WBBSE Madhyamik Class 10(Ten) (X)Math Solution Of Chapter 1, Exercise 1.5 Quadratic Equation | দ্বিঘাত সমীকরণ কষে দেখি ১.5 | Dighat Somikoron Koshe Dekhi 1.5 Class 10 | গণিত প্রকাশ সমাধান ক্লাস ১০(টেন) কষে দেখি 1.5 | Ganit Prakash somadhan Class 10
Share this page using :
Class 10 Dighat Somikoron | Dighat Somikoron Koshe Dekhi 1.5 | দশম শ্রেণীর দ্বিঘাত সমীকরণ কষে দেখি ১.৫ | কষে দেখি 1.5 ক্লাস 10 | class 10 maths solution wbbse |
কষে দেখি - 1.5
1. নীচের দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয়ের প্রকৃতি লিখি-
Madhyamik Previous Year Question Paper | মাধ্যমিক বিগত বছরের অঙ্ক প্রশ্নের উত্তরপত্রআজই Install করুন Chatra Mitra
(i) \(2{x^2} + 7x + 3 = 0\)
\(2{x^2} + 7x + 3 = 0\) সমীকরণের নিরূপক
\(b^{2}-4ac\)
\({\rm{ = (}} - {\rm{7}}{{\rm{)}}^2} - 4.2.3\)
\({\rm{ = 49 - 24}}\)
\( = 25 > 0\)
\(\therefore\) সমীকরণটির বীজদ্বয়ে বাস্তব ও অসমান।
\(b^{2}-4ac\)
\({\rm{ = (}} - {\rm{7}}{{\rm{)}}^2} - 4.2.3\)
\({\rm{ = 49 - 24}}\)
\( = 25 > 0\)
\(\therefore\) সমীকরণটির বীজদ্বয়ে বাস্তব ও অসমান।
(ii) \(3{x^2} - 2\sqrt {6x} + 2 = 0\)
\(3{x^2} - 2\sqrt {6x} + 2 = 0\) সমীকরণের নিরূপক
\(b^{2}-4ac\)
\( = {( - 2\sqrt 6 )^2}-4.3.2\)
\( = 24 - 24 = 0\)
\(\therefore\) সমীকরণটির বীজদ্বয়ে বাস্তব ও সমান।
\(b^{2}-4ac\)
\( = {( - 2\sqrt 6 )^2}-4.3.2\)
\( = 24 - 24 = 0\)
\(\therefore\) সমীকরণটির বীজদ্বয়ে বাস্তব ও সমান।
(iii) \(2{x^2} - 7x + 9 = 0\)
\(2{x^2} - 7x + 9 = 0\) সমীকরণের নিরূপক
\(b^{2}-4ac\)
\( = {( - 7)^2} - 4.2.9\)
\({\rm{ = 49 - 72 = - 23 < 0}}\)
\(\therefore\) সমীকরণটির বীজদ্বয় অবাস্তব ও কাল্পনিক।
\(b^{2}-4ac\)
\( = {( - 7)^2} - 4.2.9\)
\({\rm{ = 49 - 72 = - 23 < 0}}\)
\(\therefore\) সমীকরণটির বীজদ্বয় অবাস্তব ও কাল্পনিক।
(iv) \(\frac{2}{5}{x^2} - \frac{2}{3}x + 1 = 0\)
\(\frac{2}{5}{x^2} - \frac{2}{3}x + 1 = 0\) সমীকরণের নিরূপক
\(b^{2}-4ac\)
\( = {\left( { - \frac{2}{3}} \right)^2} - 4.\frac{2}{5}.1\)
\(=\frac{4}{9}-\frac{8}{5}\)
\(=\frac{20-72}{45}\)
\(=\frac{-52}{45}<0\)
\(\therefore\) সমীকরণটির বীজদ্বয় অবাস্তব ও কাল্পনিক।
\(b^{2}-4ac\)
\( = {\left( { - \frac{2}{3}} \right)^2} - 4.\frac{2}{5}.1\)
\(=\frac{4}{9}-\frac{8}{5}\)
\(=\frac{20-72}{45}\)
\(=\frac{-52}{45}<0\)
\(\therefore\) সমীকরণটির বীজদ্বয় অবাস্তব ও কাল্পনিক।
Class 10 Dighat Somikoron | Dighat Somikoron Koshe Dekhi 1.5 | দশম শ্রেণীর দ্বিঘাত সমীকরণ কষে দেখি ১.৫ | কষে দেখি 1.5 ক্লাস 10 | class 10 maths solution wbbse
2. k-এর কোন মান / মানগুলির জন্য নীচের প্রতিটি দ্বিঘাত সমীকরণের বাস্তব ও সমান বীজ থাকবে হিসাব করে লিখি-
(i) \(49{x^2} + kx + 1 = 0\)
\(49{x^2} + kx + 1 = 0\) সমীকরণের বীজদয় বাস্তব ও সমান হলে নিরূপক শূন্য হয় অর্থাৎ \(b^{2}-4ac=0\)
\({(k)^2} - 4.49.1 = 0\)
বা, \(k^2 = {196} \)
বা, \(k = \pm \sqrt {196} = \pm 14\)
\({(k)^2} - 4.49.1 = 0\)
বা, \(k^2 = {196} \)
বা, \(k = \pm \sqrt {196} = \pm 14\)
(ii) \(3{x^2} - 5x + 2k = 0\)
\(3{x^2} - 5x + 2k = 0\) সমীকরণের বীজদয় বাস্তব ও সমান হলে নিরূপক শূন্য হয় অর্থাৎ \(b^{2}-4ac=0\)
বা,\({( - 5)^2} - 4.3.2k = 0\)
বা, \({\rm{25 - 24 k = 0}}\)
\(\therefore k = \frac{{25}}{{24}}\)
\(\therefore\) k-এর মান \(\frac{{25}}{{24}}\)
বা,\({( - 5)^2} - 4.3.2k = 0\)
বা, \({\rm{25 - 24 k = 0}}\)
\(\therefore k = \frac{{25}}{{24}}\)
\(\therefore\) k-এর মান \(\frac{{25}}{{24}}\)
(iii) \(9{x^2} - 24x + k = 0\)
