ধরা যাক, $ABCD$ সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় $AC$ ও $BD$ পরস্পর সমান অর্থাৎ, $AC = BD$
প্রামাণ্য বিষয় : $ABCD$ একটি আয়তাকার চিত্র, অর্থাৎ, $ABCD$-র যে-কোনো একটি কোণের মান $90^{\circ}$।
প্রমাণ : $\triangle \mathrm{ABC}$ ও $\triangle B C D$-র
$AB = DC\quad$ [সামান্তরিকের বিপরীত বাহু]
$BC$ সাধারণ বাহু
$AC = BD\quad$ [স্বীকার]
$\therefore \triangle \mathrm{ABC} \cong \triangle \mathrm{BCD}\quad$ [$S – S – S$ শর্তানুসারে]
$\therefore \angle A B C=\angle B C D$
$\quad\quad$[$\because$ সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ কোণ সমান হয়] $\ldots(i)$
আবার, $\angle A B C+\angle B C D=180^{\circ}$
$\quad\quad$ [$\because$ সামান্তরিকের সন্নিহিত কোণদ্বয়ের সমষ্টি $180^{\circ}$]
বা, $\angle A B C+\angle A B C=180^{\circ}$
বা, $2 \angle \mathrm{ABC}=180^{\circ}$
$\therefore \angle A B C=90^{\circ}$
$\because ABCD$ সামান্তরিকের $\angle A B C=90^{\circ},$
$\therefore ABCD$ একটি আয়তাকার চিত্র। (প্রমাণিত)

ধরা যাক, $ABCD$ সামান্তরিকের, কর্ণ $AC =$ কর্ণ $BD$ এবং কর্ণদ্বয় পরস্পরকে $O$ বিন্দুতে লম্বভাবে ছেদ করে
অর্থাৎ, $\angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{BOC}=\angle \mathrm{COD}=\angle \mathrm{DOA}=90^{\circ}$
প্রামাণ্য বিষয় : $ABCD$ একটি বগাকার চিত্র।
প্রমাণ : $\triangle \mathrm{AOB}$ ও $\triangle \mathrm{AOD}$-র
$OB = OD\quad$ [$\because$ সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পর সমদ্বিখণ্ডিত হয়]
$\angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{AOD}\left[=90^{\circ}\right]$
$OA$ সাধারণ বাহু
$\therefore \triangle \mathrm{AOB} \cong \mathrm{AOD}\quad$ [$S-A-S$ শর্তানুসারে]
$\therefore AB = AD\quad$ [$\because$ সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু সমান হয়]
আবার, $\because ABCD$ সামান্তরিক,
$\therefore AD = BC$ এবং $AB = DC$
$\therefore AB = BC = CD = DA$
$\because AC = BD$
বা, $\frac{1}{2} A C=\frac{1}{2} B D$
বা, $OA = OB$
$\therefore \angle O B A=\angle O A B\quad$ [সমান বাহুদ্বয়ের বিপরীত কোণগুলি সমান হয়]
একইভাবে দেখানো যায়, $\angle O A D=\angle O D A$
এখন $\triangle \mathrm{ADB}$-র
$\angle B D A+\angle B A D+\angle A B D=180^{\circ}$
বা, $\angle O D A+\angle B A D+\angle O B A=180^{\circ}$
বা, $\angle O A D+\angle B A D+\angle O A B=180^{\circ}$
বা, $\angle B A D+(\angle O A D+\angle O A B)=180^{\circ}$
বা, $\angle B A D+\angle B A D=180^{\circ}$
বা, $2 \angle B A D=180^{\circ}$
$\therefore \angle B A D=90^{\circ}$
$\therefore ABCD$ সামান্তরিকের $AB = BC = CD = DA$ এবং $\angle B A D=90^{\circ}$
$\therefore ABCD$ একটি বর্গাকার চিত্র।

ধরা যাক, $ABCD$ সামান্তরিকের, $AC$ ও $BD$ কর্ণদ্বয় পরস্পরকে লম্বভাবে $O$ বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রামাণ্য বিষয় : $ABCD$ একটি রম্বস।
প্রমাণ : যেহেতু সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে,
$\therefore$ $OB = OD\ldots(1)$
এখন $\triangle \mathrm{AOB}$ ও $\triangle A O D$-র
(i) $OB = OD\quad$ [$(1)$ থেকে পাই]
(ii) $\angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{AOD}\quad$ [$=90^{\circ}$, স্বীকার]
(iii) $OA$ সাধারণ বাহু
$\therefore \triangle \mathrm{AOB} \cong \triangle \mathrm{AOD}\quad$ [$S-A-S$ শর্তানুসারে]
$\therefore AB = AD\ldots(i)\quad$ [$\because$ সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু সমান হয়]
আবার, $ABCD$ সামান্তরিক হওয়ায়
$\left.\begin{array}{l}A B=D C \\ \text { এবং } A D=B C\end{array}\right\} \ldots(ii)$
$(i)$ ও $(ii)$ হতে পাই, $AB = BC = CD = AD$
$\therefore ABCD$ সামান্তরিকটি একটি রম্বস। (প্রমাণিত)

