WBBSE Madhyamik Math Class 10(Ten)(X) Chapter 1 Dighat Somikoron 1.3 | দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান কষে দেখি ১.৩| Dighat Somikoron Koshe Dekhi 1.3 Class 10| গণিত প্রকাশ সমাধান ক্লাস ১০(টেন) কষে দেখি ১.৩| Ganit Prakash Class10 Koshe dekhi 1.3| Madhyamik Quadratic Equation Koshe Dekhi 1.3.
Share this page using :
Class 10 কষে দেখি 1.3 | Dighat Somikoron Koshe Dekhi 1.3 | দ্বিঘাত সমীকরণ কষে দেখি ১.৩ | class 10 maths solution wbbse | কষে দেখি - 1.3
Madhyamik Previous Year Question Paper | মাধ্যমিক বিগত বছরের অঙ্ক প্রশ্নের উত্তরপত্রআজই Install করুন Chatra Mitra
1. দুটি ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যার অন্তর 3 এবং তাদের বর্গের সমষ্টি 117 ; সংখ্যা দুটি হিসাব করে লিখি।
ধরি, একটি সংখ্যা = \(x\), \(\therefore\) অপরটি = \((x - 3)\)
বা \((x + 3)\).
প্রশ্নানুসারে, \(x^{2}+(x-3)^{2}=117\)
বা, \(x^2+(x)^2-2 \times x \times 3+(3)^2=117\)
বা, \(x^{2}+x^{2}-6 x+9=117\)
বা, \(2 x^2-6 x+9-117=0\)
বা, \(2 x^{2}-6 x-108=0\)
বা, \(2\left(x^2-3 x-54\right)=0\)
বা, \(x^{2}-3 x-54=0\)
বা, \(x^{2}-(9-6) x-54=0\)
বা, \(x^{2}-9 x+6 x-54=0\)
বা, \(x(x-9)+6(x-9)=0\)
বা, \((x-9)(x+6)=0\)
\(\therefore\) হয় \(x - 9 = 0\) অথবা, \(x + 6 = 0\)
বা, \(x = 9\) (গ্রাহ্য)
বা, \(x = - 6\) (গ্রাহ্য নয়)
\(\because x\) ধনাত্মক, \(\therefore x = 9.\)
অথবা, \(x^{2}+(x+3)^{2}=117\)
বা, \(x^2+(x)^2+2 \times x \times 3+(3)^2=117\)
বা, \(x^{2}+x^{2}+6 x+9=117\)
বা, \(2 x^2+6 x+9-117=0\)
বা, \(2 x^{2}+6 x-108=0\)
বা, \(2\left(x^2+3 x-54\right)=0\)
বা, \(x^{2}+3 x-54=0\)
বা, \(x^{2}+(9-6) x-54=0\)
বা, \(x^{2}+9 x-6 x-54=0\)
বা, \(x(x+9)-6(x+9)=0\)
বা, \((x+9)(x-6)=0\)
\(\therefore\) হয় \(x + 9 = 0\) অথবা, \(x - 6 = 0\)
বা, \(x = - 9\)
বা, \(x = 6\)
\(\because\) \(x\) ধনাত্মক, \(\therefore \quad x \neq-9\).
\(\therefore\) নির্ণেয় সংখ্যা দুটি 6 ও 9.
বা \((x + 3)\).
প্রশ্নানুসারে, \(x^{2}+(x-3)^{2}=117\)
বা, \(x^2+(x)^2-2 \times x \times 3+(3)^2=117\)
বা, \(x^{2}+x^{2}-6 x+9=117\)
বা, \(2 x^2-6 x+9-117=0\)
বা, \(2 x^{2}-6 x-108=0\)
বা, \(2\left(x^2-3 x-54\right)=0\)
বা, \(x^{2}-3 x-54=0\)
বা, \(x^{2}-(9-6) x-54=0\)
বা, \(x^{2}-9 x+6 x-54=0\)
বা, \(x(x-9)+6(x-9)=0\)
বা, \((x-9)(x+6)=0\)
\(\therefore\) হয় \(x - 9 = 0\) অথবা, \(x + 6 = 0\)
বা, \(x = 9\) (গ্রাহ্য)
বা, \(x = - 6\) (গ্রাহ্য নয়)
\(\because x\) ধনাত্মক, \(\therefore x = 9.\)
অথবা, \(x^{2}+(x+3)^{2}=117\)
বা, \(x^2+(x)^2+2 \times x \times 3+(3)^2=117\)
বা, \(x^{2}+x^{2}+6 x+9=117\)
বা, \(2 x^2+6 x+9-117=0\)
বা, \(2 x^{2}+6 x-108=0\)
বা, \(2\left(x^2+3 x-54\right)=0\)
বা, \(x^{2}+3 x-54=0\)
বা, \(x^{2}+(9-6) x-54=0\)
বা, \(x^{2}+9 x-6 x-54=0\)
বা, \(x(x+9)-6(x+9)=0\)
বা, \((x+9)(x-6)=0\)
\(\therefore\) হয় \(x + 9 = 0\) অথবা, \(x - 6 = 0\)
বা, \(x = - 9\)
বা, \(x = 6\)
\(\because\) \(x\) ধনাত্মক, \(\therefore \quad x \neq-9\).
\(\therefore\) নির্ণেয় সংখ্যা দুটি 6 ও 9.