\(9{x^2} - 24x + k = 0\) সমীকরণের বীজদয় বাস্তব ও সমান হলে নিরূপক শূন্য হয় অর্থাৎ \(b^{2}-4ac=0\)
\({( - 24)^2} - 4.9 \cdot k = 0\)
বা, \({\rm{36 k = 576}}\)
বা, \({\rm{k}} = 16\)
\(\therefore\) k-এর মান 16
\({( - 24)^2} - 4.9 \cdot k = 0\)
বা, \({\rm{36 k = 576}}\)
বা, \({\rm{k}} = 16\)
\(\therefore\) k-এর মান 16
(iv) \(2{x^2} + 3x + k = 0\)
\(2{x^2} + 3x + k = 0\) সমীকরণের বীজদয় বাস্তব ও সমান হলে নিরূপক শূন্য হয় অর্থাৎ \(b^{2}-4ac=0\)
\({(3)^2} - 4.2k = 0\)
বা, \({\rm{8 k = 9}}\)
বা, \(k = \frac{9}{8}\)
\(\therefore\) k-এর মান \(\frac{9}{8}\) হবে।
\({(3)^2} - 4.2k = 0\)
বা, \({\rm{8 k = 9}}\)
বা, \(k = \frac{9}{8}\)
\(\therefore\) k-এর মান \(\frac{9}{8}\) হবে।
(v) \({x^2} - 2(5 + 2k)x + 3(7 + 10k) = 0\)
\({x^2} - 2(5 + 2k)x + 3(7 + 10k) = 0\) সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান হলে নিরূপক শূন্য হয় অর্থাৎ \(b^{2}-4ac=0\)
\({\{ - 2(5 + 2k)\} ^2} - 4.1.3(7 + 10k) = 0\)
বা, \(25 + 20k + 4{k^2} - 21 - 30k = 0\)
বা, \(4{k^2} - 10k + 4 = 0\)
বা, \(2{k^2} - 5k + 2 = 0\)
বা, \({\rm{( 2 k - 1 ) ( k - 2 ) = 0}}\)
\(\therefore\) \({\rm{k}} = 2,\frac{1}{2}\)
\(\therefore\) k-এর মান 2 ও \(\frac{1}{2}\)
\({\{ - 2(5 + 2k)\} ^2} - 4.1.3(7 + 10k) = 0\)
বা, \(25 + 20k + 4{k^2} - 21 - 30k = 0\)
বা, \(4{k^2} - 10k + 4 = 0\)
বা, \(2{k^2} - 5k + 2 = 0\)
বা, \({\rm{( 2 k - 1 ) ( k - 2 ) = 0}}\)
\(\therefore\) \({\rm{k}} = 2,\frac{1}{2}\)
\(\therefore\) k-এর মান 2 ও \(\frac{1}{2}\)
(vi) \((3k + 1){x^2} + 2(k + 1)x + k = 0\)
\((3k + 1){x^2} + 2(k + 1)x + k = 0\) সমীকরণের বীজয় বাস্তব ও সমান হলে নিরূপক শূন্য হয় অর্থাৎ \(b^{2}-4ac=0\)
\({\{ 2(k + 1)\} ^2} - 4.(3k + 1) \cdot k = 0\)
বা, \({k^2} + 2k + 1 - 3{k^2} - k = 0\)
বা, \( - 2k_1^2 + k + 1 = 0\)
বা, \(2{k^2} - k - 1 = 0\)
বা, (2K + 1)(K – 1) = 0
\(\therefore\) k = \( - \frac{1}{2}\), 1
\(\therefore\) k-এর মান \( - \frac{1}{2}\) ও 1
\({\{ 2(k + 1)\} ^2} - 4.(3k + 1) \cdot k = 0\)
বা, \({k^2} + 2k + 1 - 3{k^2} - k = 0\)
বা, \( - 2k_1^2 + k + 1 = 0\)
বা, \(2{k^2} - k - 1 = 0\)
বা, (2K + 1)(K – 1) = 0
\(\therefore\) k = \( - \frac{1}{2}\), 1
\(\therefore\) k-এর মান \( - \frac{1}{2}\) ও 1
Class 10 Dighat Somikoron | Dighat Somikoron Koshe Dekhi 1.5 | দশম শ্রেণীর দ্বিঘাত সমীকরণ কষে দেখি ১.৫ | কষে দেখি 1.5 ক্লাস 10 | class 10 maths solution wbbse
Madhyamik Previous Year Question Paper | মাধ্যমিক বিগত বছরের অঙ্ক প্রশ্নের উত্তরপত্র আজই Install করুন Chatra Mitra
3. নীচে প্রদত্ত বীজদ্বয় দ্বারা দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করি-
(i) 4, 2
যে সমীকরণের বীজদ্বয় 4 ও 2 সেটি হল
\({x^2} - (4 + 2)x + 4 \times 2 = 0\)
বা, \({x^2} - 6x + 8 = 0\)
\({x^2} - (4 + 2)x + 4 \times 2 = 0\)
বা, \({x^2} - 6x + 8 = 0\)
(ii) – 4, – 3
যে সমীকরণের বীজদ্বয় – 4 ও – 3 সেটি হল
\({x^2} - ( - 4 - 3)x + ( - 4) \times (-3) = 0\)
বা, \({x^2} + 7x + 12 = 0\)
\({x^2} - ( - 4 - 3)x + ( - 4) \times (-3) = 0\)
বা, \({x^2} + 7x + 12 = 0\)
(iii) – 4, 3
যে সমীকরণের বীজদ্বয় (– 4) ও 3 সেটি হল
\({x^2} - ( - 4 + 3)x + ( - 4) \times 3 = 0\)
বা, \({x^2} + x - 12 = 0\)
\({x^2} - ( - 4 + 3)x + ( - 4) \times 3 = 0\)
বা, \({x^2} + x - 12 = 0\)
(iv) 5, – 3
যে সমীকরণের বীজদ্বয় 5 ও (– 3) সেটি হল
\({x^2} - (5 - 3)x + 5( - 3) = 0\)
বা, \({x^2} - 2x - 15 = 0\)
\({x^2} - (5 - 3)x + 5( - 3) = 0\)
বা, \({x^2} - 2x - 15 = 0\)
4.