প্রদত্ত : $ABCD$ সামান্তরিকের, $AC$ ও $BD$ কর্ণ পরস্পরকে $O$ বিন্দুতে ছেদ করেছে।
$O$ বিন্দুগামী একটি সরলরেখা $AB$ ও $DC$-কে যথাক্রমে $P$ ও $Q$ বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রামাণ্য বিষয় : $OP = OQ$
প্রমাণ : $\triangle \mathrm{APO}$ ও $\triangle \mathrm{COQ}$-র
$\angle \mathrm{AOP}=\angle \mathrm{COQ}\quad$ [এরা বিপ্রতীপ কোণ]
$AO = OC\quad$ [$\because$ সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।]
$\angle \mathrm{OAP}(=\angle \mathrm{CAB})=\angle \mathrm{OCQ}(=\angle \mathrm{ACD})$
$\quad [\because AB \| DC$ এবং $AC$ ভেদক $\therefore \angle \mathrm{CAB}=\angle \mathrm{ACD}$ (একান্তর কোণ)$]$
$\therefore \triangle \mathrm{APO} \cong \triangle \mathrm{COQ}\quad$ [$A-S-A$ শর্তানুসারে]
$\therefore OP=OQ$ (সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু সমান হয়) (প্রমাণিত)

ধরা যাক, $ABCD$ একটি সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়াম যার $AD \| BC$ এবং $AB = DC$
প্রামাণ্য বিষয় : $\angle A B C=\angle D C B$ এবং $\angle \mathrm{BAD}=\angle \mathrm{CDA}$
অঙ্কন : শীর্ষবিন্দু $D$ থেকে $DE \| AB$ অঙ্কন করা হল যা $BC$-কে $E$ বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রমাণ : $ABED$ চতুর্ভুজের,
$AD \| BE\quad$ [স্বীকার]
এবং $AB \| DE\quad$ [অঙ্কন অনুসারে]
$\therefore ABED$ একটি সামান্তরিক।
$\therefore AB = DE$ এবং $AB \| DE$
$\because AB \| DE$ এবং $BC$ ছেদক
$\therefore \angle \mathrm{ABE}=\angle \mathrm{DEC}\quad$ [এরা অনুরূপ কোণ] $\ldots(i)$
আবার, $AB = DE$ এবং $AB = DC$ হওয়ায় $DE = DC$
$\therefore \angle D C E=\angle D E C\ldots(ii)$
সুতরাং $(i)$ ও $(ii)$ হতে পাই, $\angle \mathrm{ABE}=\angle \mathrm{DCE}$
অর্থাৎ, $\angle \mathrm{ABC}=\angle \mathrm{DCB}$ (প্রমাণিত)
অনুরূপভাবে প্রমাণ করা যায়, $\angle \mathrm{BAD}=\angle \mathrm{CDA}$
$\therefore$ একটি সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়ামের যে-কোনো সমান্তরাল বাহুসংলগ্ন কোণ পরস্পর সমান। (প্রমাণিত)

প্রদত্ত : $ABCD$ বর্গাকার চিত্রের $BC$ বাহুর উপর $P$ যে-কোনো একটি বিন্দু।
$B$ বিন্দু থেকে $AP$-র উপর অঙ্কিত লম্বের বর্ধিতাংশ $DC$-কে $Q$ বিন্দুতে ছেদ করে।
$AP$ ও $BQ$ পরস্পরকে $R$ বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রামাণ্য বিষয় : $AP= BQ$
প্রমাণ : $\triangle \mathrm{ABP}$ ও $\triangle \mathrm{BPR}$-র
$\angle \mathrm{ABP}=\angle \mathrm{BRP}\quad [\because \mathrm{AB} \perp \mathrm{BP}\quad \mathrm{AP} \perp \mathrm{BR}]$
$\angle \mathrm{APB}=\angle \mathrm{RPB}$ [একই কোণ]
$\therefore$ অবশিষ্ট $\angle B A P=\angle R B P$ অর্থাৎ $\angle \mathrm{BAP}=\angle \mathrm{QBC} \ldots(i)$
এখন $\triangle \mathrm{ABP}$ ও $\triangle B Q C$-র
$\angle A B P=\angle B C Q\left[=90^{\circ}\right]$
$AB = BC\quad$ [$\because ABCD$ বর্গাকার চিত্র]
$\angle B A P=\angle Q B C\quad$ [$(i)$ হতে পাই]
$\therefore \triangle \mathrm{ABP} \cong \triangle \mathrm{BCQ}\quad$ [$A-S-A$ শর্তানুসারে]
$\therefore AP = BQ$ [অনুরূপ বাহু] (প্রমাণিত)

