(i) বাগানটি বর্গাকার। বাগানটির দৈর্ঘ্য 20 মিটার।
\(\therefore\) কামালদের বাগানের ক্ষেত্রফল \(=(20 \times 20)\) বর্গমিটার
= 400 বর্গমিটার
(ii) কামালদের বারান্দার দৈর্ঘ্য = 10 মিটার ও প্রস্থ = 5 মিটার
\(\therefore\) বারান্দার ক্ষেত্রফল \(=(10 \times 5)\) বর্গমিটার = 50 বর্গমিটার
1 বর্গমিটার মেরামত করতে খরচ হয় = 30 টাকা
\(\therefore\) 50 বর্গমিটার মেরামত করতে খরচ হয় \(=(30 \times 50)\) টাকা
= 1500 টাকা
(iii) মেঝের দৈর্ঘ্য = 6 মিটার ও প্রস্থ = 5 মিটার
\(\therefore\) মেঝের ক্ষেত্রফল \(=(6 \times 5)\) বর্গমিটার
\(=(600 \times 500)\) বর্গসেমি \(\quad[\because\) 1 বর্গমিটার \(=100 \times 100\) বর্গসেমি\(]\)
একটি টালির ক্ষেত্রফল \(=(25 \times 25)\) বর্গসেমি
\(\therefore\) পড়ার ঘরের মেঝেতে টালি বসাতে টালি লাগবে
\(=\left(\frac{600 \times 500}{25 \times 25}\right)\) টি = 480 টি

ABCD আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল \(=D C \times A D\)
\(=(12 \times 8)\) বর্গমিটার = 96 বর্গমিটার
PQRD আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য DR \(= (12 - 3)\) মিটার
= 9 মিটার ও প্রস্থ \(DP = (8 - 3)\) মিটার = 5 মিটার
\(\therefore\) PQRD আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল \(=(9 \times 5)\) বর্গমিটার
= 45 বর্গমিটার
\(\therefore\) APQRCB রঙিন অংশের ক্ষেত্রফল \(=(96-45)\) বর্গমিটার
= 51 বর্গমিটার

PQRS আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য (PQ) = 26 মিটার এবং
প্রস্থ (QR) = 3 মিটার
\(\therefore\) PQRS আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল \(=(26 \times 3)\) বর্গমিটার
= 78 বর্গমিটার
MNOK আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য (MN) = 14 মিটার এবং
প্রস্থ (MK) = 3 মিটার
\(\therefore\) MNOK আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল \(=(14 \times 3)\) বর্গমিটার
= 42 বর্গমিটার
EFGH বর্গক্ষেত্রের প্রতিবাহু 3 মিটার হওয়ার EFGH বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল \((3 \times 3)\) বর্গমিটার = 9 বর্গমিটার
\(\therefore\) রঙিন অংশের ক্ষেত্রফল = PQRS অংশের ক্ষেত্রফল \(+ MNOK\) অংশের ক্ষেত্রফল \(-EFGH\) অংশের ক্ষেত্রফল
\(=(78+42-9)\) বর্গমিটার
\(= (120 - 9)\) বর্গমিটার
= 111 বর্গমিটার

PQRS আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল \(=(16 \times 9)\) বর্গমিটার
= 144 বর্গমিটার
ABCD আয়তাকার অংশের দৈর্ঘ্য (AD)
\(=(16+2 \times 4)\) মিটার
= (16 + 8) মিটার
= 24 মিটার
এবং প্রস্থ \((AB) =(9+2 \times 4)\) মিটার
= (9 + 8) মিটার
= 17 মিটার
\(\therefore\) ABCD অংশের ক্ষেত্রফল \(=(24 \times 17)\) বর্গমিটার
= 408 বর্গমিটার
রঙিন অংশের ক্ষেত্রফল
= ABCD অংশের ক্ষেত্রফল \(-PQRS\) অংশের ক্ষেত্রফল
\(= (408-144)\) বর্গমিটার
= 264 বর্গমিটার

