চন্দ্রা খাতায় PQ ও RS দুটি লাইনের মধ্যে MN ছেদক টানল।
ছেদকটি সরলরেখা দুটিকে যথাক্রমে A ও B বিন্দুতে ছেদ করল।

(i) উৎপন্ন চার জোড়া অনুরূপ কোণ
$\angle \mathrm{MAQ}$ ও $\angle A B S, \angle M A P$ ও $\angle \mathrm{ABR}, \angle \mathrm{PAB}$ ও $\angle \mathrm{RBN}, \angle \mathrm{QAB}$ ও $\angle S B N$

$\therefore \angle \mathrm{MAQ}=$ অনুরূপ $\angle \mathrm{ABS}=60^{\circ}$

$\therefore \angle M A P=$ অনুরূপ $\angle A B R=120^{\circ}$

$\therefore \angle \mathrm{PAB}=$ অনুরূপ $\angle \mathrm{RBN}=60^{\circ}$

$\therefore \angle Q A B=$ অনুরূপ $\angle \mathrm{SBN}=120^{\circ}$
$\therefore$ অর্থাৎ, অনুরূপ কোণগুলি পরস্পর সমান।
(ii) উৎপন্ন দুই জোড়া একান্তর কোণ–
$\angle \mathrm{PAB}$ ও $\angle \mathrm{ABS}$ এবং $\angle \mathrm{QAB}$ ও $\angle \mathrm{ABR}$

$\therefore \angle P A B=$ একান্তর $\angle A B S=60^{\circ}$

$\therefore \angle Q A B=$ একান্তর $\angle \mathrm{ABR}=120^{\circ}$
$\therefore$ একান্তর কোণগুলি পরস্পর সমান।
(iii) MN ছেদকের ডান দিকে উৎপন্ন হওয়া অন্তঃস্থ কোণ $\angle Q A B$ ও $\angle \mathrm{ABS}$

$\therefore \angle Q A B+\angle A B S=120^{\circ}+60^{\circ}=180^{\circ}$
MN ছেদকের বাঁ-দিকে উৎপন্ন হওয়া অন্তঃস্থ কোণ $\angle P A B$ ও $\angle A B R$

$\therefore \angle P A B+\angle A B R=60^{\circ}+120^{\circ}=180^{\circ}$

অনুরূপ কোণ → $\angle$ 1 ও $\angle$ 5, $\angle$ 4 ও $\angle$ 8, $\angle$ 2 ও $\angle$ 6, $\angle$ 3 ও $\angle$ 7
একান্তর কোণ → $\angle$ 4 ও $\angle$ 6, $\angle$ 3 ও $\angle$ 5
একই পাশের অন্তঃস্থ কোণ → $\angle$ 4 ও $\angle$ 5, $\angle$ 3 ও $\angle$ 6

(a) $x$ = বিপ্রতীপ $\angle \mathrm{EMB}=55^{\circ}$
$x$ = একান্তর $\angle \mathrm{MND}=55^{\circ}$
আবার, $\angle M N D+y=180^{\circ}$
[$\because$ EF সরলরেখার উপর ND রশ্মি দণ্ডায়মান হওয়ার ফলে উৎপন্ন সন্নিহিত কোণদ্বয় $\angle \mathrm{MND}, \angle \mathrm{FND}$]
বা, $y=180^{\circ}-55^{\circ}=125^{\circ}$
$\therefore x=55^{\circ}, y=125^{\circ}$
(b) $x$ = অনুরূপ $\angle \mathrm{MNC}$
আবার, $\angle M N C+\angle M N D=180^{\circ}$
[$\because$ CD সরলরেখার উপর MN সরলরেখাংশ দণ্ডায়মান হওয়ার ফলে উৎপন্ন সন্নিহিত কোণদ্বয় $\angle M N C$ ও $\angle M N D$]
বা, $x+68^{\circ}=180^{\circ}$
বা, $x=180^{\circ}-68^{\circ}$
$\therefore x=112^{\circ}$
(c) $\angle B M N=$ অনুরূপ $\angle D N F=100^{\circ}$
আবার, $\angle D N F+\angle C N F=180^{\circ}$
[$\because$ CD সরলরেখার উপর NF রশ্মি দণ্ডায়মান হওয়ার ফলে উৎপন্ন সন্নিহিত কোণদ্বয় $\angle D N F$ ও $\angle C N F$]
বা, $\angle D N F+x=180^{\circ}$
বা, $100^{\circ}+x=180^{\circ}$
বা, $x=180^{\circ}-100^{\circ}$
$\therefore x=80^{\circ}$