ধরা যাক, $ABCD$ চতুর্ভুজের $\angle A B C=\angle A D C$ এবং $AB \| DC$
প্রামাণ্য বিষয় : $ABCD$ একটি সামান্তরিক।
অঙ্কন : $AC$ কৰ্ণ অঙ্কন করা হল।
প্রমাণ : যেহেতু, $AB \| DC$ এবং $AC$ ভেদক
$\therefore \angle B A C=$ একান্তর $\angle A C D$
এখন $\triangle A B C$ ও $\triangle \mathrm{ADC}$-র
$\angle A B C=\angle A D C\quad$ [স্বীকার]
$\angle B A C=\angle A C D\quad$ [পূর্বে প্রমাণিত]
অবশিষ্ট $\angle B C A=\angle C A D$, কিন্তু এরা একান্তর কোণ।
$AD \| BC$
এখন $ABCD$ চতুর্ভুজের $A B \| D C$ (স্বীকার) এবং
$A D \| B C\quad$ (পূর্বে প্রমাণিত)
$\therefore ABCD$ একটি সামান্তরিক। (প্রমাণিত)

প্রদত্ত : $\triangle \mathrm{ABC}$-র $BP$ ও $CQ$ মধ্যমাদ্বয় যথাক্রমে $R$ ও $S$ পর্যন্ত এরূপে বর্ধিত করা হল যাতে $BP = PR$ এবং $CQ = QS$ হয়।
প্রামাণ্য বিষয় : $S, A, R$ সমরেখ।
অঙ্কন : $B, S$ এবং $C, R$ যোগ করা হল।
প্রমাণ : $BCRA$ চতুর্ভুজের কর্ণদ্বয় $BR$ ও $AC$ পরস্পরকে $P$ বিন্দুতে ছেদ করেছে।
$\therefore BP = PR$ [স্বীকার] এবং $AP = PC$ [$P, AC$-র মধ্যবিন্দু]
$\therefore BCRA$ চতুর্ভুজের কর্ণদ্বয় $BR$ ও $AC, P$ বিন্দুতে পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
$\therefore BCRA$ একটি সামান্তরিক।
$\therefore BC \| AR \ldots(i)$
আবার, $BCAS$ চতুর্ভুজের $AB$ ও $CS$ কর্ণদ্বয় পরস্পরকে $Q$ বিন্দুতে ছেদ করেছে।
$\because CQ = QS$ [স্বীকার] এবং $AQ = QB\quad$ [$\because Q, AB$-র মধ্যবিন্দু]
$\therefore BCAS$ চতুর্ভুজের কর্ণদ্বয় $AB$ ও $CS$ পরস্পরকে $Q$ বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত করেছে।
$\therefore BCAS$ একটি সামান্তরিক।
$\therefore$ $BC || AS \ldots(ii)$
$(i)$ ও $(ii)$ হতে দেখা যাচ্ছে যে, $A$ বিন্দুগামী দুটি রেখাংশ একই রেখাংশ $BC$-র সমান্তরাল।
$\therefore$ ইহা সম্ভব হবে তখনই যখন $A$ বিন্দুগামী রেখাংশদ্বয় একই সরলরেখায় অবস্থিত হবে।
$\therefore S, A, R$ সমরেখ। (প্রমাণিত)

প্রদত্ত : $PQRS$ সামান্তরিকের $QS$-এর উপর $L$ ও $K$ এমন দুটি বিন্দু যেখানে $QL = LK =KS$।
বর্ধিত $RL, PQ$-কে $N$ বিন্দুতে এবং বর্ধিত $PK, SR$-কে $M$ বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রামাণ্য বিষয় : $PMRN$ একটি সামান্তরিক।
প্রমাণ : $\triangle \mathrm{LQR}$ ও $\triangle \mathrm{PKS}$-এর
$QR = PS\quad$ [সামান্তরিকের বিপরীত বাহু]
$\angle \mathrm{LQR}=\angle \mathrm{PSK}\quad$ [$\because QR \| PS$ এবং $QS$ ছেদক]
$\therefore \angle \mathrm{RQS}=$ একান্তর $\angle \mathrm{PSQ}$
$QL = KS\quad$ (স্বীকার)
$\therefore \triangle \mathrm{LQR} \cong \triangle \mathrm{PSK}\quad$ [$S-A-S$ শর্তানুসারে ]
$\therefore \angle \mathrm{QRL}=\angle \mathrm{KPS}\quad$ [সর্বসম ত্রিভুজদ্বয়ের সমান সমান বাহুদ্বয়ের বিপরীত কোণগুলি পরস্পর সমান হয়।]
$\therefore \angle \mathrm{QRN}=\angle \mathrm{MPS}$
$\triangle \mathrm{QRN}$ ও $\triangle \mathrm{PMS}$-র $\angle \mathrm{QRN}=\angle \mathrm{MPS}\quad$ [পূর্বে প্রমাণিত]
$QR = PS\quad$ [সামান্তরিকের বিপরীত বাহু]
$\angle \mathrm{NQR}=\angle \mathrm{PSM}\quad$ [$\because$ সামান্তরিকের বিপরীত কোণদ্বয় সমান]
$\therefore \triangle \mathrm{QRN} \cong \triangle \mathrm{PMS}\quad$ [$A-A-S$ শর্তানুসারে]
$\therefore QN = SM\quad$ [সর্বসম ত্রিভুজের সমান সমান কোণগুলির বিপরীত বাহুগুলি পরস্পর সমান] $\ldots(i)$
$\because PQRS$ একটি সামান্তরিক
$\therefore PQ=SR$
বা, $PQ - QN = SR - SM\quad$ [$(i)$ হতে পাই]
$\therefore P N=R M$
$\therefore PMRN$ চতুর্ভুজের $PN = RM$
এবং $PN \| RM\quad[\because \mathrm{PQ} \| \mathrm{RS}]$
$\therefore PMRN$ একটি সামান্তরিক। [$\because$ কোনো চতুর্ভুজের একজোড়া বিপরীত বাহু সমান ও সমান্তরাল হলে চতুর্ভুজ একটি সামান্তরিক হয়।] (প্রমাণিত)

