(\therefore\) (i) নং দ্বিঘাত সমীকরণের কোনো বাস্তব বীজ নেই।

\(25{x^2} - 30x + 7 = 0\). ………(i)
(i) নং দ্বিঘাত সমীকরণকে \(a{x^2} + bx + c = 0(a \ne 0)\)
দ্বিঘাত সমীকরণের সঙ্গে তুলনা করে পাই, \({\rm{a = 25 , b = - 30}}\) এবং c = 7
\(\therefore\) \({b^2} - 4ac = {( - 30)^2} - 4 \times 25 \times 7 = 900 - 700 = 200 > 0\)
\(\therefore\) (i) নং দ্বিঘাত সমীকরণের বাস্তব বীজ আছে ।
বীজগুলি \( = \frac{{ - b \pm \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}\)
\( = \frac{{ - ( - 30) \pm \sqrt {200} }}{{2.25}}\)
\(=\frac{{30 \pm 10\sqrt 2 }}{{50}}\)
\(=\frac{10(3 \pm \sqrt{2})}{50}\)
\(= \frac{{3 \pm \sqrt 2 }}{5}\)
হয়, \(x = \frac{{3 + \sqrt 2 }}{5}\) অথবা, \(x = \frac{{3 - \sqrt 2 }}{5}\)
\(\therefore\) (i) নং সমীকরণের বীজদ্বয় \(\frac{{3 + \sqrt 2 }}{5}\) ও \(\frac{{3 - \sqrt 2 }}{5}\)

\({(4x - 2)^2} + 6x = 25\)
বা, \({(4x - 2)^2} + 6x - 25 = 0\)
বা, \({(4x)^2} - 2 \times 4x \times 2 + {(2)^2} + 6x - 25 = 0\)
বা, \(16{x^2} - 16x + 4 + 6x - 25 = 0\)
বা, \(16{x^2} - 10x - 21 = 0\) . . . . (i)
(i) নং সমীকরণটি \(a x^2+b x+c=0\) সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই
\(a=16, b=-10, c=-21\)
শ্রীধর আচার্যের সূত্রানুযায়ী,
\(x = \frac{{ - ( - 10) \pm \sqrt {{{( - 10)}^2} - 4.16( - 21)} }}{{2.16}}\)
\( = \frac{{ 10 \pm \sqrt {100 + 1344} }}{{32}}\)
= \(\frac{{10 \pm \sqrt {1444} }}{{32}}\)
= \(\frac{{10 \pm 38}}{{32}}\)
সুতরাং \(x = \frac{{10 + 38}}{{32}} = \frac{{48}}{{32}} = \frac{3}{2}\)
অথবা, \(x = \frac{{10 - 38}}{{32}} = \frac{{ - 28}}{{32}} = \frac{{ - 7}}{8}\)
\(\therefore\) নির্ণেয় সমাধান , \(x = \frac{3}{2}, \frac{{ - 7}}{8}\)