m-এর মান কত হলে \(4{x^2} + 4(3m - 1)x + (m + 7) = 0\) দ্বিঘাত সমীকরণের বীজ দুটি পরস্পর অন্যোন্যক হবে।
কোনাে সমীকরণের বীজ দুটি পরস্পর অনন্যান্যক হলে তাদের গুণফল 1 হবে ।
এখন, \(4 x^{2}+4(3 m-1) x+(m+7)=0\) সমীকরণের বীজদ্বয়ের গুণফল
\(=\frac{m+7}{4} \therefore
\frac{m+7}{4}=1\)
বা, \(m + 7 = 4\)
বা, \(m = 4 - 7\)
বা, \(m = - 3\)
\(\therefore\) m-এর নির্ণেয় মান = - 3.
এখন, \(4 x^{2}+4(3 m-1) x+(m+7)=0\) সমীকরণের বীজদ্বয়ের গুণফল
\(=\frac{m+7}{4} \therefore
\frac{m+7}{4}=1\)
বা, \(m + 7 = 4\)
বা, \(m = 4 - 7\)
বা, \(m = - 3\)
\(\therefore\) m-এর নির্ণেয় মান = - 3.
5. \((b - c){x^2} + (c - a)x + (a - b) = 0\) দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় সমান হলে, প্রমাণ করি যে, \(2b = a + c\)
\((b-c) x^{2}+(c-a) x+(a-b)=0\) সমীকরণের বীজদ্বয় সমান হলে তার নিরূপক,
\((c-a)^{2}-4(b-c)(a-b)=0\)
বা, \((c-a)^{2}-4\left(a b-a c-b^{2}+b c\right)=0\)
বা, \(c^{2}-2 c a+a^{2}-4 a b+4 a c+4 b^{2}-4 b c=0\)
বা, \(c^{2}+2 c a+a^{2}=4 b c-4 b^{2}+4 a b\)
বা, \((c+a)^{2}=4 b(c+a)-4 b^{2}\)
বা, \(4 b^{2}-4 b(c+a)+(c+a)^{2}=0\)
বা, \((2 b)^{2}-2.2 b \cdot(c+a)+(c+a)^{2}=0\)
বা, \(\{2 b-(c+a)\}^{2}=0\)
বা, \(2 b-(c+a)=0\)
বা, \(2 b=c+a\)
\(\therefore 2b=c+a\)
\((c-a)^{2}-4(b-c)(a-b)=0\)
বা, \((c-a)^{2}-4\left(a b-a c-b^{2}+b c\right)=0\)
বা, \(c^{2}-2 c a+a^{2}-4 a b+4 a c+4 b^{2}-4 b c=0\)
বা, \(c^{2}+2 c a+a^{2}=4 b c-4 b^{2}+4 a b\)
বা, \((c+a)^{2}=4 b(c+a)-4 b^{2}\)
বা, \(4 b^{2}-4 b(c+a)+(c+a)^{2}=0\)
বা, \((2 b)^{2}-2.2 b \cdot(c+a)+(c+a)^{2}=0\)
বা, \(\{2 b-(c+a)\}^{2}=0\)
বা, \(2 b-(c+a)=0\)
বা, \(2 b=c+a\)
\(\therefore 2b=c+a\)
6.
\(\left( {{a^2} + {b^2}} \right){x^2} - 2(ac + bd)x + \left( {{c^2} + {d^2}} \right) = 0\) দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় সমান হলে, প্রমাণ করি যে, \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)
প্রদত্ত সমীকরণের বীজদ্বয় সমান।
\(\therefore\) এর নিরূপক,
\(\{-2(a c+b d)\}^{2}-4\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(c^{2}+d^{2}\right)=0\)
বা, \(4(a c+b d)^{2}-4\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(c^{2}+d^{2}\right)=0\)
বা, \(a^{2} c^{2}+b^{2} d^{2}+2 a b c d-a^{2} c^{2}-b^{2} c^{2}-a^{2} d^{2}-b^{2} d^{2}=0\)
বা, \(b^{2} c^{2}-2 a b c d+a^{2} d^{2}=0 \)
বা, \((b c-a d)^{2}=0 \)
বা, \(b c-a d=0\)
বা, \(bc = ad\)
বা, \(\frac{c}{d}=\frac{a}{b} \quad \therefore \quad \frac{a}{b}=\frac{c}{d}\) (প্রমাণিত)
\(\therefore\) এর নিরূপক,
\(\{-2(a c+b d)\}^{2}-4\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(c^{2}+d^{2}\right)=0\)
বা, \(4(a c+b d)^{2}-4\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(c^{2}+d^{2}\right)=0\)
বা, \(a^{2} c^{2}+b^{2} d^{2}+2 a b c d-a^{2} c^{2}-b^{2} c^{2}-a^{2} d^{2}-b^{2} d^{2}=0\)
বা, \(b^{2} c^{2}-2 a b c d+a^{2} d^{2}=0 \)
বা, \((b c-a d)^{2}=0 \)
বা, \(b c-a d=0\)
বা, \(bc = ad\)
বা, \(\frac{c}{d}=\frac{a}{b} \quad \therefore \quad \frac{a}{b}=\frac{c}{d}\) (প্রমাণিত)
7. প্রমাণ করি যে \(2\left( {{a^2} + {b^2}} \right){x^2} + 2(a + b)x + 1 = 0\) দ্বিঘাত সমীকরণের কোনো বাস্তব বীজ থাকবে না, যদি \(a \neq b\) হয়।
প্রদত্ত সমীকরণের কোনাে বাস্তব বীজ থাকবে না, যদি তার নিরূপক < 0 হয়। অর্থাৎ, যদি
\(\{2(a+b))^{2}-4 \times 2\left(a^{2}+b^{2}\right) \times 1< 0\) হয়,
বা, \(4(a+b)^{2}=8\left(a^{2}+b^{2}\right)< 0\) হয়,
বা, \(4\left(a^{2}+2 a
b+b^{2}\right)-8\left(a^{2}+b^{2}\right)< 0\) হয়,
বা, \(a^{2}+2 a
b+b^{2}=2\left(a^{2}+b^{2}\right)< 0\) হয়,