2. একটি ত্রিভুজের ভূমি তার উচ্চতার দ্বিগুণ অপেক্ষা 18 মিটার বেশি। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল 360 বর্গমিটার হলে, তার উচ্চতা নির্ণয় করি।
ধরি, ত্রিভুজটির উচ্চতা = \(x\) মিটার। \(\therefore\) ভূমি = \((2x + 18)\) মিটার।
\(\therefore\) ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2} \times(2 x+18) \times x\) বর্গমিটার \(=\left(x^{2}+9
x\right)\) বর্গমিটার।
প্রশ্নানুসারে, \(x^{2}+9 x=360\)
বা, \(x^2+9 x-360=0\)
বা, \(x^{2}+(24-15) x-360=0\)
বা, \(x^{2}+24 x-15 x-360=0\)
বা, \(x(x+24)-15(x+24)=0\)
বা, \((x+24)(x-15)=0\)
\(\therefore\) হয় \(x + 24 = 0\)
বা, \(x = - 24\)
অথবা, \(x = 15\)
\(\because\) উচ্চতা ঋণাত্মক হতে পারে না।
\(\therefore x = 15\)
\(\therefore\) ত্রিভুজটির উচ্চতা = 15 মিটার।
\(\therefore\) ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2} \times(2 x+18) \times x\) বর্গমিটার \(=\left(x^{2}+9
x\right)\) বর্গমিটার।
প্রশ্নানুসারে, \(x^{2}+9 x=360\)
বা, \(x^2+9 x-360=0\)
বা, \(x^{2}+(24-15) x-360=0\)
বা, \(x^{2}+24 x-15 x-360=0\)
বা, \(x(x+24)-15(x+24)=0\)
বা, \((x+24)(x-15)=0\)
\(\therefore\) হয় \(x + 24 = 0\)
বা, \(x = - 24\)
অথবা, \(x = 15\)
\(\because\) উচ্চতা ঋণাত্মক হতে পারে না।
\(\therefore x = 15\)
\(\therefore\) ত্রিভুজটির উচ্চতা = 15 মিটার।
3. যদি একটি অখণ্ড ধনাত্মক সংখ্যার পাঁচগুণ, তার বর্গের দ্বিগুণ অপেক্ষা 3 কম হয় তবে সংখ্যাটি নির্ণয় করি।
ধরি, সংখ্যাটি = \(x \cdot(x>0)\)
প্রশ্নানুসারে, \(5 x=2 x^{2}-3\)
বা, \(2 x^{2}-5 x-3=0\)
বা, \(2 x^{2}-(6-1) x-3=0\)
বা, \(2 x^{2}-6 x+x-3=0\)
বা, \(2 x(x-3)+1(x-3)=0 \quad\)
বা, \((x-3)(2 x+1)=0\)
\(\therefore\) হয় \(x - 3 = 0\)
বা, \(x=3\)
অথবা, \(2x + 1 = 0\)
বা, \(2 x=-1\)
বা, \(x=-\frac{1}{2}\)
কিন্তু সংখ্যাটি অখণ্ড ধনাত্মক, \(\therefore \quad x \neq-\frac{1}{2}, \quad \therefore \quad x=3\)
\(\therefore\) নির্ণেয় অখণ্ড ধনাত্মক সংখ্যাটি 3.
প্রশ্নানুসারে, \(5 x=2 x^{2}-3\)
বা, \(2 x^{2}-5 x-3=0\)
বা, \(2 x^{2}-(6-1) x-3=0\)
বা, \(2 x^{2}-6 x+x-3=0\)
বা, \(2 x(x-3)+1(x-3)=0 \quad\)
বা, \((x-3)(2 x+1)=0\)
\(\therefore\) হয় \(x - 3 = 0\)
বা, \(x=3\)
অথবা, \(2x + 1 = 0\)
বা, \(2 x=-1\)
বা, \(x=-\frac{1}{2}\)
কিন্তু সংখ্যাটি অখণ্ড ধনাত্মক, \(\therefore \quad x \neq-\frac{1}{2}, \quad \therefore \quad x=3\)
\(\therefore\) নির্ণেয় অখণ্ড ধনাত্মক সংখ্যাটি 3.
4. দুটি স্থানের মধ্যে দূরত্ব 200 কিমি; এক স্থান হতে অপর স্থানে মোটর গাড়িতে যেতে যে সনয় লাগে জিপগাড়িতে যেতে তার চেয়ে 2 ঘন্টা সময় কম লাগে। মোটরগাড়ি অপেক্ষা জিপগাড়ির গতিবেগ ঘন্টায় 5 কিমি. বেশি হলে মোটর গাড়ির গতিবেগ হিসাব করে লিখি।
ধরি, মােটর গাড়ির গতিবেগ ঘণ্টায় \(x\) কিমি।
\(\therefore\) জিপ গাড়ির গতিবেগ \((x + 5)\) কিমি/ঘণ্টা।
\(\therefore\) 200 কিমি যেতে মােটর গাড়ির সময় লাগে \(\frac{200}{x}\) ঘণ্টা এবং জিপ গাড়ির সময় লাগে \(\frac{200}{x+5}\) ঘণ্টা।
প্রশ্নানুসারে, \(\frac{200}{x}-\frac{200}{x+5}=2\)
বা, \(200\left\{\frac{x+5-x}{x(x+5)}\right\}=2\)
বা, \(200 \times \frac{5}{x^{2}+5 x}=2\)
বা, \(\frac{1000}{\left(x^2+5 x\right)}=2\)
বা, \(2\left(x^{2}+5 x\right)=1000\)
বা, \(x^{2}+5 x=500\)
বা, \(x^{2}+(25-20) x-500=0\)
বা, \(x^{2}+25 x-20 x-500=0\)
বা, \(x(x+25)-20(x+25)=0\)
বা, \((x+25)(x-20)=0\)
\(\therefore\) হয়, \(x+25=0\)
বা, \(x=-25\)
অথবা, \(x-20=0\)
বা, \(x=20\)
কিন্তু গতিবেগ কখনও ঋণাত্মক হয় না, \(\therefore x = 20\).
\(\therefore\) মােটর গাড়ির নির্ণেয় গতিবেগ ঘণ্টায় 20 কিমি।
\(\therefore\) জিপ গাড়ির গতিবেগ \((x + 5)\) কিমি/ঘণ্টা।
\(\therefore\) 200 কিমি যেতে মােটর গাড়ির সময় লাগে \(\frac{200}{x}\) ঘণ্টা এবং জিপ গাড়ির সময় লাগে \(\frac{200}{x+5}\) ঘণ্টা।
প্রশ্নানুসারে, \(\frac{200}{x}-\frac{200}{x+5}=2\)
বা, \(200\left\{\frac{x+5-x}{x(x+5)}\right\}=2\)
বা, \(200 \times \frac{5}{x^{2}+5 x}=2\)
বা, \(\frac{1000}{\left(x^2+5 x\right)}=2\)
বা, \(2\left(x^{2}+5 x\right)=1000\)
বা, \(x^{2}+5 x=500\)
বা, \(x^{2}+(25-20) x-500=0\)
বা, \(x^{2}+25 x-20 x-500=0\)
বা, \(x(x+25)-20(x+25)=0\)
বা, \((x+25)(x-20)=0\)
\(\therefore\) হয়, \(x+25=0\)
বা, \(x=-25\)
অথবা, \(x-20=0\)
বা, \(x=20\)
কিন্তু গতিবেগ কখনও ঋণাত্মক হয় না, \(\therefore x = 20\).