ধরি, সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষুদ্রতম বাহুর দৈর্ঘ্য x সেমি।
\(\therefore\) অতিভুজের দৈর্ঘ্য = \((2x + 6)\) সেমি এবং তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য = \((2x + 6 - 2)\) সেমি = \((2x+ 4)\) সেমি।
\(\therefore\) পিথাগােরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
\((\) অতিভুজ \()^2=(\) লম্ব \()^2+(\) ভূমি \()^2\)
\((2 x+6)^{2}=x^{2}+(2 x+4)^{2} \)
বা, \((2 x+6)^{2}-x^{2}=(2 x+4)^{2}\)
বা, \((2 x+6+x)(2 x+6-x)=(2 x+4)^{2} \)
বা, \((3 x+6)(x+6)=(2 x)^{2}+2 \times 2 x \times 4+4^{2}\)
বা, \(3 x^{2}+6 x+18 x+36=4 x^{2}+16 x+16 \)
বা, \(4 x^{2}-3 x^{2}+16 x-24 x+16-36=0\)
বা, \(x^{2}-8 x-20=0 \ldots\ldots(1)\)
(1) নং সমীকরণকে \(a x^{2}+b x+c=0(a \neq 0)\) দ্বিঘাত সমীকরণের সঙ্গে তুলনা করে পাই, \(a = 1, b = - 8, c = -20\).
\(\therefore\) শ্রীধর আচার্যের সূত্রানুসারে পাই,
\(x=\frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^{2}-4 \times 1
\times(-20)}}{2 \times 1}\)
বা, \(x=\frac{8 \pm \sqrt{64+80}}{2}\)
বা, \(x=\frac{8 \pm \sqrt{144}}{2}\)
বা, \(x=\frac{8 \pm 12}{2} \)
বা, \(x=\frac{8+12}{2}\) (+ চিহ্ন নিয়ে)
বা, \(x =\frac{20}{2}\)
বা, \(x = 10\) আবার, \(x=\frac{8-12}{2}\) (- চিহ্ন নিয়ে)
বা, \(x=\frac{-4}{2}\)
বা, \(x = - 2\) (গ্রাহ্য নয়)
কিন্তু \(x\)-এর মান ঋণাত্মক হতে পারে না।
\(\therefore x=10\)
তৃতীয় বাহু = \((2 \times 10+4)\) সেমি = 24 সেমি এবং অতিভুজ = \((2 \times 10+6)\) সেমি = 26 সেমি।
\(\therefore\) ত্রিভুজটির বাহুগুলি হল : 10 সেমি, 24 সেমি এবং 26 সেমি।

ধরি, এককের অঙ্ক = \(x\), \(\therefore\) দশকের অঙ্ক \(= 2x\).
\(\therefore\) সংখ্যাটি \(=10 \times 2 x+x=20 x+x=21 x\).
প্রশ্নানুসারে, \(21 x \times x=189\)
বা, \(21 x^{2}=189\)
বা, \(x^2=\frac{189}{21}\)
বা, \(x^{2}=9\)
বা, \(x=\pm \sqrt{9}\)
বা, \(x=\pm 3\)
কিন্তু \(x\)-এর মান ঋণাত্মক হতে পারে না।
\(\therefore x=3\)
\(\therefore\) নির্ণেয় এককের অঙ্ক = 3.

মনে করি, অনিকের গতিবেগ \(x\) মিটার/সেকেন্ড
\(\therefore\) সালমার গতিবেগ (\(x\)+ 1) মিটার/সেকেন্ড
\(\therefore\) 180 মিটার যেতে অনিকের সময় লাগে \(\frac{{180}}{x}\) সেকেন্ড
180 মিটার যেতে সালমার সময় লাগে \(\frac{{180}}{{x + 1}}\) সেকেন্ড
প্রশ্নানুসারে, \(\frac{{180}}{x} - \frac{{180}}{{x + 1}} = 2\)
বা, \(\frac{{180(x + 1) - 180x}}{{x(x + 1)}} = 2\)
বা, \(\frac{{180x + 180 - 180x}}{{x(x + 1)}} = 2\)
বা, \(\frac{{180}}{{x(x + 1)}} = 2\)
বা, \(\frac{{90}}{{x(x + 1)}} = 1\) [উভয়পক্ষকে 2 দিয়ে ভাগ করে পাই ]
বা, \(\frac{90}{x^2+x}=1\)
বা, \({x^2} + x = 90\)
বা, \({x^2} + x - 90 = 0\)
বা, \(x^2+(10-9) x-90=0\)
বা, \({x^2} + 10x - 9x - 90 = 0\)
বা, \(x ( x + 10 ) - 9 ( x + 10 ) = 0\)
বা, \(( x + 10 ) ( x - 9 ) = 0\)
\(( x + 10 )\) ও (\(\ x - 9 )\) -এর একটি অবশ্যই শূন্য হবে।
\(\therefore\) হয়, \(x + 10 = 0\)
বা, \(x = - 10\) (গ্রাহ্য নয়)
অথবা, \(x - 9 = 0\)
বা, \(x = 9\) (গ্রাহ্য)
\(x \ne - 10\) কারণ গতিবেগ ঋণাত্মক নয় \(\therefore x = 9\)
\(\therefore\) অনিকের গতিবেগ 9 মিটার/সেকেন্ড।