বা, \(-a^{2}+2 a b-b^{2}< 0\) হয়,
বা, \(-(a-b)^{2}< 0\)
হয়, কিন্তু \((a-b)^{2}\) সর্বদা 0 অথবা ধনাত্মক। \(\therefore\)\(-(a-b)^{2}< 0\) সত্য হতে পারে যখন
\(a – b=0\) \(\therefore (a=b)\) হলে প্রদত্ত সমীকরণের বাস্তব বীজ থাকবে। \(\therefore\) প্রদত্ত
সমীকরণের কোনাে বাস্তব বীজ থাকবে না, যখন \(a \neq b\) হয়। (প্রমাণিত)
\(\{2(a+b))^{2}-4 \times 2\left(a^{2}+b^{2}\right) \times 1< 0\) হয়,
বা, \(4(a+b)^{2}=8\left(a^{2}+b^{2}\right)< 0\) হয়,
বা, \(4\left(a^{2}+2 a
b+b^{2}\right)-8\left(a^{2}+b^{2}\right)< 0\) হয়,
বা, \(a^{2}+2 a
b+b^{2}=2\left(a^{2}+b^{2}\right)< 0\) হয়,
বা, \(-a^{2}+2 a b-b^{2}< 0\) হয়,
বা, \(-(a-b)^{2}< 0\)
হয়, কিন্তু \((a-b)^{2}\) সর্বদা 0 অথবা ধনাত্মক। \(\therefore\)\(-(a-b)^{2}< 0\) সত্য হতে পারে যখন
\(a – b=0\) \(\therefore (a=b)\) হলে প্রদত্ত সমীকরণের বাস্তব বীজ থাকবে। \(\therefore\) প্রদত্ত
সমীকরণের কোনাে বাস্তব বীজ থাকবে না, যখন \(a \neq b\) হয়। (প্রমাণিত)
Class 10 Dighat Somikoron | Dighat Somikoron Koshe Dekhi 1.5 | দশম শ্রেণীর দ্বিঘাত সমীকরণ কষে দেখি ১.৫ | কষে দেখি 1.5 ক্লাস 10 | class 10 maths solution wbbse
Madhyamik Previous Year Question Paper | মাধ্যমিক বিগত বছরের অঙ্ক প্রশ্নের উত্তরপত্র আজই Install করুন Chatra Mitra
8. \(5{x^2} + 2x - 3 = 0\) দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ \(\alpha\) ও \(\beta\) হলে, নিচের সমীকরণগুলি মান নির্ণয় করি
(i) \({\alpha ^2} + {\beta ^2}\)
\({\alpha ^2} + {\beta ^2} = {(\alpha + \beta )^2} - 2\alpha \beta \)
\( = {\left( { - \frac{2}{5}} \right)^2} - 2\left( { - \frac{3}{5}} \right) \)
= \(\frac{4}{{25}} + \frac{6}{5} = \frac{{4 + 30}}{{25}} \)
= \(\frac{{34}}{{25}}\)
\( = {\left( { - \frac{2}{5}} \right)^2} - 2\left( { - \frac{3}{5}} \right) \)
= \(\frac{4}{{25}} + \frac{6}{5} = \frac{{4 + 30}}{{25}} \)
= \(\frac{{34}}{{25}}\)
(ii) \({\alpha ^3} + {\beta ^3}\)
\({\alpha ^3} + {\beta ^3} = {(\alpha + \beta )^3} - 3\alpha \beta (\alpha + \beta )\)
\( = {\left( { - \frac{2}{5}} \right)^3} - 3\left( { - \frac{3}{5}} \right)\left( { - \frac{2}{5}} \right)\)
=\( \frac{{ - 8}}{{125}} - \frac{{18}}{{25}}\)
= \(\frac{{ - 8 - 90}}{{125}}\)
=\( \frac{{ - 98}}{{125}}\)
\( = {\left( { - \frac{2}{5}} \right)^3} - 3\left( { - \frac{3}{5}} \right)\left( { - \frac{2}{5}} \right)\)
=\( \frac{{ - 8}}{{125}} - \frac{{18}}{{25}}\)
= \(\frac{{ - 8 - 90}}{{125}}\)
=\( \frac{{ - 98}}{{125}}\)
(iii) \(\frac{1}{\alpha } + \frac{1}{\beta }\)
\(\frac{1}{a} + \frac{1}{\beta }\)
\( = \frac{{\beta + \alpha }}{{\alpha \beta }}\)
\(= \frac{{ - \frac{2}{5}}}{{ - \frac{3}{5}}}\)
\(= \frac{2}{3}\)
\( = \frac{{\beta + \alpha }}{{\alpha \beta }}\)
\(= \frac{{ - \frac{2}{5}}}{{ - \frac{3}{5}}}\)
\(= \frac{2}{3}\)
(iv) \(\frac{{{\alpha ^2}}}{\beta } + \frac{{{\beta ^2}}}{\alpha }\)
\({\rm{ }}\frac{{{a^2}}}{\beta } + \frac{{{\beta ^2}}}{a}\)
= \(\frac{{{a^3} + {\beta ^3}}}{{\alpha \beta }}\)
\( = \frac{{{{(\alpha + \beta )}^3} - 3\alpha \beta (\alpha + \beta )}}{{\alpha \beta }}\)
\( = \frac{{ - \frac{{98}}{{125}}}}{{ - \frac{3}{5}}} \) [ii নং সমাধান থেকে মান নেওয়া হয়েছে]
=\( \frac{{98}}{{125}} \times \frac{5}{3} \)
= \(\frac{{98}}{{75}}\)
= \(\frac{{{a^3} + {\beta ^3}}}{{\alpha \beta }}\)
\( = \frac{{{{(\alpha + \beta )}^3} - 3\alpha \beta (\alpha + \beta )}}{{\alpha \beta }}\)
\( = \frac{{ - \frac{{98}}{{125}}}}{{ - \frac{3}{5}}} \) [ii নং সমাধান থেকে মান নেওয়া হয়েছে]
=\( \frac{{98}}{{125}} \times \frac{5}{3} \)
= \(\frac{{98}}{{75}}\)
9.