$\angle 2=\angle \mathrm{XMN}=$ বিপ্রতীপ $\angle A M Y=50^{\circ}$
$\therefore \angle 2=50^{\circ}$
$AN$ সরলরেখাংশের উপর $XM$ সরলরেখাংশ দণ্ডায়মান।
$\therefore \angle 1+\angle 2=180^{\circ}$
$\therefore \angle 1=180^{\circ}-\angle 2$
$=180^{\circ}-50^{\circ}=130^{\circ}$
আবার, $\mathrm{XY} \| \mathrm{PQ}$ ও AB ভেদক
$\therefore \angle 4=$ অনুরূপ $\angle 1=130^{\circ}$ এবং $\angle 7=$ অনুরূপ $\angle 2=50^{\circ}$
$\angle 6=$ বিপ্রতীপ $\angle 4=130^{\circ}$
$\angle 5=$ বিপ্রতীপ $\angle 7=50^{\circ}$
$\angle 3=$ বিপ্রতীপ $\angle 1=130^{\circ}$
$\therefore \angle 1=130^{\circ}, \angle 2=50^{\circ}, \angle 3=130^{\circ}, \angle 4=130^{\circ}$
$\angle 5=50^{\circ}, \angle 6=130^{\circ}, \angle 7=50^{\circ}$

(i) ধরি, $\mathrm{AB} \| \mathrm{CD}$
সেক্ষেত্রে $\angle \mathrm{MNC}=$ একান্তর $\angle B M N=125^{\circ}$
আবার, $\angle \mathrm{MNC}+\angle \mathrm{MND}=180^{\circ}$
[$\because$ CD সরলরেখার উপর MN সরলরেখাংশ দণ্ডায়মান হওয়ার ফলে উৎপন্ন সন্নিহিত কোণদ্বয় $\angle M N C$ ও $\angle \mathrm{MND}$]
বা, $125^{\circ}+\angle M N D=180^{\circ}$
বা, $\angle M N D=180^{\circ}-125^{\circ}$
বা, $\angle M N D=55^{\circ}$
কিন্তু, প্রদত্ত $\angle \mathrm{MND}=30^{\circ}$
$\therefore$ AB ও CD সরলরেখা দুটি সমান্তরাল নয়।
সংশোধিত চিত্রটি হল—

(ii) ধরি, $\mathrm{AB} \| \mathrm{CD}$
$\therefore \angle \mathrm{CNF}=$ অনুরূপ $\angle \mathrm{AMN}=120^{\circ}$
আবার, $\angle \mathrm{CNF}+\angle \mathrm{DNF}=180^{\circ}$
[$\because$ CD সরলরেখার উপর NF রশ্মি দণ্ডায়মান হওয়ার ফলে উৎপন্ন সন্নিহিত কোণদ্বয় $\angle \mathrm{CNF}$ ও $\angle D N F$]
বা, $120^{\circ}+\angle D N F=180^{\circ}$
বা, $\angle D N F=180^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ}$
এবং চিত্রে প্রদত্ত, $\angle D N F=60^{\circ}$
$\therefore A B \| C D$
(iii) ধরি, $A B \| C D$
$\angle E N D=$ অনুরূপ $\angle \mathrm{EMB}=75^{\circ}$
আবার, $\angle E N D+\angle D N F=180^{\circ}$
[$\because$ EF সরলরেখার উপর ND রশ্মি দণ্ডায়মান হওয়ার ফলে উৎপন্ন সন্নিহিত কোণদ্বয় $\angle E N D$ ও $\angle \mathrm{DNF}$]
বা, $75^{\circ}+\angle D N F=180^{\circ}$
বা, $\angle D N F=180^{\circ}-75^{\circ}=105^{\circ}$
কিন্তু, প্রদত্ত $\angle \mathrm{DNF}=95^{\circ}$
$\therefore$ AB ও CD সমান্তরাল নয়।
সংশোধিত চিত্রটি হল