ধরি, প্রদীপবাবুর পাড়ায় বর্গক্ষেত্রাকার পার্কের বাহুর দৈর্ঘ্য =\(x\)মিটার।
\(\therefore\) বর্গাক্ষেত্রাকার পার্কের ক্ষেত্রফল \((\) বাহু \()^2\) = \(x^2\) বর্গমিটার।
প্রশ্নানুসারে, \((x+5)(x-3)=2x^{2}-78 \)
বা, \(x^{2}+5 x-3 x-15=2 x^{2}-78\)
বা, \(x^{2}+2 x-15=2 x^{2}-78 \)
বা, \(x^2+2 x-2 x^2+78-15=0\)
বা, \(x^{2}-2 x-63=0\ldots\ldots(1)\)
(1) নং সমীকরণকে \(a x^{2}+b x+c=0(a \neq 0)\) দ্বিঘাত সমীকরণের সঙ্গে তুলনা করে পাই,
a = 1, b = - 2, c = - 63.
\(\therefore\) শ্রীধর আচার্যের সূত্রানুসারে, \(x=\frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^{2}-4 \times 1 \times(-63)}}{2\times 1}\)
বা, \(x=\frac{2 \pm \sqrt{4+252}}{2} \)
বা, \(x=\frac{2 \pm \sqrt{256}}{2} \)
বা, \(x=\frac{2 \pm 16}{2}\)
বা, \(x=\frac{2+16}{2}\) (+ চিহ্ন নিয়ে)
বা, \(x=\frac{18}{2}= 9\) (গ্রাহ্য)
আবার, \(x=\frac{2-16}{2}\) (- চিহ্ন নিয়ে)
বা, \(x=\frac{-14}{2}= -7\) (গ্রাহ্য নয়)
কিন্তু বাহুর দৈর্ঘ্য ঋণাত্মক হতে পারে না। \(\therefore x = 9\)
\(\therefore\) বর্গক্ষেত্রাকার পার্কের বাহুর দৈর্ঘ্য 9 মিটার।

মনেকরি, প্রত্যেক সারিতে \(x\) টি করে লঙ্কা চারা লাগিয়েছেন।
\(\therefore\) সারির সংখ্যা হবে (\(x\) + 24) টি
(\(x\) + 24) টি সারিতে মোট লঙ্কা গাছ লাগানো হয়েছে \(x(x+24)\) টি
প্রশ্নানুসারে, \(x ( x + 24 ) + 10 = 350\)
বা, \({x^2} + 24x + 10 - 350 = 0\)
বা, \({x^2} + 24x - 340 = 0\)
বা, \(x^2+(34-10) x-340=0\)
বা, \({x^2} + 34x - 10x - 340 = 0\)
বা, \(x ( x + 34 ) - 10 ( x + 34 ) = 0\)
বা, \(( x + 34 ) ( x - 10 ) = 0\)
\(( x + 34 )\) ও \(( x - 10 )\) -এর একটি অবশ্যই শূন্য হবে।
\(\therefore x + 34 = 0\)
বা, \(x = -34\) অথবা \(x-10=0\)
বা, \(x=10\)
\(\therefore\) \(x \neq-34\) [কারণ লঙ্কাচারার সংখ্যা ঋণাত্মক নয়]
\(\therefore\) \(x\) = 10
\(\therefore\) প্রত্যেক সারিতে 10 টি করে লঙ্কাচারা লাগিয়েছিলেন।