ABCD আয়তাকার অংশের ক্ষেত্রফল
\(=(28 \times 20)\) বর্গমিটার
= 560 বর্গমিটার
PQRS আয়তাকার অংশের দৈর্ঘ্য (PQ)
\(=(28-2 \times 3)\) মিটার
\(= (28- 6)\) মিটার
= 22 মিটার
প্রস্থ \((Q R)=(20-2 \times 3)\) মিটার
\(= (20 - 6)\) মিটার
= 14 মিটার
\(\therefore\) PQRS অংশের ক্ষেত্রফল \(=(22 \times 14)\) বর্গমিটার
= 308 বর্গমিটার
\(\therefore\) রঙিন অংশের ক্ষেত্রফল
= ABCD অংশের ক্ষেত্রফল \(- PQRS\) অংশের ক্ষেত্রফল
\(= (560 - 308) \) বর্গমিটার
= 252 বর্গমিটার

PQRS আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল \((\mathrm{PQ} \times \mathrm{PS})\)
\(=(120 \times 3)\) বর্গসেমি
= 360 বর্গসেমি
JKLM আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল \((\mathrm{JK} \times \mathrm{JM})\)
\(=(90 \times 3)\) বর্গসেমি
= 270 বর্গসেমি
EFGH আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল \((E F \times E H)\)
\(=(90 \times 3)\) বর্গসেমি
= 270 বর্গসেমি
\(XYZT\) আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল \((X Y \times X T)\)
\(=(3 \times 3)\) বর্গসেমি
= 9 বর্গসেমি
INOU আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল \((I N \times I U)\)
\(=(3 \times 3)\) বর্গসেমি
= 9 বর্গসেমি
\(\therefore\) সমগ্র রঙিন অংশের ক্ষেত্রফল
\(= [PQRS\) অংশের ক্ষেত্রফল \(+ JKLM\) অংশের ক্ষেত্রফল \(+ EFGH\) অংশের ক্ষেত্রফল \(- (XYZT\) অংশের ক্ষেত্রফল \(+ INOU\) অংশের ক্ষেত্রফল\()]\)
\(=[(360+270+270)-(9+9)]\) বর্গসেমি
\(=(900-18)\) বর্গসেমি
\(=882\) বর্গসেমি

দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত = 4 : 3
মনে করি, মাঠটির দৈর্ঘ্য \(4x\) মিটার ও প্রস্থ \(3x\) মিটার [যেখানে \(x(\neq 0)\) একটি আনুপাতিক ধ্রুবক]
\(\therefore\) মাঠটির পরিসীমা \(=2(4 x+3 x)\) মিটার
\(=(2 \times 7 x)\) মিটার
\(= 14x\) মিটার
প্রশ্নানুসারে, \(14 x=336\)
বা, \(x=\frac{336}{14}=24\)
\(\therefore\) মাঠটির দৈর্ঘ্য \(=(4 \times 24)\) মিটার
= 96 মিটার
এবং প্রস্থ \(=(3 \times 24)\) মিটার
= 72 মিটার
\(\therefore\) মাঠটির ক্ষেত্রফল \(=(96 \times 72)\) বর্গমিটার
= 6912 বর্গমিটার

3.50 টাকা খরচ হয় 1 বর্গমিটার জমি চাষ করতে
\(\therefore\) 1 টাকা খরচ হয় \(=\frac{1}{3.50}\) বর্গমিটার জমি চাষ করতে
\(\therefore\) 1400 টাকা খরচ হয় \(=\frac{1400}{3.50}\) বর্গমিটার জমি চাষ করতে।
\(=\frac{1400 \times 100}{350}=400\) বর্গমিটার
\(\because\) জমিটি বর্গাকার,
\(\therefore\) জমিটির প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্য \(=\sqrt{400}\) মিটার
= 20 মিটার
জমিটির পরিসীমা \(=(4 \times 20)\) মিটার
= 80 মিটার
1 মিটার জমি বেড়া দিতে খরচ হয় = 8.50 টাকা
\(\therefore\) 80 মিটার জমি বেড়া দিতে খরচ হয়
\(=(8.50 \times 80)\) টাকা
= 680.00 টাকা
= 680 টাকা
\(\therefore\) জমিটির চারধারে বেড়া দিতে মোট খরচ হয় 680 টাকা।