$\angle \mathrm{EGB}=50^{\circ}$
$\angle \mathrm{AGH}=$ বিপ্রতীপ $\angle E G B=50^{\circ}$
$\angle \mathrm{AGE}+\angle \mathrm{EGB}=180^{\circ}$
[$\because$ $AB$ সরলরেখাংশের উপর EG সরলরেখাংশ দণ্ডায়মান
হওয়ার ফলে উৎপন্ন সন্নিহিত কোণ $\angle E G B$ ও $\angle \mathrm{AGE}$]
বা, $\angle \mathrm{AGE}+50^{\circ}=180^{\circ}$
বা, $\angle A G E=180^{\circ}-50^{\circ}=130^{\circ}$
$\angle \mathrm{BGH}=$ বিপ্রতীপ $\angle \mathrm{AGE}=130^{\circ}$
$\angle \mathrm{GHD}=$ অনুরূপ $\angle E G B=50^{\circ}$
$\angle \mathrm{CHF}=$ বিপ্রতীপ $\angle \mathrm{GHD}=50^{\circ}$
$\angle \mathrm{AGE}=$ অনুরূপ $\angle \mathrm{GHC}=130^{\circ}$
$\angle \mathrm{DHF}=$ বিপ্রতীপ $\angle \mathrm{GHC}=130^{\circ}$
$\therefore$ $\angle \mathrm{AGE}=130^{\circ}, \angle \mathrm{AGH}=50^{\circ}, \angle \mathrm{BGH}=130^{\circ}$
$\angle \mathrm{GHC}=130^{\circ}, \angle \mathrm{GHD}=50^{\circ}, \angle \mathrm{CHF}=50^{\circ}$
এবং $\angle \mathrm{DHF}=130^{\circ}$

$AB$ ও $CD$-এর সমান্তরাল সরলরেখা QS অঙ্কন করা হল।
$\angle \mathrm{PQS}=$ একান্তর $\angle \mathrm{APQ}=30^{\circ}$
আবার, $\angle R Q S=$ একান্তর $\angle Q R C$
$=40^{\circ}$
$\angle \mathrm{PQR}=\angle \mathrm{PQS}+\angle \mathrm{RQS}$
$=30^{\circ}+40^{\circ}=70^{\circ}$