মনেকরি, একটি জিনিস তৈরি করতে কুন্তলের সময় লাগে \(x\) মিনিট
\(\therefore\) জোসেফের সময় লাগে \((x-5)\) মিনিট
6 ঘন্টা \(=6 \times 60\) মিনিট = 360 মিনিটে কুন্তল জিনিস তৈরি করে। \(\frac{{360}}{x}\) টি
এবং জোসেফ জিনিস তৈরি করে \(\frac{{360}}{{x - 5}}\) টি
প্রশ্নানুসারে, \(\frac{{360}}{{x - 5}} - \frac{{360}}{x} = 6\)
বা, \(\frac{{360x - 360(x - 5)}}{{x(x - 5)}} = 6\)
বা, \(\frac{{360x - 360x + 1800}}{{x(x - 5)}} = 6\)
বা, \(\frac{{1800}}{{x(x - 5)}} = 6\)
বা, \(\frac{{300}}{{x(x - 5)}} = 1\) [উভয়পক্ষকে 6 দ্বারা ভাগ করে পাই]
বা, \(\frac{300}{x^2-5 x}=1\)
বা, \({x^2} - 5x = 300\)
বা, \({x^2} - 5x - 300 = 0\)
বা, \(x^2-(20-15) x-300=0\)
বা, \({x^2} - 20x + 15x - 300 = 0\)
বা, \(x ( x - 20 ) + 15 ( x - 20 ) = 0\)
বা, \(( x - 20 ) ( x + 15 ) = 0\)
\(\therefore\) \(( x - 20 )\) ও \(( x + 15 )\) -এর একটি অবশ্যই শূন্য হবে।
\(\therefore\) হয়, \(x - 20 = 0\)
বা, \(x = 20\)
অথবা, \(x + 15 = 0\)
বা, \(x = - 15\)
\(x \ne - 15\) কারণ সময় ঋণাত্মক নয়।
\(\therefore x = 20\)
\(\therefore\) কুন্তল ওই সময়ে জিনিস তৈরি করে।
\(\frac{{360}}{{20}}\) টি \(= 18\) টি

মনেকরি, স্থির জলে স্রোতের বেগ \(x\) কিমি./ঘন্টা
\(\therefore\) স্রোতের অনুকূলে নৌকার বেগ = (8 + \(x\)) কিমি./ঘণ্টা এবং স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার বেগ =(8 – \(x\)) কিমি./ঘণ্টা
\(\therefore\) স্রোতের অনুকূলে 15 কিমি. যেতে সময় লাগে \(\frac{{15}}{{8 + x}}\) ঘন্টা এবং স্রোতের প্রতিকূলে 22 কিমি যেতে সময় লাগে \(\frac{{22}}{{8 - x}}\) ঘন্টা
প্রশ্নানুসারে, \(\frac{{15}}{{8 + x}} + \frac{{22}}{{8 - x}} = 5\)
বা, \(\frac{15(8-x)+22(8+x)}{(8+x)(8-x)}=5\)
বা, \(\frac{{120 - 15x + 176 + 22x}}{{64 - {x^2}}} = 5\)
বা, \(296+7 x=320-5 x^2\)
বা, \(296 + 7x - 320 + 5{x^2} = 0\)
বা, \(5{x^2} + 7x - 24 = 0\)
বা, \(5 x^2+(15-8) x-24=0\)
বা, \(5{x^2} + 15x - 8x - 24 = 0\)

বা, \(5 x ( x + 3 ) - 8 ( x + 3 ) = 0\)
বা, \(( x + 3 ) ( 5 x - 8 ) = 0\)
হয়, \(x + 3 = 0\) \(\therefore x = - 3\)
অথবা, \(5 x - 8 = 0\)
\(\therefore \quad 5x = 8\) বা, \(x=\frac{8}{5}\)
\(\therefore x = \frac{8}{5} = 1\frac{3}{5}\)
যেহেতু বেগ ঋণাত্মক হতে পারে না তাই \(x\) = - 3 হবে না।
\(\therefore x = 1\frac{3}{5}\)
\(\therefore\) স্রোতের বেগ \(1\frac{3}{5}\) কিমি./ঘণ্টা।