\(a{x^2} + bx + c = 0\) সমীকরণটির একটি বীজ অপরটির দ্বিগুণ হলে, দেখাই যে, \(2{b^2} = 9ac\)
ধরি, একটি বীজ \(\alpha\)\(\therefore\) অপর বীজটি \(2\alpha\)
তাহলে, \(\alpha+2 \alpha=-\frac{b}{a}\)
\(3 \alpha=-\frac{b}{a}\)
\(\alpha=-\frac{b}{3 a} \ldots \ldots . .(1)\)
আবার, \(\alpha \times 2 \alpha=\frac{c}{a} \)
বা, \(2 \alpha^{2}=\frac{c}{a} \)
বা, \(\alpha^{2}=\frac{c}{2 a}\)
বা, \(\left(-\frac{b}{3 a}\right)^{2}=\frac{c}{2 a} \)
বা, \(\frac{b^{2}}{9 a^{2}}=\frac{c}{2 a}\)
বা, \(\frac{b^{2}}{9 a}=\frac{c}{2}[\because a \neq 0] \)
বা, \(2 b^{2}=9 a c\)
\(\therefore 2b^2 = 9ac\) (প্রমাণিত)
তাহলে, \(\alpha+2 \alpha=-\frac{b}{a}\)
\(3 \alpha=-\frac{b}{a}\)
\(\alpha=-\frac{b}{3 a} \ldots \ldots . .(1)\)
আবার, \(\alpha \times 2 \alpha=\frac{c}{a} \)
বা, \(2 \alpha^{2}=\frac{c}{a} \)
বা, \(\alpha^{2}=\frac{c}{2 a}\)
বা, \(\left(-\frac{b}{3 a}\right)^{2}=\frac{c}{2 a} \)
বা, \(\frac{b^{2}}{9 a^{2}}=\frac{c}{2 a}\)
বা, \(\frac{b^{2}}{9 a}=\frac{c}{2}[\because a \neq 0] \)
বা, \(2 b^{2}=9 a c\)
\(\therefore 2b^2 = 9ac\) (প্রমাণিত)
10.
যে সমীকরণের বীজগুলি \({x^2} + px + 1 = 0\) সমীকরণের বীজগুলির অন্যোন্যক, সেই সমীকরণটি গঠন করি।
ধরি, \(x^{2}+p x+1=0\) সমীকরণের বীজ দুটি \(\alpha ও \beta\)
\(\therefore\) নির্ণেয় সমীকরণের বীজদ্বয় হবে \(\frac{1}{\alpha} ও \frac{1}{\beta}\)
আবার, \(\alpha+\beta=-\frac{p}{1}=-p\) এবং \(\alpha \beta=\frac{1}{1}=1\)
এখন, নির্ণেয় সমীকরণটি হবে, \(x^{2}-\left(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}\right) x+\frac{1}{\alpha}
\times \frac{1}{\beta}=0\)
বা, \(x^{2}-\frac{\beta+\alpha}{\alpha \beta} x+\frac{1}{\alpha \beta}=0 \quad\)
বা, \(x^{2}-\frac{\alpha+\beta}{\alpha \beta} x+\frac{1}{\alpha \beta}=0\)
বা, \(x^{2}-\frac{-p}{1} x+\frac{1}{1}=0 \quad[\because \alpha+\beta=-p\) এবং \(\alpha \beta=1]\)
বা, \(x^{2}+p x+1=0\)
\(\therefore\) নির্ণেয় সমীকরণটি হলঃ \(x^{2}+p x+1=0\).
\(\therefore\) নির্ণেয় সমীকরণের বীজদ্বয় হবে \(\frac{1}{\alpha} ও \frac{1}{\beta}\)
আবার, \(\alpha+\beta=-\frac{p}{1}=-p\) এবং \(\alpha \beta=\frac{1}{1}=1\)
এখন, নির্ণেয় সমীকরণটি হবে, \(x^{2}-\left(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}\right) x+\frac{1}{\alpha}
\times \frac{1}{\beta}=0\)
বা, \(x^{2}-\frac{\beta+\alpha}{\alpha \beta} x+\frac{1}{\alpha \beta}=0 \quad\)
বা, \(x^{2}-\frac{\alpha+\beta}{\alpha \beta} x+\frac{1}{\alpha \beta}=0\)
বা, \(x^{2}-\frac{-p}{1} x+\frac{1}{1}=0 \quad[\because \alpha+\beta=-p\) এবং \(\alpha \beta=1]\)
বা, \(x^{2}+p x+1=0\)
\(\therefore\) নির্ণেয় সমীকরণটি হলঃ \(x^{2}+p x+1=0\).