মনে করি, জমিটির দৈর্ঘ্য \(x\) মিটার ও প্রস্থ \(y\) মিটার
প্রথম শর্তানুসারে, \(x y=500\)
বা, \(x=\frac{500}{y}\ldots(i)\)
দ্বিতীয় শর্তানুসারে,
\(x-3=y+2\quad\) [\(\because\) বর্গক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = প্রস্থ]
বা, \(\frac{500}{y}-3=y+2\)
বা, \(500-3 y=y^{2}+2 y\)
বা, \(y^{2}+5 y-500=0\)
বা, \(y^{2}+25 y-20 y-500=0\)
বা, \(y(y+25)-20(y+25)=0\)
বা, \((y+25)(y-20)=0\)
হয়, \(y + 25 = 0\)
\(\therefore\) \(y = - 25\)
নতুবা, \(y - 20 = 0\)
\(\therefore\) \(y = 20 \)
\(\because\) প্রস্থ ঋনাত্মক হয় না
\(\therefore\) y = 20 মানটিই গ্রহণযোগ্য
জমিটির প্রস্থ 20 মিটার এবং দৈর্ঘ্য \(=\frac{500}{20}\) মিটার = 25 মিটার
\(\therefore\) সুহাসদের জমির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে 25 মিটার ও 20 মিটার।

যেহেতু, বর্গাকার জমির প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্য = 300 মিটার
\(\therefore\) বর্গাকার জমির ক্ষেত্রফল \(=(300 \times 300)\) বর্গমিটার
= 90000 বর্গমিটার
চারপাশে দেওয়ালের বেধ 3 ডেসিমিটার = 0.3 মিটার
\(\therefore\) দেওয়াল বাদে জমির প্রত্যেক পাশের দৈর্ঘ্য
\(=(300-2 \times 0.3)\) মিটার
= 299.4 মিটার
\(\therefore\) দেওয়াল বাদে জমির ক্ষেত্রফল
\(=(299.4 \times 299.4)\) বর্গমিটার
= 89640.36 বর্গমিটার
\(\therefore\) দেওয়ালের জন্য ব্যবহৃত জমির পরিমাণ
\(=(90000-89640.36)\) বর্গমিটার
= 359.64 বর্গমিটার
100 বর্গমিটারে খরচ হয় = 5000 টাকা
\(\therefore\) 1 বর্গমিটারে খরচ হয় \(=\frac{5000}{100}\) টাকা
= 50 টাকা
\(\therefore\) 359.64 বর্গমিটারে খরচ হয় \(=(50 \times 359.64)\) টাকা
= 17982 টাকা
\(\therefore\) দেওয়ালের জন্য খরচ হবে 17982 টাকা।

\(\because\) রাস্তাসহ বাগানের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে 14 মিটার ও 12 মিটার।
\(\therefore\) রাস্তাসহ বাগানের ক্ষেত্রফল \(=(14 \times 12)\) বর্গমিটার
= 168 বর্গমিটার
মনে করি, সমান চওড়া রাস্তার বেধ \(x\) মিটার
\(\therefore\) রাস্তা বাদে বাগানের দৈর্ঘ্য \(=(14-2 x)\) মিটার
এবং রাস্তা বাদে বাগানের প্রস্থ \(=(12-2 x)\) মিটার
রাস্তা বাদে বাগানের ক্ষেত্রফল
\(=(14-2 x)(12-2 x)\) বর্গমিটার
\(=\left(168-28 x-24 x+4 x^{2}\right)\) বর্গমিটার
\(=\left(168-52 x+4 x^{2}\right)\) বর্গমিটার
\(\therefore\) রাস্তার ক্ষেত্রফল \(=\left[168-\left(168-52 x+4 x^{2}\right)\right]\) বর্গমিটার
\(=\left[168-168+52 x-4 x^{2}\right]\) বর্গমিটার
\(=52 x-4 x^{2}\) বর্গমিটার
1 বর্গমিটার রাস্তা তৈরি করতে খরচ হয় 20 টাকা
\(\therefore\left(52 x-4 x^{2}\right)\) বর্গমিটার রাস্তা তৈরি করতে খরচ হয়
\(=20\left(52 x-4 x^{2}\right)\) টাকা
প্রশ্নানুসারে, \(20\left(52 x-4 x^{2}\right)=1380\)
বা, \(52 x-4 x^{2}=\frac{1380}{20}\)
বা, \(52 x-4 x^{2}=69\)
বা, \(4 x^{2}-52 x+69=0\)
বা, \(4 x^{2}-46 x-6 x+69=0\)
বা, \(2 x(2 x-23)-3(2 x-23)=0 \)
বা, \((2 x-23)(2 x-3)=0\)
দুটি রাশির গুণফল শূন্য হলে, তাদের মধ্যে যে-কোনো একটি রাশির মান শূন্য।
হয়, \(2 x-23=0\)
বা, \(2 x=23\)
\(\therefore x=11.5\)
অথবা, \(2 x-3=0\)
বা, \(2 x=3\)
\(\therefore x=1.5\)
\(x = 11.5\) ইহা অসম্ভব, কারণ দৈর্ঘ্য 14 মিটার হলে রাস্তা 11.5 মিটার চওড়া হতে পারে না।
\(\therefore\) রাস্তাটি 1.5 মিটার চওড়া।