প্রদত্ত : $ABCD$ ও $AECF$ দুইটি সামান্তরিকেরই $AC$ একটি কর্ণ। $B, E, D, F$ বিন্দুগুলি সমরেখ নয়।
প্রামাণ্য বিষয় : $BEDF$ একটি সামান্তরিক।
প্রমাণ : যেহেতু, $ABCD$ একটি সামান্তরিক
$\therefore \angle \mathrm{CAD}=\angle \mathrm{ACB}\quad$ [$AD \| BC$ এবং $AC$ ভেদক] $\ldots(i)$
$\because AECF$ একটি সামান্তরিক
$\therefore \angle \mathrm{FAC}=$ একান্তর $\angle A C E$
$\quad\quad [ AE \| FC$ এবং $AC$ ভেদক$] \ldots(ii)$
$(i) + (ii) \therefore \angle \mathrm{CAD}+\angle \mathrm{FAC}=\angle \mathrm{ACB}+\angle \mathrm{ACE}$
$\therefore \angle \mathrm{FAD}=\angle \mathrm{BCE}$
$\triangle \mathrm{AFD}$ ও $\triangle \mathrm{BCE}$-র $AF = CE$
$\quad[\because AF$ ও $CE, AECF$ সামান্তরিকের বিপরীত বাহু$]$
$\angle \mathrm{FAD}=\angle \mathrm{BCE}\quad$ [পূর্বে প্রমাণিত]
$AD = BC\quad$ [$\because AD$ ও $BC, ABCD$ সামান্তরিকের বিপরীত বাহু]
$\therefore \triangle \mathrm{AFD} \cong \triangle \mathrm{BCE}\quad$ [$S-A-S$ শর্তানুসারে]
$\therefore FD = BE\quad$ [সর্বসম ত্রিভুজদ্বয়ের অনুরূপ বাহু]
আবার, $\because ABCD$ একটি সামান্তরিক যার $AB \| CD$ এবং $AC$ ভেদক
$\therefore \angle B A C=$ একান্তর $\angle A C D\ldots(iii)$
$(ii)-(iii) \therefore \angle \mathrm{FAC}-\angle \mathrm{BAC}=\angle \mathrm{ACE}-\angle \mathrm{ACD}$
$\therefore \angle \mathrm{FAB}=\angle \mathrm{DCE}$
$\triangle \mathrm{FAB}$ ও $\triangle \mathrm{DCE}$-র
$FA = CE\quad$ [$AECF$ সামান্তরিকের বিপরীত বাহু]
$\angle \mathrm{FAB}=\angle \mathrm{DCE}\quad$ [পূর্বে প্রমাণিত]
$AB = CD\quad$ [$ABCD$ সামান্তরিকের বিপরীত বাহু]
$\therefore \triangle \mathrm{FAB} \cong \triangle \mathrm{DCE}\quad$ [$S-A-S$ শর্তানুসারে]
$\therefore FB = DE\quad$ [সর্বসম ত্রিভুজদ্বয়ের অনুরূপ বাহু]
$\therefore BEDF$ চতুর্ভুজের $FD = BE$ এবং $FB = DE$
$\therefore BEDF$ একটি সামান্তরিক।
[$\because$ কোনো চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলি সমান হলে চতুর্ভুজটি একটি সামান্তরিক হয়।] (প্রমাণিত)

প্রদত্ত : $ABCD$ একটি চতুর্ভুজ। $ABCE$ ও $BADF$ দুটি সামান্তরিক। $E, F$ যুক্ত করা হল।
প্রামাণ্য বিষয় : $CD$ ও $EF$ পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
অঙ্কন : $C, F$ এবং $D, E$ যুক্ত করা হল।
প্রমাণ : যেহেতু, $ABCE$ একটি সামান্তরিক
$\therefore AB = CE$ এবং $AB \| CE\ldots(i)$
আবার, $\because BADF$ একটি সামান্তরিক
$\therefore AB = DF$ এবং $AB \| DF\ldots(ii)$
$(i)$ ও $(ii)$ থেকে পাই,
$C E=D F$ এবং $CE \| DF$
অর্থাৎ, $CFDE$ একটি সামান্তরিক যার কর্ণদ্বয় $CD$ ও $EF$ পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করবে।
$\therefore CD$ ও $EF$ পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে। (প্রমাণিত)