\(\therefore\) মােটর গাড়ির নির্ণেয় গতিবেগ ঘণ্টায় 20 কিমি।
5. অমিতাদের আয়তক্ষেত্রাকার জমির ক্ষেত্রফল 2000 বর্গমিটার এবং পরিসীমা 180 মিটার। অমিতাদের আয়তক্ষেত্রাকার জমির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ হিসাব করে লিখি ।
ধরি, আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = \(x\) মিটার এবং প্রস্থ = \(y\) মিটার।
\(\therefore\) ক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল = \(xy\) বর্গমিটার এবং পরিসীমা = \(2 (x + y)\) মিটার।
প্রশ্নানুসারে, \(xy = 2000 \ldots (1)\)
এবং \(2(x+y)=180\)
বা, \(x+y=90\)
বা, \(y=90-x\)
এখন (1) নং এ \(y = 90 –x\) বসিয়ে পাই,
\(x(90-x)=2000\)
বা, \(90 x-x^{2}-2000=0\)
বা, \(x^{2}-90 x+2000=0\)
বা, \(x^2-(50+40) x+2000=0\)
বা, \(x^{2}-50 x-40 x+2000=0\)
বা, \(x(x-50)-40(x-50)=0\)
বা, \((x-50)(x-40)=0\)
হয়, \(x-50=0\)
বা, \( x=50\)
নয়, \(x-40=0\)
বা, \(x=40\)
\(\therefore x = 50\) অথবা 40
এখন \(x = 40\) অর্থাৎ দৈর্ঘ্য = 40 মিটার হলে প্রস্থ = (90 - 40) মিটার = 50 মিটার হয়, এটি সম্ভব নয়।
কারণ সর্বদা দৈর্ঘ্য \(\gt\) প্রস্থ হয়
সুতরাং \(x \neq 40\) \(\therefore x=50\)
\(\therefore\) ক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য = 50 মিটার এবং প্রস্থ = (90 – 50) মিটার = 40 মিটার।
\(\therefore\) ক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল = \(xy\) বর্গমিটার এবং পরিসীমা = \(2 (x + y)\) মিটার।
প্রশ্নানুসারে, \(xy = 2000 \ldots (1)\)
এবং \(2(x+y)=180\)
বা, \(x+y=90\)
বা, \(y=90-x\)
এখন (1) নং এ \(y = 90 –x\) বসিয়ে পাই,
\(x(90-x)=2000\)
বা, \(90 x-x^{2}-2000=0\)
বা, \(x^{2}-90 x+2000=0\)
বা, \(x^2-(50+40) x+2000=0\)
বা, \(x^{2}-50 x-40 x+2000=0\)
বা, \(x(x-50)-40(x-50)=0\)
বা, \((x-50)(x-40)=0\)
হয়, \(x-50=0\)
বা, \( x=50\)
নয়, \(x-40=0\)
বা, \(x=40\)
\(\therefore x = 50\) অথবা 40
এখন \(x = 40\) অর্থাৎ দৈর্ঘ্য = 40 মিটার হলে প্রস্থ = (90 - 40) মিটার = 50 মিটার হয়, এটি সম্ভব নয়।
কারণ সর্বদা দৈর্ঘ্য \(\gt\) প্রস্থ হয়
সুতরাং \(x \neq 40\) \(\therefore x=50\)
\(\therefore\) ক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য = 50 মিটার এবং প্রস্থ = (90 – 50) মিটার = 40 মিটার।
Class 10 কষে দেখি 1.3 | Dighat Somikoron Koshe Dekhi 1.3 | দ্বিঘাত সমীকরণ কষে দেখি ১.৩ | class 10 maths solution wbbse
6. দুই অঙ্কের একটি সংখ্যার দশকের ঘরের অঙ্ক এককের ঘরের অঙ্ক অপেক্ষা 3 কম। সংখ্যাটি থেকেউহার অঙ্ক দুটির গুণফল বিয়োগ করলে বিয়োগফল 15 হয়। সংখ্যাটির একক ঘরের অঙ্ক হিসাব করে লিখি।
ধরি, এককের ঘরের অঙ্ক \(x\), \(\therefore\) দশকের ঘরের অঙ্ক \(= x - 3)\),
\(\therefore\) সংখ্যাটি \(=10(x-3)+x=10 x-30+x=11 x-30\)
প্রশ্নানুসারে,
\(11 x-30-\left(x^2-3 x\right)=15\)
বা, \(11 x-30-x^2+3 x-15=0\)
বা, \(-x^2+14 x-45=0\)
বা, \(x^2-14 x+45=0\)
বা, \(x^2-(9+5) x+45=0\)
বা, \(x^2-9 x-5 x+45=0\)
বা, \(x(x-9)-5(x-9)=0\)
বা, \((x-9)(x-5)=0\)
হয় \(x- 9 = 0\)
বা, \(x = 9\)
অথবা, \(x-5 = 0\)
বা, \(x = 5\)
\(\therefore\) সংখ্যাটির এককের অঙ্ক 5 অথবা 9
\(\therefore\) সংখ্যাটি \(=10(x-3)+x=10 x-30+x=11 x-30\)
প্রশ্নানুসারে,
\(11 x-30-\left(x^2-3 x\right)=15\)
বা, \(11 x-30-x^2+3 x-15=0\)
বা, \(-x^2+14 x-45=0\)
বা, \(x^2-14 x+45=0\)
বা, \(x^2-(9+5) x+45=0\)
বা, \(x^2-9 x-5 x+45=0\)
বা, \(x(x-9)-5(x-9)=0\)
বা, \((x-9)(x-5)=0\)
হয় \(x- 9 = 0\)
বা, \(x = 9\)
অথবা, \(x-5 = 0\)
বা, \(x = 5\)
\(\therefore\) সংখ্যাটির এককের অঙ্ক 5 অথবা 9
7. আমাদের স্কুলের চৌবাচ্চায় দুটি নল আছে। নল দুটি দিয়ে চৌবাচ্চাটি \(11 \frac{1}{9}\) মিনিটে পূর্ণ হয়। যদি নল দুটি আলাদাভাবে খোলা থাকে তবে চৌবাচ্চাটি ভর্তি করতে একটি নল অপর নলটি থেকে 5 মিনিট বেশি সময় নেয়। প্রত্যেকটি নল পৃথকভাবে চৌবাচ্চাটিকে কত সময়ে পূর্ণ করবে হিসাব করে লিখি।