প্রদত্ত $\angle B P R=155^{\circ}$
এখন, $\angle B P R+\angle A P R=180^{\circ}$
[$\because$ AB রশ্মির উপর PR সরলরেখাংশ দণ্ডায়মান হওয়ার
ফলে উৎপন্ন সন্নিহিত কোণ দুটি হল $\angle \mathrm{APR}$ ও $\angle B P R$]
বা, $155^{\circ}+\angle \mathrm{APR}=180^{\circ}$
বা, $\angle \mathrm{APR}=180^{\circ}-155^{\circ}=25^{\circ}$
আবার, $\angle \mathrm{QPR}+\angle \mathrm{BPQ}=\angle \mathrm{BPR}$
বা, $\angle \mathrm{QPR}+40^{\circ}=155^{\circ}$
বা, $\angle \mathrm{QPR}=155^{\circ}-40^{\circ}=115^{\circ}$
চিত্রে, $PQ\|RS$ এবং PR ছেদক
আমরা জানি, ছেদকের একই পাশের অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টি = 2 সমকোণ
$\therefore \angle \mathrm{QPR}+\angle \mathrm{PRS}=180^{\circ}$
বা, $115^{\circ}+\angle \mathrm{PRS}=180^{\circ}$
বা, $\angle \mathrm{PRS}=180^{\circ}-115^{\circ}=65^{\circ}$
আবার, $\angle \mathrm{PRA}+\angle \mathrm{PRS}+\angle \mathrm{SRC}=180^{\circ}$
[$\because$ AC সরলরেখার উপর RS রশ্মি দণ্ডায়মান হওয়ার ফলে উৎপন্ন সন্নিহিত কোণদ্বায় হল $\angle \mathrm{SRA}, \angle \mathrm{SRC}$]
বা, $\angle P R A+65^{\circ}+70^{\circ}=180^{\circ}$
বা, $\angle P R A=180^{\circ}-65^{\circ}-70^{\circ}=45^{\circ}$
$\triangle \mathrm{APR}$-এর
$\angle \mathrm{PRA}+\angle \mathrm{PAR}+\angle \mathrm{APR}=180^{\circ}$
বা, $45^{\circ}+\angle \mathrm{PAR}+25^{\circ}=180^{\circ}$
বা, $\angle \mathrm{PAR}=180^{\circ}-45^{\circ}-25^{\circ}=110^{\circ}$
$\triangle \mathrm{APR}$-এর
$\angle \mathrm{PRA}=45^{\circ}, \angle \mathrm{PAR}=110^{\circ}$ ও $\angle \mathrm{APR}=25^{\circ}$

$AB$ ও $CD$ দুটি সমান্তরাল সরলরেখার ভিতর $O$ যে-কোনো একটি বিন্দু।
$OP$ ও $OQ$ যথাক্রমে AB ও CD সরলরেখার উপর লম্ব।
প্রামাণ্য বিষয় : $P, O, Q$ বিন্দু তিনটি সমরেখ।
অঙ্কন : $O$ বিন্দু দিয়ে $AB$ ও $CD$-এর সমান্তরাল সরলরেখা MN অঙ্কন করা হল।
প্রমাণ : $\mathrm{AB} \| \mathrm{MN}$ এবং $PO$ ছেদক
$\therefore \angle \mathrm{BPO}+\angle \mathrm{PON}=180^{\circ}$ [ছেদকের একই পাশের অন্তঃস্থ কোণ]
বা, $90^{\circ}+\angle P O N=180^{\circ}\left[\because P O \perp A B \therefore \angle B P O=90^{\circ}\right]$
বা, $\angle P O N=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}$
আবার, $C D \| M N$ এবং QO ছেদক
$\therefore \angle \mathrm{NOQ}+\angle O Q D=180^{\circ}$ [ছেদকের একই পাশের অন্তঃস্থ কোণ]
বা, $\angle N O Q+90^{\circ}=180^{\circ}$
$\left[\because O Q \perp C D \therefore \angle O Q D=90^{\circ}\right]$
বা, $\angle \mathrm{NOQ}=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}$
$\therefore$ $\angle \mathrm{PON}+\angle \mathrm{NOQ}=90^{\circ}+90^{\circ}=180^{\circ}$
কিন্তু, এরা সন্নিহিত কোণ।
$\therefore$ $PO$ ও $OQ$ একই সরলরেখা
$\therefore$ $P, O, Q$ বিন্দু তিনটি সমরেখ। (প্রমাণিত)