যেহেতু, আয়তক্ষেত্রাকার জমির ক্ষেত্রফল 1200 বর্গসেমি এবং দৈর্ঘ্য 40 সেমি।
\(\therefore\) জমিটির প্রস্থ \(=\frac{1200}{40}\) সেমি
= 30 সেমি
\(\therefore\) জমিটির কর্ণের দৈর্ঘ্য
\(=\sqrt{40^{2}+30^{2}}\) সেমি
\(=\sqrt{1600+900}\) সেমি
\(=\sqrt{2500}\) সেমি
= 50 সেমি
\(\therefore\) কর্ণের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল \(=(50)^{2}\) বর্গসেমি
= 2500 বর্গসেমি

প্রদত্ত হলঘরটির দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে 4 মিটার, 6 মিটার ও 4 মিটার।
\(\therefore\) হলঘরটির চার দেওয়ালের ক্ষেত্রফল
\(=[2 \times\) (দৈর্ঘ্য \(+\) প্রস্থ) \( \times \) উচ্চতা\(]\)
\(=[2 \times(4+6) \times 4]\) বর্গমিটার
\(=[2 \times 10 \times 4]\) বর্গমিটার
= 80 বর্গমিটার
এখন, 1.5 মিটার \( \times 1\) মিটার-এর তিনটি দরজার ক্ষেত্রফল
\(=(3 \times 1.5 \times 1)\) বর্গমিটার
= 4.5 বর্গমিটার
এবং 1.2 মিটার \( \times 1\) মিটার-এর চারটি জানালার ক্ষেত্রফল
\(=(4 \times 1.2 \times 1)\) বর্গমিটার
= 4.8 বর্গমিটার
\(\therefore\) জানালা ও দরজা বাদে চার দেওয়ালের ক্ষেত্রফল
\(=[80-(4.5+4.8)]\) বর্গমিটার
\(=(80-9.3)\) বর্গমিটার
= 70.7 বর্গমিটার
1 বর্গমিটারে রঙিন কাগজ লাগাতে খরচ হয় = 70 টাকা
\(\therefore\) 70.7 বর্গমিটারে রঙিন কাগজ লাগাতে খরচ হয়
\(=(70 \times 70.7)\) টাকা
= 4949 টাকা
\(\therefore\) ঘরটির দেওয়াল প্রতি বর্গমিটারে 70 টাকা হিসাবে রঙিন কাগজ দিয়ে ঢাকতে খরচ হবে 4949 টাকা।

যেহেতু, ঘরের মেঝের ক্ষেত্রফল 12 বর্গমিটার এবং দৈর্ঘ্য 4 মিটার।
\(\therefore\) ঘরের প্রস্থ \(=\frac{12}{4}\) মিটার = 3 মিটার
প্রদত্ত ঘরের চার দেওয়ালের ক্ষেত্রফল 42 বর্গমিটার
মনে করি, ঘরের উচ্চতা h মিটার
প্রশ্নানুসারে, \(2(4+3) \times h=42\)
বা, \(2 \times 7 \times h=42\)
বা, \(\mathrm{h}=\frac{42}{2 \times 7}=3\)
\(\therefore\) ঘরের উচ্চতা 3 মিটার।