ধরি, প্রথম নলটি পৃথকভাবে \(x\) মিনিটে চৌবাচ্চাটি পূর্ণ করে।
\(\therefore\) দ্বিতীয় নলটি \((x+5)\) মিনিটে পৃথকভাবে চৌবাচ্চাটি পূর্ণ করে।
\(\therefore\) দুটি নল একত্রে \(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+5}\right)\) অংশ \(=\frac{x+5+x}{x(x+5)}\) অংশ
\(=\frac{2 x+5}{x^{2}+5 x}\)
অংশ 1 মিনিটে পূর্ণ করতে পারে।
\(\therefore\) দুটি নল একত্রে \(\frac{x^{2}+5 x}{2 x+5}\) মিনিটে চৌবাচ্চাটি পূর্ণ করতে পারে।
প্রশ্নানুসারে, \(\frac{x^{2}+5 x}{2 x+5}=11 \frac{1}{9} \quad\)
বা, \(\frac{x^{2}+5 x}{2 x+5}=\frac{100}{9}\)
বা, \(9 x^{2}+45 x=200 x+500\)
বা, \(9 x^2+45 x-200 x-500=0\)
বা, \(9 x^{2}-155 x-500=0\)
বা, \(9 x^{2}-(180-25) x-500=0\)
বা, \(9 x^{2}-180 x+25 x-500=0\)
বা, \(9 x(x-20)+25(x-20)=0\)
বা, \((x-20)(x+25)=0\)
\(\therefore\) হয় \(x - 20 = 0\)
বা, \(x = 20\)
অথবা, \(x + 25 = 0\).
বা, \(x = - 25\).
কিন্তু \(x\)-এর মান ঋণাত্মক হতে পারে না। \(\therefore x = 20 \)
\(\therefore\) প্রথম নলটি 20 মিনিটে এবং দ্বিতীয় নলটি \((20 + 5)\) মিনিটে = 25 মিনিটে পৃথকভাবে চৌবাচ্চাটি পূর্ণ করতে পারে।
\(\therefore\) দ্বিতীয় নলটি \((x+5)\) মিনিটে পৃথকভাবে চৌবাচ্চাটি পূর্ণ করে।
\(\therefore\) দুটি নল একত্রে \(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+5}\right)\) অংশ \(=\frac{x+5+x}{x(x+5)}\) অংশ
\(=\frac{2 x+5}{x^{2}+5 x}\)
অংশ 1 মিনিটে পূর্ণ করতে পারে।
\(\therefore\) দুটি নল একত্রে \(\frac{x^{2}+5 x}{2 x+5}\) মিনিটে চৌবাচ্চাটি পূর্ণ করতে পারে।
প্রশ্নানুসারে, \(\frac{x^{2}+5 x}{2 x+5}=11 \frac{1}{9} \quad\)
বা, \(\frac{x^{2}+5 x}{2 x+5}=\frac{100}{9}\)
বা, \(9 x^{2}+45 x=200 x+500\)
বা, \(9 x^2+45 x-200 x-500=0\)
বা, \(9 x^{2}-155 x-500=0\)
বা, \(9 x^{2}-(180-25) x-500=0\)
বা, \(9 x^{2}-180 x+25 x-500=0\)
বা, \(9 x(x-20)+25(x-20)=0\)
বা, \((x-20)(x+25)=0\)
\(\therefore\) হয় \(x - 20 = 0\)
বা, \(x = 20\)
অথবা, \(x + 25 = 0\).
বা, \(x = - 25\).
কিন্তু \(x\)-এর মান ঋণাত্মক হতে পারে না। \(\therefore x = 20 \)
\(\therefore\) প্রথম নলটি 20 মিনিটে এবং দ্বিতীয় নলটি \((20 + 5)\) মিনিটে = 25 মিনিটে পৃথকভাবে চৌবাচ্চাটি পূর্ণ করতে পারে।
8. পর্ণা ও পীযুষ কোনো একটি কাজ একত্রে 4 দিনে সম্পন্ন করে। আলাদাভাবে একা কাজ করলে পর্ণার যে সময় লাগবে, পীযুষের তার চেয়ে 6 দিন বেশি সময় লাগবে। পর্ণা একাকী কতদিনে কাজটি সম্পন্ন করতে পারবে হিসাব করে লিখি।
মনেকরি, পর্ণা একাকী কাজটি \(x\) দিনে করতে পারবে।
\(\therefore\) পীযুষ একাকী কাজটি \((x+6)\) দিনে করতে পারবে।
\(\therefore\) পর্ণা একাকী 1 দিনে করে কাজটির \(\frac{1}{x}\) অংশ
\(\therefore\) পীযুষ একাকী 1 দিনে করে কাজটির \(\frac{1}{x+6}\) অংশ
\(\therefore\) পর্ণা ও পীযুষ দুজনে 1 দিনে করে কাজটির \(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+6}\right)\) অংশ \(\frac{x+6+x}{x(x+6)}\) অংশ =\(\frac{2x+6}{x(x+6)}\)
4 দিনে করে কাজটির \(\frac{4(2 x+6)}{x(x+6)}\) অংশ
প্রশ্নানুসারে, \(\frac{4(2 x+6)}{x(x+6)}=1\)
বা, \(x(x+6)=4(2 x+6)\)
বা, \(x^{2}+6 x=8 x+24\)
বা, \(x^{2}+6 x-8 x-24=0\)
বা, \(x^{2}-2 x-24=0\)
বা, \(x^2-(6-4) x-24=0\)
বা, \(x^{2}-6 x+4 x-24=0\)
বা, \(x(x-6)+4(x-6)=0\)
বা, \((x-6)(x+4)=0\)
\(\therefore\) হয়, \(x-6=0\)
বা, \(x=6\)
অথবা, \(x+4=0\)
বা, \(x=-4\)
\(x \neq-4\) কারণ সময় ঋণাত্মক নয় \(\therefore x=6\)
\(\therefore\) পর্ণা একাকী কাজটি 6 দিনে করতে পারবে।
\(\therefore\) পীযুষ একাকী কাজটি \((x+6)\) দিনে করতে পারবে।
\(\therefore\) পর্ণা একাকী 1 দিনে করে কাজটির \(\frac{1}{x}\) অংশ