ধরা যাক, $\angle A B C$ ও $\angle D E F$-এর
$A B \| D E$ এবং $\mathrm{BC} \| \mathrm{EF}$
প্রামাণ্য বিষয় : $\angle A B C=\angle D E F$ (চিত্র : 1) ...........(i)
অথবা, $\angle A B C+\angle D E F=180^{\circ}$ (চিত্র : 2) .........(ii)
প্রমাণ : চিত্র : 1
$\because A B \| D E$ এবং BC ভেদক
$\therefore \angle \mathrm{ABC}=$ অনুরূপ $\angle D O C$
আবার, $\mathrm{BC} \| \mathrm{EF}$ এবং DE ভেদক
$\therefore \angle D O C=$ অনুরূপ $\angle D E F$
$\therefore \angle A B C=\angle D E F$ (প্রমাণিত)
চিত্ৰ : 2
$\because B C \| E F$ এবং DE ভেদক
$\therefore \angle D O B=$ অনুরূপ $\angle D E F$
এবং $A B|| D E$ এবং BC ভেদক
$\angle A B O+\angle D O B=2$ সমকোণ
[$\because$ ভেদকের একই পাশের অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টি 2 সমকোণ]
$\therefore \angle A B O+\angle D E F=2$ সমকোণ $[\because \angle D E F=\angle D O B]$
$\therefore$ কোণ দুটি পরস্পর সম্পূরক। (প্রমাণিত)

প্রদত্ত : ABCD সামান্তরিকের AC কর্ণ $\angle B A D$ কে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
অর্থাৎ, $\angle B A C=\angle C A D$
প্রামাণ্য বিষয় : AC কর্ণ $\angle B C D$-কেও সমদ্বিখণ্ডিত করে।
অর্থাৎ $\angle B C A=\angle A C D$
প্ৰমাণ :
$\because \mathrm{AB} \| \mathrm{DC}$ এবং AC ছেদক
$\angle \mathrm{BAC}=$ একান্তর $\angle \mathrm{ACD} \ldots(i)$
আবার, $A D \| B C$ এবং AC ছেদক
$\therefore \angle C A D=$ একান্তর $\angle B C A \ldots(ii)$
$\because \angle \mathrm{BAC}=\angle \mathrm{CAD} \ldots(iii)$
[$\because$ AC কৰ্ণ $\angle B A D$ কে সমদ্বিখণ্ডিত করে]
$\therefore \angle \mathrm{ACD}=\angle \mathrm{BCA}$ [(i), (ii) ও (iii) থেকে]
$\therefore$ AC কর্ণ $\angle B C D$ কে সমদ্বিখণ্ডিত করে। (প্রমাণিত)

ধরা যাক, ABCD সামান্তরিকের $\angle A=1$ সমকোণ
প্রামাণ্য বিষয় : $\angle B=\angle C=\angle D=1$ সমকোণ
প্রমাণ : যেহেতু, $A B \| D C$ এবং AD ছেদক
$\therefore \angle \mathrm{A}+\angle \mathrm{D}=2$ সমকোণ [ছেদকের একই পাশের অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টি 2 সমকোণ]
বা, $\angle D=(2-1)$ সমকোণ
[$\because \angle A=1$ সমকোণ (প্রদত্ত)]
= 1 সমকোণ
আবার যেহেতু, $A D \| B C$ এবং AB ছেদক
$\angle A+\angle B=2$ সমকোণ [ছেদকের একই পাশের অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টি 2 সমকোণ]
বা, $\angle B=(2-1)$ সমকোণ $\quad$ [$\because\angle \mathrm{A}=1$ সমকোণ (প্রদত্ত)]
= 1 সমকোণ
এখন, $A D \| B C$ এবং CD ছেদক
$\therefore \angle C+\angle D=2$ সমকোণ [ছেদকের একই পাশের অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টি 2 সমকোণ]
বা, $\angle C=(2-1)$ সমকোণ $\quad$ [$\because \angle D=1$ সমকোণ]
= 1 সমকোণ
$\therefore \angle B=\angle C=\angle D=1$ সমকোণ (প্রমাণিত)