11. \({x^2} + x + 1 = 0\) সমীকরণটির বীজগুলির বর্গ যে সমীকরণের বীজ, সেই সমীকরণটি নির্ণয় করি।
মনে করি, \(x^{2}+x+1=0\) এর বীজ দুটি \(\alpha ও \beta\) । \(\therefore \alpha+\beta=-1\) এবং \(\alpha \beta=1\)
এখন, \(\alpha^{2}+\beta^{2}\)
\(=(\alpha+\beta)^{2}-2 \alpha \beta\)
\(=(-1)^{2}-2 \times 1\)
\(=1-2=-1\)
এবং \(\alpha^{2} \beta^{2}=(\alpha \beta)^{2}=1\)
\(\therefore\) নির্ণেয় সমীকরণটি হল \(x^{2}-\left(\alpha^{2}+\beta^{2}\right) x+\alpha^{2} \beta^{2}=0\)
বা, \(x^{2}-(-1) x+1=0 \)
বা, \(x^{2}+x+1=0\)
এখন, \(\alpha^{2}+\beta^{2}\)
\(=(\alpha+\beta)^{2}-2 \alpha \beta\)
\(=(-1)^{2}-2 \times 1\)
\(=1-2=-1\)
এবং \(\alpha^{2} \beta^{2}=(\alpha \beta)^{2}=1\)
\(\therefore\) নির্ণেয় সমীকরণটি হল \(x^{2}-\left(\alpha^{2}+\beta^{2}\right) x+\alpha^{2} \beta^{2}=0\)
বা, \(x^{2}-(-1) x+1=0 \)
বা, \(x^{2}+x+1=0\)
Class 10 Dighat Somikoron | Dighat Somikoron Koshe Dekhi 1.5 | দশম শ্রেণীর দ্বিঘাত সমীকরণ কষে দেখি ১.৫ | কষে দেখি 1.5 ক্লাস 10 | class 10 maths solution wbbse
Madhyamik Previous Year Question Paper | মাধ্যমিক বিগত বছরের অঙ্ক প্রশ্নের উত্তরপত্র আজই Install করুন Chatra Mitra
12. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)
(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.)
(i) \({x^2} - 6x + 2 = 0\) সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি (a) 2 (b) \(-2\) (c) 6 (d) \(-6\)
\(x^{2}-6 x+2=0\) সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি \(=-\frac{x\text{-এর সহগ}}{x^{2}\text{-এর
সহগ}}=\frac{-6}{1}=6\)
\(\therefore\) (c) উত্তরটি সঠিক।
সহগ}}=\frac{-6}{1}=6\)
\(\therefore\) (c) উত্তরটি সঠিক।
(ii) \({x^2} - 3x + k = 10\) সমীকরণের বীজদ্বয়ের গুণফল - 2 হলে, k-এর মান (a) \(-2\) (b) \(-8\) (c) \(8\) (d) \(12\)
\(x^{2}-3 x+k=10\)
বা, \(x^{2}-3 x+k-10=0\) সমীকরণের বীজদ্বয়ের গুণফল
\(\frac{\text{ধ্রুবক পদ}}{x^2\text{-এর সহগ}}=\frac{k-10}{1}=k-10\)
প্রশ্নানুসারে, \(k- 10 = – 2\)
বা, \(k = - 2 + 10\)
বা, \(x = 8\)
\(\therefore\) (c) উত্তরটি সঠিক।
বা, \(x^{2}-3 x+k-10=0\) সমীকরণের বীজদ্বয়ের গুণফল
\(\frac{\text{ধ্রুবক পদ}}{x^2\text{-এর সহগ}}=\frac{k-10}{1}=k-10\)
প্রশ্নানুসারে, \(k- 10 = – 2\)
বা, \(k = - 2 + 10\)
বা, \(x = 8\)
\(\therefore\) (c) উত্তরটি সঠিক।
(iii) \(a{x^2} + bx + c = 0(a \ne 0)\) সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব ও অসমান হলে, \(b^{2}-4 a c\) হবে (a) \( > 0\) (b) \(=0\) (c) \( < 0\) (d) কোনোটাই নয়
(a) >0
(iv) \(a{x^2} + bx + c = 0(a \ne 0)\) সমীকরণের বীজদ্বয় সমান হলে \({\rm{(a) }}c = - \frac{b}{{2a}}\) \({\rm{ (b) }}c = \frac{b}{{2a}}\) \({\rm{ (c) }}c = \frac{{ - {b^2}}}{{4a}}\) \({\rm{ (d) }}c = \frac{{{b^2}}}{{4a}}\)
\(a x^{2}+b x+c=0(a \neq 0)\) সমীকরণের বীজদ্বয় সমান হলে নিরূপক, \(b^{2}-4 a c=0\) হবে।
বা, \(b^{2}=4 a c \)
বা, \(c=\frac{b^{2}}{4 a}\)
\(\therefore\) (d) উত্তরটি সঠিক।
বা, \(b^{2}=4 a c \)
বা, \(c=\frac{b^{2}}{4 a}\)
\(\therefore\) (d) উত্তরটি সঠিক।
(v) \(3{x^2} + 8x + 2 = 0\) সমীকরণের বীজদ্বয় \(\alpha\) ও \(\beta\) হইলে \(\left( {\frac{1}{\alpha } + \frac{1}{\beta }} \right)\) -এর মান
\((a) - \frac{3}{8}\) \({\rm{ (b) }}\frac{2}{3}\) \({\rm{(c) }} - 4\) \({\rm{ (d) }}4\)
\(3 x^{2}+8 x+2=0\) সমীকরণের বীজদ্বয় \(\alpha\) এবং \(\beta\) হলে
\(\alpha+\beta=-\frac{8}{3}\) এবং \(\alpha \beta=\frac{2}{3}\)
\(\therefore \quad \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{\beta+\alpha}{\alpha
\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha \beta}=\frac{-\frac{8}{3}}{\frac{2}{3}}=-4\)
\(\therefore\) (c) উত্তরটি সঠিক।
\(\alpha+\beta=-\frac{8}{3}\) এবং \(\alpha \beta=\frac{2}{3}\)
\(\therefore \quad \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{\beta+\alpha}{\alpha
\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha \beta}=\frac{-\frac{8}{3}}{\frac{2}{3}}=-4\)