\(\therefore\) পীযুষ একাকী 1 দিনে করে কাজটির \(\frac{1}{x+6}\) অংশ
\(\therefore\) পর্ণা ও পীযুষ দুজনে 1 দিনে করে কাজটির \(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+6}\right)\) অংশ \(\frac{x+6+x}{x(x+6)}\) অংশ =\(\frac{2x+6}{x(x+6)}\)
4 দিনে করে কাজটির \(\frac{4(2 x+6)}{x(x+6)}\) অংশ
প্রশ্নানুসারে, \(\frac{4(2 x+6)}{x(x+6)}=1\)
বা, \(x(x+6)=4(2 x+6)\)
বা, \(x^{2}+6 x=8 x+24\)
বা, \(x^{2}+6 x-8 x-24=0\)
বা, \(x^{2}-2 x-24=0\)
বা, \(x^2-(6-4) x-24=0\)
বা, \(x^{2}-6 x+4 x-24=0\)
বা, \(x(x-6)+4(x-6)=0\)
বা, \((x-6)(x+4)=0\)
\(\therefore\) হয়, \(x-6=0\)
বা, \(x=6\)
অথবা, \(x+4=0\)
বা, \(x=-4\)
\(x \neq-4\) কারণ সময় ঋণাত্মক নয় \(\therefore x=6\)
\(\therefore\) পর্ণা একাকী কাজটি 6 দিনে করতে পারবে।
আজই Install করুন Chatra Mitra
9. কলমের মূল্য প্রতি ডজনে 6 টাকা কমলে 30 টাকায় আরও 3 টি বেশি কলম পাওয়া যাবে। কমার পূর্বে প্রতি ডজন কলমের মূল্য নির্ণয় করি।
মনেকরি, প্রতি ডজন কলমের বর্তমান মূল্য \(x\) টাকা
\(x\) টাকায় পাওয়া যায় 12টি কলম
1 টাকায় পাওয়া যায় \(\frac{12}{x}\) টি কলম
\(\therefore\) 30 টাকায় কলম পাওয়া যায় \(\frac{30\times 12}{x}\) টি
কলমের মূল্য প্রতি ডজন 6 টাকা কমলে প্রতি ডজন কলমের মূল্য হবে \((x-6)\) টাকা
\(\therefore\) 30 টাকায় কলম পাওয়া যায় \(\frac{30\times 12}{x-6}\) টি
প্রশ্নানুসারে ,\(\frac{30\times 12}{x-6}-\frac{30\times 12}{x}=3\)
বা, \(\frac{30}{x-6}-\frac{30}{x}=\frac{3}{12}\)
বা, \(\frac{30 x-30(x-6)}{x(x-6)}=\frac{1}{4}\)
বা, \(\frac{30 x-30x-180}{x(x-6)}=\frac{1}{4}\)
বা, \(\frac{180}{x^2-6 x}=\frac{1}{4}\)
বা, \(x^{2}-6 x=720\)
বা, \(x^{2}-6 x-720=0\)
বা, \(x^2-(30-24) x-720=0\)
বা, \(x^{2}-30 x+24 x-720=0\)
বা, \(x(x-30)+24(x-30)=0\)
বা, \((x-30)(x+24)=0\)
\(\therefore\) হয় \(x-30=0\)
বা, \(x=30\)
অথবা, \(x+24=0 \)
বা, \(x=-24\)
\(x \neq-24\) কারণ মূল্য ঋণাত্মক নয় \(\therefore x=30\)
\(\therefore\) প্রতি ডজন কলমের বর্তমান মূল্য 30 টাকা ।
\(x\) টাকায় পাওয়া যায় 12টি কলম
1 টাকায় পাওয়া যায় \(\frac{12}{x}\) টি কলম
\(\therefore\) 30 টাকায় কলম পাওয়া যায় \(\frac{30\times 12}{x}\) টি
কলমের মূল্য প্রতি ডজন 6 টাকা কমলে প্রতি ডজন কলমের মূল্য হবে \((x-6)\) টাকা
\(\therefore\) 30 টাকায় কলম পাওয়া যায় \(\frac{30\times 12}{x-6}\) টি
প্রশ্নানুসারে ,\(\frac{30\times 12}{x-6}-\frac{30\times 12}{x}=3\)
বা, \(\frac{30}{x-6}-\frac{30}{x}=\frac{3}{12}\)
বা, \(\frac{30 x-30(x-6)}{x(x-6)}=\frac{1}{4}\)
বা, \(\frac{30 x-30x-180}{x(x-6)}=\frac{1}{4}\)
বা, \(\frac{180}{x^2-6 x}=\frac{1}{4}\)
বা, \(x^{2}-6 x=720\)
বা, \(x^{2}-6 x-720=0\)
বা, \(x^2-(30-24) x-720=0\)
বা, \(x^{2}-30 x+24 x-720=0\)
বা, \(x(x-30)+24(x-30)=0\)
বা, \((x-30)(x+24)=0\)
\(\therefore\) হয় \(x-30=0\)
বা, \(x=30\)
অথবা, \(x+24=0 \)
বা, \(x=-24\)
\(x \neq-24\) কারণ মূল্য ঋণাত্মক নয় \(\therefore x=30\)
\(\therefore\) প্রতি ডজন কলমের বর্তমান মূল্য 30 টাকা ।
10. অতিসংক্ষিপ্তধর্মী প্ৰশ্ন (V.S.A.)
(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q)
(i) একটি দ্বিঘাত সমীকরণের বীজের সংখ্যা
(a) একটি (b) দুটি (c) তিনটি (d) কোনোটিই নয়
(a) একটি (b) দুটি (c) তিনটি (d) কোনোটিই নয়
(b) দুটি।
(ii) \(a x^{2}+b x+c=0\) দ্বিঘাত সমীকরণ হলে
(a) \(b \neq 0 (b) c \neq 0 (c) a \neq 0 (d)\) কোনোটিই নয়
(a) \(b \neq 0 (b) c \neq 0 (c) a \neq 0 (d)\) কোনোটিই নয়
(c) \(a \neq 0, \because\) যদি a = 0 হয়, তবে দ্বিঘাত সমীকরণটি একটি একঘাত সমীকরণে পরিণত হয়।
(iii) একটি দ্বিঘাত সমীকরণের চলের সর্বোচ্চ ঘাত
(a) 1 (b) 2 (c) 3 (d) কোনোটিই নয়
(a) 1 (b) 2 (c) 3 (d) কোনোটিই নয়
(b) 2.