মনেকরি, এক্সপ্রেস ট্রেনের গতিবেগ \(x\) কিমি/ঘন্টা
\(\therefore\) সুপার ফাস্ট ট্রেনের গতিবেগ (\(x\) + 15) কিমি/ঘন্টা
\(\therefore\) 180 কিমি যেতে এক্সপ্রেস ট্রেনের সময় লাগে \(\frac{{180}}{x}\) ঘন্টা
180 কিমি যেতে সুপার ফাস্ট ট্রেনের সময় লাগে \(\frac{{180}}{{x + 15}}\) ঘন্টা
প্রশ্নানুসারে \(\frac{{180}}{x} - \frac{{180}}{{x + 15}} = 1\)
বা, \(\frac{{180(x + 15) - 180x}}{{x(x + 15)}} = 1\)
বা, \(\frac{{180x + 2700 - 180x}}{{x(x + 15)}} = 1\)
বা, \(\frac{{2700}}{{x(x + 15)}} = 1\)
বা, \({x^2} + 15x = 2700\)
বা, \({x^2} + 15x - 2700 = 0\)
বা, \(x^2+(60-45) x-2700=0\)
বা, \({x^2} + 60x - 45x - 2700 = 0\)
বা, \(x ( x + 60 ) - 45 ( x + 60 ) = 0\)
বা, \(( x + 60 ) ( x - 45 ) = 0\)
বা, \(( x + 60 ) ( x - 45 ) = 0\)
\(( x + 60 )\) ও \(( x - 45 )\) )-এর মধ্যে অবশ্যই একটি শূন্য হবে।
\(\therefore\) হয়, \(x + 60 = 0\)
বা, \(x = - 60\) (গ্রাহ্য নয়)
অথবা, \(x - 45 = 0\)
বা, \(x = 45\) (গ্রাহ্য)
\(x \ne - 60\) কারণ গতিবেগ ঋণাত্মক নয় \(\therefore x = 45\)
\(\therefore\) এক্সপ্রেস ট্রেনের গতিবেগ 45 কিমি/ঘন্টা এবং সুপারফাস্ট ট্রেনের গতিবেগ (45 + 15) কিমি/ঘণ্টা = 60 কিমি/ঘণ্টা

মনেকরি, রেহানা প্রতি কিগ্রামাছ \(x\) টাকা দিয়ে কিনেছিল।
\(\therefore\) প্রতি কেজি ডালের দাম \((x - 20)\) টাকা এবং প্রতি কেজি চালের দাম (\(x\) - 40) টাকা।
\(\therefore\) 240 টাকায় মাছ কেনা যাবে \(\frac{{240}}{x}\) কিগ্রা. 240 টাকায় ডাল কেনা যাবে \(\frac{{240}}{{x - 20}}\) কিগ্রা.
এবং 280 টাকায় চাল কেনা যাবে \(\frac{{280}}{{x - 40}}\) কিগ্রা
প্রশ্নানুসারে, \(\frac{{240}}{x} + \frac{{240}}{{x - 20}} = \frac{{280}}{{x - 40}}\)
বা, \(\frac{{24}}{x} + \frac{{24}}{{x - 20}} = \frac{{28}}{{x - 40}}\)
বা, \(\frac{{24}}{x} = \frac{{28}}{{x - 40}} - \frac{{24}}{{x - 20}}\)
বা, \(\frac{6}{x} = \frac{7}{{x - 40}} - \frac{6}{{x - 20}}\) [উভয়দিকে 4 দিয়ে ভাগ করে পাই ]
বা, \(\frac{6}{x} = \frac{{7x - 140 - 6x + 240}}{{(x - 40)(x - 20)}}\)
বা, \(\frac{6}{x}=\frac{7 x-140-6 x+240}{x^2-20 x-40 x+800}\)
বা, \(\frac{6}{x} = \frac{{x + 100}}{{{x^2} - 60x + 800}}\)
বা, \(6{x^2} - 360x + 4800 = {x^2} + 100x\)
বা, \(6 x^2-x^2-360 x-100 x+4800=0\)
বা, \(5{x^2} - 460x + 4800 = 0\)
বা, \(5\left(x^2-92 x+960\right)=0\)
বা, \({x^2} - 92x + 960 = 0\)
বা, \(x^2-(80+12) x+960=0\)
বা, \({x^2} - 80x - 12x + 960 = 0\)
বা, \(x ( x - 80 ) - 12 ( x - 80 ) = 0\)
বা, \(( x - 80 ) ( x - 12 ) = 0\)
হয়, \(x - 80 = 0\)
\(\therefore x = 80\)
অথবা, \(x - 12 = 0\)
\(\therefore x = 12\)
\(x\) = 12 হতে পারে না, কারণ \(x\) = 12 হলে প্রতি কেজি ডালের দাম এবং প্রতি কেজি চালের দাম ঋণাত্মক হয় যা অসম্ভব।
তাই \(x\) = 80 হবে
\(\therefore\) রেহানা প্রতি কিগ্রা. মাছ 80 টাকা দিয়ে কিনেছিল।