প্রদত্ত : $ABCD$ সামান্তরিকের $\angle B A D$-র সমদ্বিখণ্ডক $DC$ বাহুকে $R$ বিন্দুতে ছেদ করে। $B, R$ যুক্ত করা হল।
প্রামাণ্য বিষয় : (i) $R, DC$-র মধ্যবিন্দু।
(ii) $BR, \angle A B C$-র সমদ্বিখণ্ডক।
এবং (iii) $\angle \mathrm{ARB}=90^{\circ}$
প্রমাণ : $\angle D A R=\angle R A B\quad$ [$\because A R, \angle B A D$-র সমদ্বিখণ্ডক]
আবার, $\angle \mathrm{RAB}=\angle \mathrm{ARD}\quad$ [$\because A B \| D C$ এবং $AR$ ছেদক, তাই এরা একান্তর কোণ]
$\therefore \angle \mathrm{DAR}=\angle \mathrm{ARD}$
$\therefore \mathrm{DR}=\mathrm{AD}\quad$ [সমান কোণদ্বয়ের বিপরীত বাহুগুলির দৈর্ঘ্য সমান]
বা, $D R=\frac{1}{2} A B\quad[\because A B=2 A D]$
$\therefore D R=\frac{1}{2} D C\quad$ [$\because AB = DC, ABCD$ সামান্তরিকের বিপরীত বাহু]
$\therefore R, DC$-র মধ্যবিন্দু। ($(i)$ নং প্রমাণিত)
আবার, $RC = RD\quad$ [$\because R, DC$-র মধ্যবিন্দু]
বা, $RC = RD = AD$
বা, $RC = AD$
$\therefore RC = BC\quad$ [$\because AD = BC, ABCD$ সামান্তরিকের বিপরীত বাহু]
$\therefore \angle \mathrm{RBC}=\angle \mathrm{BRC}\quad$ [$\because$ ত্রিভুজের সমান সমান বাহুদ্বয়ের বিপরীত কোণদ্বয় পরস্পর সমান হয়]
আবার, $AB \| DC$ এবং $RB$ ছেদক হওয়ায়
$\angle B R C=$ একান্তর $\angle \mathrm{RBA}$
$\therefore \angle \mathrm{BRC}=\angle \mathrm{RBC}=\angle \mathrm{RBA}$
অর্থাৎ, $\angle \mathrm{RBC}=\angle \mathrm{RBA}$
$\therefore BR, \angle A B C$-র সমদ্বিখণ্ডক। ($(ii)$ নং প্রমাণিত)
আবার, $\because ABCD$ একটি সামান্তরিক।
$\therefore \angle \mathrm{DAB}+\angle \mathrm{ABC}=180^{\circ}$
$\quad\quad$[$\because$ সামান্তরিকের সন্নিহিত কোণদ্বয়ের সমষ্টি $180^{\circ}$]
বা, $\frac{1}{2} \angle D A B+\frac{1}{2} \angle A B C=\frac{1}{2} \times 180^{\circ}$
বা, $\angle R A B+\angle R B A=90^{\circ}$
এখন, $\triangle \mathrm{RAB}$-র $\angle \mathrm{RAB}+\angle \mathrm{RBA}+\angle \mathrm{ARB}=180^{\circ}$
$\quad\quad$ [ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি $180^{\circ}$]
বা, $90^{\circ}+\angle \mathrm{ARB}=180^{\circ}$
$\therefore \angle A R B=90^{\circ}\quad$ ($(iii)$ নং প্রমাণিত)

প্রদত্ত : $ABCD$ সামান্তরিকের $AB$ ও $AD$ বাহুর উপর যথাক্রমে $ABPQ$ ও $ADRS$ বর্গাকার চিত্র অঙ্কন করা হল যারা সামান্তরিকটির বাইরে অবস্থিত।
প্রামাণ্য বিষয় : $\triangle \mathrm{PRC}$ সমদ্বিবাহু।
প্রমাণ : যেহেতু, $ABCD$ একটি সামান্তরিক
$\therefore \angle \mathrm{ABC}=\angle \mathrm{ADC}\quad$ [$\because$ সামান্তরিকের বিপরীত কোণদ্বয় সমান]
বা, $\angle A B C+90^{\circ}=\angle \mathrm{ADC}+90^{\circ}$
বা, $\angle A B C+\angle \mathrm{ABP}=\angle \mathrm{ADC}+\angle \mathrm{ADR}$
$\quad\quad$ [$\because ADRS$ ও $ABPQ$ দুটি বর্গাকার চিত্র]
বা, $360^{\circ}-(\angle \mathrm{ABC}+\angle \mathrm{ABP})=360^{\circ}-(\angle \mathrm{ADC}+\angle \mathrm{ADR})$
$\therefore \angle \mathrm{PBC}=\angle \mathrm{RDC}$
এখন, $\triangle \mathrm{PBC}$ ও $\triangle \mathrm{RDC}$-র
$B C=R D\quad[\because B C=A D=R D]$
$B P=D C\quad[\because D C=A B=B P]$
$\angle \mathrm{PBC}=\angle \mathrm{RDC}\quad$ [পূর্বে প্রমাণিত]
$\therefore \triangle \mathrm{PBC} \cong \triangle \mathrm{RDC}\quad$ [$S-A-S$ শর্তানুসারে]
$\therefore PC = RC\quad$ [সর্বসম ত্রিভুজদ্বয়ের অনুরূপ বাহু]
$\because \triangle \mathrm{PRC}$-র $PC = RC,$
$\therefore$ $\triangle \mathrm{PRC}$ সমদ্বিবাহু। (প্রমাণিত)