আয়তাকার কাগজের ক্ষেত্রফল 84 বর্গসেমি
মনে করি, কাগজটির দৈর্ঘ্য \(x\) সেমি এবং প্রস্থ \((x - 5)\) সেমি
প্রশ্নানুসারে, \(x(x-5)=84\)
বা, \(x^{2}-5 x-84=0\)
বা, \(x^{2}-12 x+7 x-84=0\)
বা, \(x(x-12)+7(x-12)=0\)
বা, \((x-12)(x+7)=0\)
দুটি রাশির গুণফল শূন্য হলে, তাদের মধ্যে যে-কোন একটি রাশির মান শূন্য হবে।
হয়, \(x-12=0\)
বা, \(x=12\)
অথবা, \(x+7=0\)
\(x=-7\)
\(\because x=-7\) অসম্ভব, কারণ দৈর্ঘ্য ঋণাত্মক হয় না
\(\therefore\) কাগজটির দৈর্ঘ্য 12 সেমি এবং প্রস্থ \(= (12 - 5)\) সেমি
= 7 সেমি
\(\therefore\) কাগজটির পরিসীমা \(=2(12+7)\) সেমি
\(=(2 \times 19)\) সেমি
\(=38\) সেমি
\(\therefore\) সুজাতার কাগজটির পরিসীমা 38 সেমি।

মনে করি, বর্গাকার বাগানের প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্য \(x\) মিটার
\(\therefore\) বর্গাকার বাগানের ক্ষেত্রফল \(x^{2}\) বর্গমিটার
প্রদত্ত রাস্তাটি 2.5 মিটার চওড়া
\(\therefore\) রাস্তাসহ বাগানের প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্য \(=(x+2 \times 2.5)\) মিটার
\(=(x+5)\) মিটার
রাস্তাসহ বাগানের ক্ষেত্রফল \(=(x+5)^{2}\) বর্গমিটার
প্রশ্নানুসারে, \((x+5)^{2}-x^{2}=165\)
বা, \(x^{2}+10 x+25-x^{2}=165\)
বা, \(10 x=140\)
বা, \(x=14\)
\(\therefore\) বাগানটির প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্য 14 মিটার ও তার ক্ষেত্রফল
\(=(14)^{2}\) বর্গমিটার
= 196 বর্গমিটার
এবং বাগানটির কর্ণের দৈর্ঘ্য \(=14 \sqrt{2}\) মিটার
\(=(14 \times 1.414)\) মিটার
= 19.796 মিটার।

বর্গাকার জমির কর্ণের দৈর্ঘ্য \(=20 \sqrt{2}\) মিটার
\(\therefore\) বগার্কার জমির একটি বাহুর দৈর্ঘ্য \(=\frac{20 \sqrt{2}}{\sqrt{2}}\) মিটার
= 20 মিটার
\(\therefore\) পরিসীমা \(=(4 \times 20)\) মিটার
= 80 মিটার
\(\therefore\) ক্ষেত্রফল \(=20^{2}\) বর্গমিটার
= 400 বর্গমিটার
\(\therefore\) প্রতি বর্গমিটার 20 টাকা হিসেবে ঘাস বসাতে মোট খরচ হবে
\(=(20 \times 400)\) টাকা
= 8000 টাকা
\(\therefore\) পাঁচিলের দৈর্ঘ্য হবে 80 মিটার এবং ঘাস বসাতে মোট খরচ হবে 8000 টাকা।

যেহেতু, আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য 12 মিটার ও প্রস্থ 7 মিটার
\(\therefore\) বাগানটির কর্ণের দৈর্ঘ্য \(=\sqrt{12^{2}+7^{2}}\) মিটার
\(=\sqrt{144+49}\) মিটার
\(=\sqrt{193}\) মিটার
\(\therefore\) বেড়ার দৈর্ঘ্য \(=\sqrt{193}\) মিটার
\(\therefore\) বেড়াটি আয়তাকার বাগানকে যে দুটি ত্রিভুজে বিভক্ত করে তাদের প্রতিটির পরিসীমা
\(=(12+7+\sqrt{193})\) মিটার
\(=(19+\sqrt{193})\) মিটার