Class 10 কষে দেখি 1.3 | Dighat Somikoron Koshe Dekhi 1.3 | দ্বিঘাত সমীকরণ কষে দেখি ১.৩ | class 10 maths solution wbbse
(iv) \(4(5 x^{2}-7 x+2)=5\left(4 x^{2}-6 x+3\right)\) সমীকরণটি
(a) রৈখিক (b) দ্বিঘাত (c) ত্রিঘাত (d) কোনোটিই নয়।
(a) রৈখিক (b) দ্বিঘাত (c) ত্রিঘাত (d) কোনোটিই নয়।
(a) রৈখিক; কারণ, \(4\left(5 x^{2}-7 x+2\right)=5\left(4 x^{2}-6 x+3\right)\)
বা, \(20 x^{2}-28 x+8=20 x^{2}-30 x+15 \)
বা, \(-28 x+30 x+8-15=0\)
বা, \(2x - 7 = 0\), যা একটি একঘাত বা রৈখিক সমীকরণ।
বা, \(20 x^{2}-28 x+8=20 x^{2}-30 x+15 \)
বা, \(-28 x+30 x+8-15=0\)
বা, \(2x - 7 = 0\), যা একটি একঘাত বা রৈখিক সমীকরণ।
(v) \(\frac{x^{2}}{x}=6\) সমীকরণটির বীজ /বীজদয় ।
(a) 0 (b) 6 (c) 0 ও 6 (d) -6
(a) 0 (b) 6 (c) 0 ও 6 (d) -6
(b) 6; কারণ,
\(\frac{x^2}{x}=6\)
বা, \(x^2=6 x\)
বা, \(x^2-6 x=0\)
বা, \(x(x-6)=0\)
\(\because x \not= 0\)
\(\therefore x-6=0\)
বা, \(x=6\)
\(\frac{x^2}{x}=6\)
বা, \(x^2=6 x\)
বা, \(x^2-6 x=0\)
বা, \(x(x-6)=0\)
\(\because x \not= 0\)
\(\therefore x-6=0\)
বা, \(x=6\)
(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি :
(i) \((x-3)^{2}=x^{2}-6 x+9\) একটি দ্বিঘাত সমীকরণ।
(a) বিবৃতিটি মিথ্যা ; কারণ, \((x-3)^{2}=x^{2}-6 x+9\)
বা, \(x^{2}-6 x+9=x^{2}-6 x+9\)
বা, \(0 = 0\),
বা, \(x^{2}-6 x+9=x^{2}-6 x+9\)
বা, \(0 = 0\),
(ii) \(x^{2}=25\) সমীকরণটির একটি মাত্র বীজ 5 ।
\(x^{2}=25\)
বা, \(x=\pm \sqrt{25}\)
বা, \(x = \pm 5\)
\(\therefore\) প্রদত্ত সমীকরণের বীজ দুটি।
\(\therefore\) \(x = - 5\) এবং \(x = 5\)
\(\therefore\) বিবৃতিটি মিথ্যা।
বা, \(x=\pm \sqrt{25}\)
বা, \(x = \pm 5\)
\(\therefore\) প্রদত্ত সমীকরণের বীজ দুটি।
\(\therefore\) \(x = - 5\) এবং \(x = 5\)
\(\therefore\) বিবৃতিটি মিথ্যা।
(C) শূন্যস্থান পূরণ করি
(i) যদি \(a x^{2}+b x+c=0\) সমীকরণটির \(a=0\) এবং \(b \neq 0\) হয়, তবে সমীকরণটি একটি_______ সমীকরণ।
\(a x^{2}+b x+c=0\)
বা, \(0 . x^{2}+b x+c=0 \quad[\because a=0]\)
বা, \(bx + c = 0\), যা একটি রৈখিক সমীকরণ। \(\therefore\) রৈখিক সমীকরণ।
বা, \(0 . x^{2}+b x+c=0 \quad[\because a=0]\)
বা, \(bx + c = 0\), যা একটি রৈখিক সমীকরণ। \(\therefore\) রৈখিক সমীকরণ।
(ii) যদি একটি দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজই 1 হয়, তাহলে সমীকরণটি হলো_______ ।
\(x^{2}-2 x+1=0\)
কারণ, \(x^2-2 x+1=0\)
বা, \((x-1)^2=0\)
\(x-1 > 0\)
বা, \(x=1\)
\((x-1)=0\)
বা, \(x=1\)
কারণ, \(x^2-2 x+1=0\)
বা, \((x-1)^2=0\)
\(x-1 > 0\)
বা, \(x=1\)
\((x-1)=0\)
বা, \(x=1\)
Class 10 কষে দেখি 1.3 | Dighat Somikoron Koshe Dekhi 1.3 | দ্বিঘাত সমীকরণ কষে দেখি ১.৩ | class 10 maths solution wbbse
Madhyamik Previous Year Question Paper | মাধ্যমিক বিগত বছরের অঙ্ক প্রশ্নের উত্তরপত্র আজই Install করুন Chatra Mitra
(iii) \(x^{2}=6 x\) সমীকরণটির বীজদয়_______ও _______।
\(x^{2}=6 x\)
বা, \(x^{2}-6 x=0\)
বা, \(x(x-6)=0\)
\(\therefore\) হয় \(x = 0\)
অথবা, \(x- 6 = 0\) বা, \(x = 6\).
\(\therefore\) বীজদ্বয় 0 ও 6 ।
বা, \(x^{2}-6 x=0\)
বা, \(x(x-6)=0\)
\(\therefore\) হয় \(x = 0\)
অথবা, \(x- 6 = 0\) বা, \(x = 6\).
\(\therefore\) বীজদ্বয় 0 ও 6 ।
সংক্ষিপ্তধর্মী প্রশ্ন (S.A.Q)
11.