প্রদত্ত : $ABCD$ একটি সামান্তরিক যার $\angle B A D$ স্থূলকোণ।
$\triangle \mathrm{ABP}$ ও $\triangle \mathrm{ADQ}$ সামান্তরিক $ABCD$-র বাইরের দিকে অবস্থিত দুটি সমবাহু ত্রিভুজ।
প্রামাণ্য বিষয় : $\triangle \mathrm{CPQ}$ সমবাহু ত্রিভুজ।
প্রমাণ : যেহেতু, $ABCD$ একটি সামান্তরিক।
$\therefore \angle A D C=\angle A B C\quad$ [$\because$ সামান্তরিকের বিপরীত কোণদ্বয় সমান]
বা, $\angle A D C+60^{\circ}=\angle \mathrm{ABC}+60^{\circ}$
বা, $\angle A D C+\angle A D Q=\angle A B C+\angle A B P$
$\quad[\because \triangle \mathrm{ADQ}$ ও $\triangle \mathrm{ABP}$ সমবাহু এবং সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি কোণের মান $60^{\circ}]$
বা, $\angle \mathrm{QDC}=\angle \mathrm{PBC}$
এখন, $\triangle \mathrm{PBC}$ ও $\triangle \mathrm{DQC}$-র
$BC = QD\quad$ [$\because B C=A D=Q D ; \triangle A D Q$ সমবাহু এবং $ABCD$ সামান্তরিক]
$\angle \mathrm{PBC}=\angle \mathrm{QDC}\quad$ [পূর্বে প্রমাণিত]
$BP = DC\quad$ [$\because D C=A B=B P ; \triangle A B P$ সমবাহু এবং $ABCD$ সামান্তরিক]
$\therefore \triangle \mathrm{PBC} \cong \triangle \mathrm{DQC}\quad$ [$S-A-S$ শর্তানুসারে]
$\therefore PC = CQ\quad$ [সর্বসম ত্রিভুজদ্বয়ের অনুরূপ বাহু] $\ldots(i)$
এখন $\angle \mathrm{QDC}=\angle \mathrm{QDA}+\angle \mathrm{ADC}$
$=60^{\circ}+180^{\circ}-\angle \mathrm{DAB}$
$\quad\quad$ [$\because \angle \mathrm{ADC}$ ও $\angle D A B, A B C D$ সামান্তরিকের দুটি সন্নিহিত কোণ]
$=240^{\circ}-\left(360^{\circ}-\angle D A Q-\angle Q A P-\angle B A P\right)$
$\quad\quad [ \because A$ কেন্দ্রীয় সকল কোণের সমষ্টি $360^{\circ}]$
$=240^{\circ}-\left(360^{\circ}-60^{\circ}-\angle Q A P-60^{\circ}\right)=\angle Q A P$
এখন, $\triangle \mathrm{QDC}$ ও $\triangle \mathrm{AQP}$-র
$QD = AQ\quad$ [$\because \triangle \mathrm{ADQ}$ সমবাহু এবং $ABCD$ সামান্তরিক]
$\angle \mathrm{QDC}=\angle \mathrm{QAP}\quad$ [পূর্বে প্রমাণিত]
$\mathrm{CD}=\mathrm{AP}\quad$[$\because \mathrm{CD}=\mathrm{AB}=\mathrm{AP}, \triangle \mathrm{ABP}$ সমবাহু]
$\therefore \triangle \mathrm{QDC} \cong \triangle \mathrm{AQP}\quad$ [$S-A-S$ শর্তানুসারে]
$\therefore QC = PQ\quad$ [সর্বসম ত্রিভুজদ্বয়ের অনুরূপ বাহু]$\ldots(ii)$
$(i)$ ও $(ii)$ হতে পাই, $PC = CQ = PQ$
$\therefore \triangle \mathrm{CPQ}$ সমবাহু। (প্রমাণিত)