\(\therefore\) (c) উত্তরটি সঠিক।
(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি:
(i) \({x^2} + x + 1\) সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব।
\(b^{2}-4 a c=(1)^{2}-4 \cdot 1 \cdot 1 \cdot=-3 < 0\)
মিথ্যা
মিথ্যা
(ii) \({x^2} - x + 2 = 0\) সমীকরণের বীজদ্বয়ে বাস্তব নয়।
সত্য
Class 10 Dighat Somikoron | Dighat Somikoron Koshe Dekhi 1.5 | দশম শ্রেণীর দ্বিঘাত সমীকরণ কষে দেখি ১.৫ | কষে দেখি 1.5 ক্লাস 10 | class 10 maths solution wbbse
Madhyamik Previous Year Question Paper | মাধ্যমিক বিগত বছরের অঙ্ক প্রশ্নের উত্তরপত্র আজই Install করুন Chatra Mitra
(C) শূন্যস্থান পূরণ করি:
(i) \(7{x^2} - 12x + 18 = 0\) সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি এবং গুণফলের অনুপাত ________।
\(7 x^{2}-12 x+18=0\) সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি \(=\frac{x\text{-এর সহগ}}{x^2\text{-এর
সহগ}}=-\frac{-12}{7}=\frac{12}{7}\)
এবং বীজদ্বয়ের গুণফল \(\frac{\text{ধ্রুবক পদ}}{x^2\text{-এর সহগ}}=\frac{18}{7}\)
\(\therefore\) সমষ্টি : গুণফল \(=\frac{12}{7}: \frac{18}{7}=12: 18=2: 3\).
সহগ}}=-\frac{-12}{7}=\frac{12}{7}\)
এবং বীজদ্বয়ের গুণফল \(\frac{\text{ধ্রুবক পদ}}{x^2\text{-এর সহগ}}=\frac{18}{7}\)
\(\therefore\) সমষ্টি : গুণফল \(=\frac{12}{7}: \frac{18}{7}=12: 18=2: 3\).
(ii) \(a{x^2} + bx + c = 0(a \ne 0)\) সমীকরণের বীজদ্বয় পরষ্পর অন্যোন্যক হলে, c = ________।
\(\alpha \cdot \frac{1}{\alpha}=\frac{c}{a} \quad\) বা, \(\quad 1=\frac{c}{a} \quad \) বা, \(\quad c=a\)
(iii) \(a{x^2} + bx + c = 0(a \ne 0)\) সমীকরণের বীজম্বয় পরষ্পর অন্যোন্যক এবং বিপরীত (ঋণাত্মক) হলে, \(a + c =\) ________।
ধরি \(\alpha, a x^{2}+b x+c=0(a \neq 0)\) সমীকরণের একটি বীজ।
\(\therefore \frac{1}{\alpha}\) উহার অপর একটি বীজ।
\(\therefore \alpha+\frac{1}{\alpha}=-\frac{b}{a}\ldots\ldots(1)\)
এবং \(\alpha \cdot\frac{1}{\alpha}=\frac{c}{a}\)
বা, \(1=\frac{c}{a}\)
বা, \(c=a\)
\(\therefore c= a\)
\(\therefore \frac{1}{\alpha}\) উহার অপর একটি বীজ।
\(\therefore \alpha+\frac{1}{\alpha}=-\frac{b}{a}\ldots\ldots(1)\)
এবং \(\alpha \cdot\frac{1}{\alpha}=\frac{c}{a}\)
বা, \(1=\frac{c}{a}\)
বা, \(c=a\)
\(\therefore c= a\)
সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)
13.
(i) একটি দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি 14 এবং গুণফল 24 হলে, দ্বিঘাত সমীকরণটি লিখি।
মনেকরি দ্বিঘাত সমীকরণ হল \(a{x^2} + bx + c = 0\)
\(\therefore {x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0\)
বা, \({x^2} - (\alpha + \beta )x + \alpha \beta = 0\)
বা, \({x^2} - 14x + 24 = 0\)
\(\therefore\) দ্বিঘাত সমীকরণটি \( = {x^2} - 14x + 24 = 0\)
\(\therefore {x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0\)
বা, \({x^2} - (\alpha + \beta )x + \alpha \beta = 0\)
বা, \({x^2} - 14x + 24 = 0\)
\(\therefore\) দ্বিঘাত সমীকরণটি \( = {x^2} - 14x + 24 = 0\)
(ii) \(k{x^2} + 2x + 3k = 0(k \ne 0)\) সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি এবং গুণফল সমান হলে, k-এর মান লিখি।
\(k x^{2}+2 x+3 k=0(k \neq 0)\) সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি = \(\frac{x\text{-এর সহগ}}{x^2\text{-এর
সহগ}}\) \(=-\frac{2}{k}\)
এবং গুণফল=\(\frac{\text{ধ্রুবক পদ}}{x^2\text{-এর সহগ}}\) \(=\frac{3 k}{k}=3\)
প্রশ্নানুসারে, \(-\frac{2}{k}=3\)
বা, \(3 k=-2\)
বা, \(k=-\frac{2}{3}, \therefore k=-\frac{2}{3}\)
সহগ}}\) \(=-\frac{2}{k}\)
এবং গুণফল=\(\frac{\text{ধ্রুবক পদ}}{x^2\text{-এর সহগ}}\) \(=\frac{3 k}{k}=3\)
প্রশ্নানুসারে, \(-\frac{2}{k}=3\)
বা, \(3 k=-2\)
বা, \(k=-\frac{2}{3}, \therefore k=-\frac{2}{3}\)
(iii) \({x^2} - 22x + 105 = 0\) সমীকরণের বীজদ্বয় \(\alpha\) এবং \(\beta\) হলে, \((\alpha\) - \(\beta)\) এর মান লিখি।
\(x^{2}-22 x+105=0\) সমীকরণের বীজদ্বয় \(\alpha\) এবং \(\beta\).