মনে করি, হল ঘরটির দৈর্ঘ্য \(9x\) মিটার এবং প্রস্থ \(5x\) মিটার যেখানে \(x\) একটি আনুপাতিক ধ্রুবক।
প্রশ্নানুসারে, \(2(9 x+5 x)=140\)
বা, \(14 x=\frac{140}{2}=70\)
\(\therefore x=5\)
\(\therefore\) হলঘরটির দৈর্ঘ্য \(=(9 \times 5)\) মিটার
= 45 মিটার
এবং প্রস্থ \(=(5 \times 5)=25\) মিটার
\(\therefore\) হলঘরের মেঝের ক্ষেত্রফল \(=(45 \times 25)\) বর্গমিটার
\(=(45 \times 25 \times 10000)\) বর্গসেমি
\(\because\) প্রতিটি টালির ক্ষেত্রফল \(=(25 \times 20)\) বর্গসেমি
\(\therefore\) মেঝেতে বসাতে মোট টালি প্রয়োজন \(=\left(\frac{45 \times 25 \times 10000}{25 \times 20}\right)\) টি
= 22500 টি
এখন 100 টি টালির মূল্য = 500 টাকা
\(\therefore\) 1 টি টালির মূল্য \(=\frac{500}{100}\) টাকা
\(\therefore\) 22500 টি টালির মূল্য \(=\frac{500 \times 22500}{100}=112500\) টাকা
\(\therefore\) মেঝেতে টালি বসাতে মোট খরচ হবে 112500 টাকা।

মনে করি, হলঘরটির প্রস্থ \(x\) মিটার ও দৈর্ঘ্য 18 মিটার মেঝের ক্ষেত্রফল \(= 18x\) বর্গমিটার
যদি হলঘরের মেঝের প্রস্থ 4 মিটার কম হতো তবে মেঝের ক্ষেত্রফল হত \(18 (x - 4)\) বর্গমিটার
এখন \(18x\) বর্গমিটারে খরচ হয় 2160 টাকা
\(\therefore\) 1 বর্গমিটারে খরচ হয় \(=\frac{2160}{18 x}\) টাকা
\(\therefore 18(x-4)\) বর্গমিটারে খরচ হয় \(=\frac{2160 \times 18 \times(x-4)}{18 \times x} \)
\(=\frac{2160 x-2160 \times 4}{x}\)
প্রশ্নানুসারে, \(\frac{2160 x-2160 \times 4}{x}=1620 \)
বা, \(2160 x-2160 \times 4=1620 x\)
বা, \(2160 x-1620 x=2160 \times 4\)
বা, \(540 x=2160 \times 4\)
বা, \(x=\frac{2160 \times 4}{540}\)
\( \therefore x=16\)
\(\therefore\) হলঘরের মেঝের ক্ষেত্রফল \(=(16 \times 18)\) বর্গমিটার
= 288 বর্গমিটার

মনে করি, আয়তাকার জমির দৈর্ঘ্য \(= x\) মিটার
\(\therefore\) আয়তাকার জমির প্রস্থ \(=(x-3)\) মিটার
প্রশ্নানুসারে, \(\sqrt{x^{2}+(x-3)^{2}}=15\)
বা, \(x^{2}+x^{2}-6 x+9=225 \)
বা, \(2 x^{2}-6 x-216=0\)
বা, \(x^{2}-3 x-108=0\)
বা, \(x^{2}-12 x+9 x-108=0 \)
বা, \(x(x-12)+9(x-12)=0\)
বা, \((x-12)(x+9)=0\)
দুটি রাশির গুণফল শূন্য হলে, তাদের মধ্যে যে-কোনো একটি রাশির মান শূন্য হবে।
হয়, \((x-12)=0\)
\(\therefore x=12\)
অথবা, \(x + 9 = 0\)
বা, \(x = -9\), ইহা অসম্ভব
\(\therefore\) জমিটির দৈর্ঘ্য 12 মিটার, তাহলে প্রস্থ হবে
\(= (12 - 3)\) মিটার
= 9 মিটার
\(\therefore\) জমিটির পরিসীমা \(= 2 (12 + 9)\) মিটার
= 42 মিটার
এবং ক্ষেত্রফল \(=(12 \times 9)\) বর্গমিটার
= 108 বর্গমিটার