প্রদত্ত : $OP, OQ$ ও $OR$ তিনটি সরলরেখাংশ।
$OPAQ, OQBR$ এবং $ORCP$ তিনটি সামান্তরিক অঙ্কন করা হল।
প্রামাণ্য বিষয় : $AR, BP$ ও $CQ$ পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
অঙ্কন : $P, R; A, B; R, Q; B, C; P, Q$ এবং $C, A$ যুক্ত করা হল।
প্রমাণ : যেহেতু, $OPAQ$ একটি সামান্তরিক
$\therefore OP = QA$ এবং $OP \| QA\ldots(i)$
আবার, $\because ORCP$ একটি সামান্তরিক
$\therefore OP = RC$ এবং $OP \| RC\ldots(ii)$
$(i)$ ও $(ii)$ হতে পাই, $QA = RC$ এবং $QA \| RC$
$\because RCAQ$ চতুর্ভুজের $QA = RC$ এবং $QA\|RC$
$\therefore RCAQ$ একটি সামান্তরিক। [$\because$ কোনো চতুর্ভুজের একজোড়া বিপরীত বাহু সমান ও সমান্তরাল হলে চতুর্ভুজটি সামান্তরিক হয়।]
$\because$ সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে,
$\therefore RCAQ$ সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় $AR$ ও $CQ$ পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে। $\ldots(iii)$
আবার, $\because OPAQ$ একটি সামান্তরিক
$\therefore PA = OQ$ এবং $PA \| OQ\ldots(iv)$
আবার, $OQBR$ একটি সামান্তরিক
$\therefore OQ = BR$ এবং $OQ \| BR \ldots(v)$
$\therefore (iv)$ ও $(v)$ হতে পাই, $PA = BR$ এবং $PA \| BR$
$\because PRBA$ চতুর্ভুজের $PA = BR$ এবং $PA \| BR$
$\therefore PRBA$ একটি সামান্তরিক।
যার কর্ণদ্বয় $AR$ ও $BP$ পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে। $\ldots(iv)$
অনুরূপে $ORCP$ ও $OQBR$ সামান্তরিক থেকে পাওয়া যায়,
$CP \| BQ$ ও $CP = BQ$
$\therefore PCBQ$ সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় $CQ$ ও $BP$ পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে। $\ldots(vii)$
$\therefore (iii), (vi)$ ও $(vii)$ হতে পাই, $AR, BP$ ও $CQ$ পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে। (প্রমাণিত)

$\angle B A D+\angle A B C=180^{\circ}\quad$ [$\because ABCD$ সামান্তরিক]
বা, $75^{\circ}+\angle \mathrm{DBA}+\angle \mathrm{DBC}=180^{\circ}$
বা, $75^{\circ}+\angle B D C+60^{\circ}=180^{\circ}$
$\quad\quad[\because \angle \mathrm{DBA}=$ একান্তর $\angle B D C]$
বা, $\angle B D C=180^{\circ}-135^{\circ}=45^{\circ}$

আয়তাকার চিত্রের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য সমান।
$\therefore$ আয়তাকার চিত্র

যেহেতু, $ABCD$ সামান্তরিক
$\therefore \angle B A D+\angle A B C=180^{\circ}$
বা, $\angle B A D+\angle B A D=180^{\circ}\quad[\because \angle B A D=\angle A B C]$
বা, $2 \angle B A D=180^{\circ}$
বা, $\angle B A D=90^{\circ}$
যে সামান্তরিকের একটি কোণ $90^{\circ},$ তা একটি আয়তক্ষেত্র।

যেহেতু, $BM$ (বা $BD$), $\angle A B C$-র সমদ্বিখণ্ডক,
$\therefore \angle \mathrm{ABD}=\angle \mathrm{DBC}=\theta$, (ধরি)
আবার, $AD \| BC$ এবং $BD$ ভেদক হওয়ায়
$\angle \mathrm{ADB}=\angle \mathrm{DBC}=\theta$
$\therefore \triangle \mathrm{ABD}$-র $\angle \mathrm{ADB}=\angle \mathrm{ABD}=\theta$
$\therefore A B=A D$
$\therefore ABCD$ সামান্তরিকটি বর্গক্ষেত্র বা রম্বস।
$\because$ রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে এবং $M, BD$-র মধ্যবিন্দু,
$\therefore \angle A M B=90^{\circ}$

যেহেতু, $ABCD$ রম্বস এবং যেহেতু রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
$\therefore \angle \mathrm{DOA}=90^{\circ}$
$\because \angle \mathrm{ACB}=40^{\circ},$
$\therefore \angle \mathrm{DAC}=40^{\circ}$
$\quad [ \because A D \| B C$ ও $AC$ ভেদক
$\quad\quad\therefore \angle \mathrm{ACB}=\angle \mathrm{DAC}$ (একান্তর কোণ)$]$
অর্থাৎ, $\angle \mathrm{DAO}=40^{\circ}$
এখন $\triangle \mathrm{AOD}$-র,
$\angle A O D+\angle D A O+\angle A D O=180^{\circ}$
বা, $90^{\circ}+40^{\circ}+\angle \mathrm{ADB}=180^{\circ}$
বা, $\angle \mathrm{ADB}=180^{\circ}-130^{\circ}=50^{\circ}$