\(\therefore \quad \alpha+\beta=-\frac{-22}{1}=22\) এবং \(\alpha \beta=\frac{105}{1}=105\)
এখন, \((\alpha-\beta)^{2}\)
\(=(\alpha+\beta)^{2}-4 \alpha \beta\)
\(=(22)^{2}-4 \times 105=484-420=64\)
\(\therefore \quad \alpha-\beta\)
\(=\sqrt{64}=\pm 8 \quad \therefore \alpha-\beta=\pm 8\)
\(\therefore \quad \alpha+\beta=-\frac{-22}{1}=22\) এবং \(\alpha \beta=\frac{105}{1}=105\)
এখন, \((\alpha-\beta)^{2}\)
\(=(\alpha+\beta)^{2}-4 \alpha \beta\)
\(=(22)^{2}-4 \times 105=484-420=64\)
\(\therefore \quad \alpha-\beta\)
\(=\sqrt{64}=\pm 8 \quad \therefore \alpha-\beta=\pm 8\)
(iv) \({\rm{ }}{x^2} - x = k(2x - 1)\) সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি শূন্য হলে, k-এর মান লিখি।
সমাধান \(: x^{2}-x=k(2 x-1)\)
বা, \(x^{2}-x=2 k x-k\)
বা, \(x^{2}-x-2 k x+k=0\)
বা, \(x^{2}-(2 k+1) x+k=0\ldots\ldots(1)\)
এখন, (1)নং সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি = 0
\(\frac{x\text{-এর সহগ}}{x^2\text{-এর সহগ}}=0\)
বা, \(-\frac{-(2 k+1)}{1}=0\)
বা, \(2k + 1 = 0\)
বা, \(2k = -1\)
বা, \(k=-\frac{1}{2}\)
\(\therefore k=-\frac{1}{2}\)
বা, \(x^{2}-x=2 k x-k\)
বা, \(x^{2}-x-2 k x+k=0\)
বা, \(x^{2}-(2 k+1) x+k=0\ldots\ldots(1)\)
এখন, (1)নং সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি = 0
\(\frac{x\text{-এর সহগ}}{x^2\text{-এর সহগ}}=0\)
বা, \(-\frac{-(2 k+1)}{1}=0\)
বা, \(2k + 1 = 0\)
বা, \(2k = -1\)
বা, \(k=-\frac{1}{2}\)
\(\therefore k=-\frac{1}{2}\)
(v) \({x^2} + bx + 12 = 0\) এবং \({x^2} + bx + q = 0\) সমীকরণদ্বয়ের একটি বীজ 2 হলে, q-এর মান লিখি ।
\(x^{2}+b x+12=0\) সমীকরণের একটি বীজ 2,
\(\therefore 2^{2}+b .2+12=0\)
বা, \(4 + 2b + 12 = 0\)
বা, \(2b = - 16\)
বা, \(b = - 8\)
আবার, \(x^{2}+b x+q=0\) সমীকরণের একটি বীজ 2.
\(\therefore\) \(2^{2}+b .2+q=0 \)
বা, \(4+2 b+q=0 \)
বা, \(4+2 \times(-8)+q=0\)
বা, \(4-16+q=0 \)
বা, \(q-12=0 \)
বা, \(q=12 . \therefore q=12\)
\(\therefore 2^{2}+b .2+12=0\)
বা, \(4 + 2b + 12 = 0\)
বা, \(2b = - 16\)
বা, \(b = - 8\)
আবার, \(x^{2}+b x+q=0\) সমীকরণের একটি বীজ 2.
\(\therefore\) \(2^{2}+b .2+q=0 \)
বা, \(4+2 b+q=0 \)
বা, \(4+2 \times(-8)+q=0\)
বা, \(4-16+q=0 \)
বা, \(q-12=0 \)
বা, \(q=12 . \therefore q=12\)
Class 10 Dighat Somikoron | Dighat Somikoron Koshe Dekhi 1.5 | দশম শ্রেণীর দ্বিঘাত সমীকরণ কষে দেখি ১.৫ | কষে দেখি 1.5 ক্লাস 10 | class 10 maths solution wbbse
Madhyamik Previous Year Question Paper | মাধ্যমিক বিগত বছরের অঙ্ক প্রশ্নের উত্তরপত্র আজই Install করুন Chatra Mitra
এই Page টি বা এই Website টির কোন প্রকার বিষয়বস্তু কপি করা বা সম্পাদনা করা নিষিদ্ধ। ভারতীয় Copywright আইন 1957 এর ধারা 63 অনুযায়ী, এই ফাইলটির সমস্ত অধিকার 'ছাত্র মিত্র Mathematics' অ্যাপ দ্বারা সংরক্ষিত। ছাত্র মিত্রের অনুমতি ছাড়া, এই Page টি বা এই Website টির কোন প্রকার বিষয়বস্তু কপি করা বা সম্পাদনা করা আইনত দন্ডনীয় অপরাধ। কেউ ছাত্র মিত্রের অনুমতি ছাড়া, এই Page টি বা এই Website টির কোন প্রকার বিষয়বস্তু কপি বা সম্পাদনা করলে ছাত্র মিত্র কতৃপক্ষ তার বিরুদ্ধে সকল প্রকার কঠোর আইনি পদক্ষেপ করবে।