385 মিটার \( \times 60\) মিটার পরিমাপের একটি আয়তাকার চাতাল পাকা করতে সর্ববৃহৎ যে মাপের বর্গাকার টাইলস্ ব্যবহার করা যাবে তার প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্য হবে 385 মিটার ও 60 মিটারের গ.সা.গু.।

\(\therefore\) 385 মিটার ও 60 মিটারের গসাগু 5 মিটার
\(\therefore\) বর্গাকার টাইলস্-এর ক্ষেত্রফল (5 মিটার \( \times \) 5 মিটার)
\(\therefore\) নির্ণেয় টাইলস্ সংখ্যা \(=\left(\frac{385 \times 60}{5 \times 5}\right)\) টি = 924 টি

যে বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য \(12 \sqrt{2}\) সেমি, তার একটি বাহুর
দৈর্ঘ্য \(=\frac{12 \sqrt{2}}{\sqrt{2}}\) সেমি = 12 সেমি

ধরি, বর্গক্ষেত্রটির প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্য \(x\) একক,
অর্থাৎ, কর্ণের দৈর্ঘ্য \(x \sqrt{2}\) একক।
\(\therefore A_{1}=x^{2}\) বর্গএকক এবং \(A_{2}=(x \sqrt{2})^{2}=2 x^{2}\) বর্গএকক
\(\therefore A_{1}: A_{2}=x^{2}: 2 x^{2}=1: 2\)

আয়তাকার জায়গার দৈর্ঘ্য = 6 মিটার = 60 ডেসিমি
এবং প্রস্থ = 4 মিটার = 40 ডেসিমি
বর্গাকার টালির পরিমাপ 2 ডেসিমি \( \times \) 2 ডেসিমি
\(\therefore\) টালির সংখ্যা \(=\frac{60 \times 40}{2 \times 2}=600\)

মনে করি, বর্গক্ষেত্রের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য \(a\) একক এবং আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে \(x\) একক ও \(y\) একক
প্রশ্নানুসারে, \(4 a=2(x+y)\)
\(\therefore a=\frac{x+y}{2}\)
বা, \(a^{2}=\left(\frac{x+y}{2}\right)^{2}\)
বা, \(a^{2}-x y=\left(\frac{x+y}{2}\right)^{2}-x y\)
\(\therefore \mathrm{S}-\mathrm{R}=\frac{(x+y)^{2}-4 x y}{4} \quad\left[\because \mathrm{S}=a^{2}, \mathrm{R}=x y\right]\)
বা, \(\mathrm{S}-\mathrm{R}=\left(\frac{x-\mathrm{y}}{2}\right)^{2} \quad\)
বা, \(\mathrm{S}-\mathrm{R} > 0\quad[\because x \neq y]\)
\(\therefore \mathrm{S} > \mathrm{R}\)

মনে করি, আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য \(x\) সেমি ও প্রস্থ \(y\) সেমি
\(x^{2}+y^{2}=10^{2} \)
বা, \((x+y)^{2}-2 x y=100 \)
বা, \((x+y)^{2}=100+2 \times 62.5\)
বা, \((x+y)^{2}=100+125\)
বা, \((x+y)^{2}=225\)
\(\therefore x+y=15\)