(i) \(x^{2}+a x+3=0\) সমীকরণের একটি বীজ 1 হলে, a-এর মান নির্ণয় করি।
\(x^{2}+a x+3=0\) সমীকরণের একটি বীজ 1
\(\therefore 1^2 + a.1 + 3 = 0\)
বা, \(1 + a + 3 = 0\)
বা, \(a + 4 = 0\)
বা, \(a = - 4\)
\(\therefore\) নির্ণেয় \(a\)-এর মান \(=-4\)
\(\therefore 1^2 + a.1 + 3 = 0\)
বা, \(1 + a + 3 = 0\)
বা, \(a + 4 = 0\)
বা, \(a = - 4\)
\(\therefore\) নির্ণেয় \(a\)-এর মান \(=-4\)
(ii) \(x^{2}-(2+b) x+6=0\) সমীকরণের একটি বীজ 2 হলে অপর বীজটির মান লিখি।
\(x^{2}-(2+b) x+6=0\) সমীকরণের একটি বীজ 2.
\(\therefore 2^{2}-(2+b) \cdot 2+6=0 \quad\)
বা, \(4-4-2 b+6=0\)
বা, \(-2 b=-6\)
বা, \(2 b=6\)
বা, \(b=\frac{6}{2}=3\).
\(\therefore\ b=3)
\(\therefore\) সমীকরণটি \(x^{2}-(2+3) x+6=0\)
বা, \(x^{2}-2 x-3 x+6=0\)
বা, \(x(x-2)-3(x-2)=0\)
বা, \((x-2)(x-3)=0\)
\(\therefore\) হয় \(x-2=0\)
বা, \(x=2\)
অথবা, \(x - 3 = 0\) বা, \(x = 3\).
\(\therefore\) অপর বীজটি 3.
বিকল্প :
বীজদ্বয়ের গুণফল \(=\frac{6}{1}=6\)
একটি বীজ 2,
\(\therefore\) অপর বীজটি \(=\frac{6}{2}=3\)
\(\therefore 2^{2}-(2+b) \cdot 2+6=0 \quad\)
বা, \(4-4-2 b+6=0\)
বা, \(-2 b=-6\)
বা, \(2 b=6\)
বা, \(b=\frac{6}{2}=3\).
\(\therefore\ b=3)
\(\therefore\) সমীকরণটি \(x^{2}-(2+3) x+6=0\)
বা, \(x^{2}-2 x-3 x+6=0\)
বা, \(x(x-2)-3(x-2)=0\)
বা, \((x-2)(x-3)=0\)
\(\therefore\) হয় \(x-2=0\)
বা, \(x=2\)
অথবা, \(x - 3 = 0\) বা, \(x = 3\).
\(\therefore\) অপর বীজটি 3.
বিকল্প :
বীজদ্বয়ের গুণফল \(=\frac{6}{1}=6\)
একটি বীজ 2,
\(\therefore\) অপর বীজটি \(=\frac{6}{2}=3\)
(iii) \(2 x^{2}+k x+4=0\) সমীকরণের একটি বীজ 2 হলে, অপর বীজটির মান লিখি।
\(2 x^{2}+k x+4=0\) সমীকরণের একটি বীজ 2 হলে অপর বীজটি
\(2 x^{2}+k x+4=0\)
বা, \(2.(2^{2})+k .2=-4\)
বা, \(8+2 k=-4\)
বা, \(2 \mathrm{k}=-8-4\)
বা, \(2 \mathrm{k}=-12\)
বা, \(k=\frac{-12}{2}\)
\(\therefore \mathrm{k}=-6\)
\(\mathrm{k}=-6\)
\(2 x^{2}-6 x+4=0\)
বা, \(x^{2}-3 x+2=0\)
বা, \(x^2-(2+1) x+2=0\)
বা, \(x^{2}-2 x-x+2=0\)
বা, \(x(x-2)-1(x-2)=0\)
বা, \((x-2)(x-1)=0\)
হয়, \(x-2=0\)
বা, \(x=2\)
না হয়, \(x-1=0\)
বা, \(x=1\)
\(\therefore\) অপর বীজটি 1।
\(2 x^{2}+k x+4=0\)
বা, \(2.(2^{2})+k .2=-4\)
বা, \(8+2 k=-4\)
বা, \(2 \mathrm{k}=-8-4\)
বা, \(2 \mathrm{k}=-12\)
বা, \(k=\frac{-12}{2}\)
\(\therefore \mathrm{k}=-6\)
\(\mathrm{k}=-6\)
\(2 x^{2}-6 x+4=0\)
বা, \(x^{2}-3 x+2=0\)
বা, \(x^2-(2+1) x+2=0\)
বা, \(x^{2}-2 x-x+2=0\)
বা, \(x(x-2)-1(x-2)=0\)
বা, \((x-2)(x-1)=0\)
হয়, \(x-2=0\)
বা, \(x=2\)
না হয়, \(x-1=0\)
বা, \(x=1\)
\(\therefore\) অপর বীজটি 1।
(iv) একটি প্রকৃত ভগ্নাংশ ও তার অন্যোন্যকের অন্তর \(\frac{9}{20}\); সমীকরণটি লিখি।
মনে করি, প্রকৃত ভগ্নাংশটি \(=x\), ইহার অন্যোন্যক \(=\frac{1}{x}\)
\(\therefore\) \(x\) প্রকৃত ভগ্নাংশ, \(\therefore x<1\) এবং \(\frac{1}{x}>1\). সুতরাং \(\frac{1}{x}>x\)
প্রশ্নানুসারে, \(\frac{1}{x}-x=\frac{9}{20}\)
বা, \(\frac{1-x^2}{x}=\frac{9}{20}\)
বা, \(1-x^{2}=\frac{9 x}{20}\) [উভয়পক্ষকে \(x\) দিয়ে গুণ করে]
বা, \(20-20 x^{2}=9 x\) [উভয়পক্ষকে 20 দিয়ে গুণ করে]
বা, \(20 x^{2}+9 x-20=0\)
বা, \(20 x^2+(25-16) x-20=0\)
বা, \(20 x^{2}+25 x-16 x-20=0\)
বা, \(5 x(4 x+5)-4(4 x+5)=0\)
বা, \((5 x-4)(4 x+5)=0\)
\(\therefore\) \(5 x-4=0\)
বা, \(5 x=4\)
বা, \(x=\frac{4}{5}\)
অথবা, \(4 x+5=0\)
বা, \(4 x=-5\)
বা, \(x=-\frac{5}{4}\)
\(x=-\frac{5}{4}\) ইহা প্রকৃত ভগ্নাংশ নয়, \(x\)-এর \(-\frac{5}{4}\) মান বাদ দেওয়া হল।
\(x=\frac{4}{5}\), এটি গ্রহণযােগ্য মান। \(\frac{4}{5}\) একটি প্রকৃত ভগ্নাংশ।
উত্তর : নির্ণেয় প্রকৃত ভগ্নাংশটি হল \(\frac{4}{5}\)।
\(\therefore\) \(x\) প্রকৃত ভগ্নাংশ, \(\therefore x<1\) এবং \(\frac{1}{x}>1\). সুতরাং \(\frac{1}{x}>x\)
প্রশ্নানুসারে, \(\frac{1}{x}-x=\frac{9}{20}\)
বা, \(\frac{1-x^2}{x}=\frac{9}{20}\)
বা, \(1-x^{2}=\frac{9 x}{20}\) [উভয়পক্ষকে \(x\) দিয়ে গুণ করে]
বা, \(20-20 x^{2}=9 x\) [উভয়পক্ষকে 20 দিয়ে গুণ করে]
বা, \(20 x^{2}+9 x-20=0\)
বা, \(20 x^2+(25-16) x-20=0\)
বা, \(20 x^{2}+25 x-16 x-20=0\)
বা, \(5 x(4 x+5)-4(4 x+5)=0\)
বা, \((5 x-4)(4 x+5)=0\)
\(\therefore\) \(5 x-4=0\)
বা, \(5 x=4\)
বা, \(x=\frac{4}{5}\)
অথবা, \(4 x+5=0\)
বা, \(4 x=-5\)
বা, \(x=-\frac{5}{4}\)
\(x=-\frac{5}{4}\) ইহা প্রকৃত ভগ্নাংশ নয়, \(x\)-এর \(-\frac{5}{4}\) মান বাদ দেওয়া হল।
\(x=\frac{4}{5}\), এটি গ্রহণযােগ্য মান। \(\frac{4}{5}\) একটি প্রকৃত ভগ্নাংশ।
উত্তর : নির্ণেয় প্রকৃত ভগ্নাংশটি হল \(\frac{4}{5}\)।
(v) \(a x^{2}+b x+35=0\) সমীকরণের বীজদ্বয় – 5 ও – 7 হলে, a এবং b -এর মান লিখি।
\(a x^{2}+b x+35=0\)
বা, \(a \times(-5)^{2}+b \times(-5)+35=0\) [ \(\because(-5)\) একটি বীজ ]
বা, \(25 a-5 b+35=0..........(1)\)
আবার, \(a x^{2}+b x+35=0\)
বা, \(a \times(-7)^{2}+b \times(-7)+35=0 \quad[\because(-7)\) একটি বীজ]
বা, \(49 a-7 b+35=0.............(2)\)
এখন, (1) \(\times 7\) এবং (2) \(\times 5\) করে পাই,
বা, \(175 a-35 b+245=0.................(3)\)
এবং \(245 a-35 b+175=0..............(4)\)
(4)-(3) করে পাই, \(70 a-70=0\)
বা, \(70 a=70\)
বা, \(a=\frac{70}{70}\)
বা, \(a=1\)
তাহলে, (1) থেকে পাই, \(25 \times 1-5 b+35=0\)
বা, \(25-5 b+35=0\)
বা, \(-5 b+60=0\)
বা, \(-5 b=-60\)
বা, \(5 b=60\)
বা, \(b=\frac{60}{5}\)
বা, \(b=12\)
\(\therefore \quad a=1, \quad b=12\)
বা, \(a \times(-5)^{2}+b \times(-5)+35=0\) [ \(\because(-5)\) একটি বীজ ]
বা, \(25 a-5 b+35=0..........(1)\)
আবার, \(a x^{2}+b x+35=0\)
বা, \(a \times(-7)^{2}+b \times(-7)+35=0 \quad[\because(-7)\) একটি বীজ]
বা, \(49 a-7 b+35=0.............(2)\)
এখন, (1) \(\times 7\) এবং (2) \(\times 5\) করে পাই,
বা, \(175 a-35 b+245=0.................(3)\)
এবং \(245 a-35 b+175=0..............(4)\)
(4)-(3) করে পাই, \(70 a-70=0\)
বা, \(70 a=70\)
বা, \(a=\frac{70}{70}\)
বা, \(a=1\)
তাহলে, (1) থেকে পাই, \(25 \times 1-5 b+35=0\)
বা, \(25-5 b+35=0\)
বা, \(-5 b+60=0\)
বা, \(-5 b=-60\)
বা, \(5 b=60\)
বা, \(b=\frac{60}{5}\)
বা, \(b=12\)
\(\therefore \quad a=1, \quad b=12\)
Class 10 কষে দেখি 1.3 | Dighat Somikoron Koshe Dekhi 1.3 | দ্বিঘাত সমীকরণ কষে দেখি ১.৩ | class 10 maths solution wbbse
Madhyamik Previous Year Question Paper | মাধ্যমিক বিগত বছরের অঙ্ক প্রশ্নের উত্তরপত্র আজই Install করুন Chatra Mitra
এই Page টি বা এই Website টির কোন প্রকার বিষয়বস্তু কপি করা বা সম্পাদনা করা নিষিদ্ধ। ভারতীয় Copywright আইন 1957 এর ধারা 63 অনুযায়ী, এই ফাইলটির সমস্ত অধিকার 'ছাত্র মিত্র Mathematics' অ্যাপ দ্বারা সংরক্ষিত। ছাত্র মিত্রের অনুমতি ছাড়া, এই Page টি বা এই Website টির কোন প্রকার বিষয়বস্তু কপি করা বা সম্পাদনা করা আইনত দন্ডনীয় অপরাধ। কেউ ছাত্র মিত্রের অনুমতি ছাড়া, এই Page টি বা এই Website টির কোন প্রকার বিষয়বস্তু কপি বা সম্পাদনা করলে ছাত্র মিত্র কতৃপক্ষ তার বিরুদ্ধে সকল প্রকার কঠোর আইনি পদক্ষেপ করবে।