মনে করি, বর্গক্ষেত্রটির প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্য \(x\) একক
\(\therefore\) বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল \(x^{2}\) বর্গএকক
বাহুর দৈর্ঘ্য 10% বৃদ্ধি পেলে প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্য হয়
\(=(x+x\) এর \(\frac{1 0}{10 0})\) একক
\(=\frac{11 x}{10}\) একক
এখন, বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল \(=\left(\frac{11 x}{10}\right)^{2}\) বর্গএকক
\(=\frac{121 x^{2}}{100}\) বর্গএকক
\(\therefore\) ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি \(=\left(\frac{121 x^{2}}{100}-x^{2}\right)\) বর্গএকক
\(=\frac{21 x^{2}}{100}\) বর্গ একক
\(\therefore\) ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি হার \(=\left(\frac{21 x^{2}}{100 \times x^{2}} \times 100\right) \%=21 \%\)

মনে করি, আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য \(= x\) একক এবং প্রস্থ \(= y\) একক
\(\therefore\) ক্ষেত্রফল \(=xy\) বর্গ একক
দৈর্ঘ্য \(10\%\) বৃদ্ধি ও প্রস্থ \(10\%\) হ্রাস পেলে পরিবর্তিত
ক্ষেত্রফল \(=(x+x\) এর \(\frac{10}{10 0})(y-y\) এর \(\frac{10}{10 0})\) বর্গএকক
\(=\left(\frac{11 x}{10} \times \frac{9 y}{10}\right)\)
\(=\frac{99 x y}{100}\)
\(\therefore\) ক্ষেত্রফল হ্রাস \(=\left(x y-\frac{99}{100} x y\right)\) বর্গএকক
\(=\frac{x y}{100}\) বর্গএকক
\(\therefore\) ক্ষেত্রফলের হ্রাসের হার \(=\left(\frac{x y}{100 \times x y} \times 100\right) \%=1 \%\)

চিত্রানুসারে, \(BD = 5\) সেমি
\(\therefore O D=(\frac{1}{2} \times 5\) সেমি\()\)
\(=\frac{5}{2}\) সেমি
\(OP = 2\) সেমি
\(\therefore O P \perp C D\)
\(\therefore P D=\sqrt{\left(\frac{5}{2}\right)^{2}-2^{2}}\) সেমি
\(=\sqrt{\frac{25}{4}-4}\) সেমি
\(=\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{3}{2}\) সেমি
\(\because C D=2 P D=\left(2 \times \frac{3}{2}\right)\) সেমি = 3 সেমি
\(\therefore\) আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ 3 সেমি।

চিত্রে, ABCD বর্গক্ষেত্রের কর্ণদ্বয় AC ও BD-এর ছেদবিন্দু O থেকে BC-র উপর লম্বের দৈর্ঘ্য \(O P=2 \sqrt{2}\) সেমি
\(\because O P \perp B C\) এবং \(\mathrm{AB} \perp \mathrm{BC},\)
\(\mathrm{AB}=2 \mathrm{OP}=(2 \times 2 \sqrt{2})\) সেমি \(=4 \sqrt{2}\) সেমি
\([\because O, AC\)- র মধ্যবিন্দু এবং \(O P \| A B \therefore O P=\frac{1}{2} A B]\)
\(\therefore\) বর্গক্ষেত্রটির প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য \(=4 \sqrt{2}\) সেমি
\(\therefore\) কর্ণের দৈর্ঘ্য \(=(\sqrt{2} \times 4 \sqrt{2}\) সেমি\() \ =8\) সেমি

মনে করি, আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য \(x\) সেমি ও প্রস্থ \(y\) সেমি।
\(\therefore\) উহার পরিসীমা, ক্ষেত্রফল ও কর্ণের দৈর্ঘ্যের সাংখ্যমান যথাক্রমে \(2xy\) সেমি, \(xy\) বর্গসেমি, \(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\) সেমি।
প্রথম শর্তানুসারে, \(2(x+y)=34\)
বা, \(x+y=17\)
বা, \((x+y)^{2}=17^{2}\)
বা, \(x^{2}+y^{2}+2 x y=289\)
বা, \(x^{2}+y^{2}+2 \times 60=289\quad [\because\) উহার ক্ষেত্রফল, \(xy = 60]\)
বা, \(x^{2}+y^{2}=289-120\)
বা, \(x^{2}+y^{2}=169\)
বা, \(\sqrt{x^{2}+y^{2}}=13\)
\(\therefore\) আয়তক্ষেত্রটির কর্ণ \(13\) সেমি।