$\angle A: \angle B=3: 2$
ধরি, $\angle \mathrm{A}=3 x$ এবং $\angle B=2 x\quad$(যেখানে $x$ একটি আনুপাতিক ধ্রুবক)
$\because ABCD$ একটি সামান্তরিক
$\therefore 3 x+2 x=180^{\circ}$
বা, $5 x=180^{\circ}$
$\therefore x=36^{\circ}$
$\therefore 3 x^{\circ}=3 \times 36^{\circ}=108^{\circ}$ এবং $2 x^{\circ}=2 \times 36^{\circ}=72^{\circ}$
$\therefore \angle A=\angle C=108^{\circ}$ এবং $\angle B=\angle D=72^{\circ}$

যেহেতু, $\angle D A B$-র সমদ্বিখণ্ডক $AE$
$\therefore \angle \mathrm{DAE}=\angle \mathrm{EAB}=\theta$ (ধরি)$\ldots(1)$
আবার, $AB \| DC$ এবং $AE$ ভেদক হওয়ায়
$\angle \mathrm{DEA}=\angle \mathrm{BAE}=\theta\ldots(2)$
$(1)$ ও $(2)$ থেকে পাই, $\angle \mathrm{DAE}=\angle \mathrm{EAB}=\angle \mathrm{DEA}=\theta$
$\therefore \triangle \mathrm{DAE}$ সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ
অর্থাৎ, $AD = DE$
বা, $D E=B C\quad[\because A D=B C]$
বা, $DE = 2$ সেমি $\quad$[$\because BC = 2$ সেমি]
একইভাবে পাওয়া যায়, $EC = 2$ সেমি
$\therefore \mathrm{DC}=\mathrm{DE}+\mathrm{EC}=(2+2)$ সেমি $= 4$ সেমি $= AB$
$\quad\quad[\because ABCD$ সামান্তরিক তাই $DC = AB]$
$\therefore$ $AB$-র দৈর্ঘ্য $4$ সেমি।

যেহেতু, $ABCD$ একটি বর্গাকার চিত্র, $\angle A B C=90^{\circ}$
আবার $\because \triangle \mathrm{AOB}$ সমবাহু
$\therefore \angle \mathrm{OBA}=60^{\circ}$
$\therefore \angle O B C=\angle A B C-\angle O B A=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}$
$A B=O B=C B\quad$ [$\because \triangle A O B$ সমবাহু ও $ABCD$ বর্গক্ষেত্র]
$\because \triangle O B C$-র $OB=BC,$
$\therefore \angle O C B=\angle B O C$
$\therefore \triangle \mathrm{OBC}$-র $\angle O B C+\angle O C B+\angle B O C=180^{\circ}$
বা, $30^{\circ}+\angle B O C+\angle B O C=180^{\circ}\quad[\because \angle O C B=\angle B O C]$
বা, $2 \angle B O C=150^{\circ}$
$\therefore \angle B O C=75^{\circ}$
একইভাবে প্রমাণ করা যায় যে, $\angle A O D=75^{\circ}$
$\therefore \angle C O D=360^{\circ}-(\angle B O C+\angle A O B+\angle A O D)$
$=360^{\circ}-\left(75^{\circ}+60^{\circ}+75^{\circ}\right)$
$\quad[\because \angle A O B=60^{\circ}, \triangle A O B$ সমবাহু ত্রিভুজের একটি অন্তঃকোণ$]$
$=360^{\circ}-210^{\circ}=150^{\circ}$
$\therefore \angle C O D=150^{\circ}$

যেহেতু, $ABCD$ একটি বর্গাকার চিত্র
$\therefore \angle \mathrm{ADC}(=\angle \mathrm{MDC})=90^{\circ}$
এখন $\triangle \mathrm{MDC}$-র,
$\angle \mathrm{MDC}+\angle \mathrm{CMD}+\angle \mathrm{MCD}=180^{\circ}$
বা, $90^{\circ}+30^{\circ}+\angle \mathrm{MCD}=180^{\circ}$
$\therefore \angle \mathrm{PCD}=60^{\circ}$
$\because BD, ABCD$ বর্গাকার চিত্রের একটি কর্ণ
$\therefore \angle \mathrm{BDC}=\angle \mathrm{PDC}=\frac{1}{2} \angle \mathrm{ADC}$
$=\frac{1}{2} \times 90^{\circ}=45^{\circ}$
এখন $\triangle \mathrm{PDC}$-র, $\angle \mathrm{PDC}+\angle \mathrm{PCD}+\angle \mathrm{DPC}=180^{\circ}$
বা, $45^{\circ}+60^{\circ}+\angle D P C=180^{\circ}$
বা, $\angle D P C=180^{\circ}-105^{\circ}=75^{\circ}$

যেহেতু, $ABCD$ একটি রম্বস,
$\therefore BC=CD$
বা, $\angle \mathrm{CDB}=\angle \mathrm{CBD}=\theta$, (ধরি)
এখন $\triangle \mathrm{BCD}$-র
$\angle \mathrm{CDB}+\angle \mathrm{CBD}+\angle \mathrm{BCD}=180^{\circ}$
বা, $\theta+\theta+60=180^{\circ}\quad[\because \angle B C D=60^{\circ},$ প্রদত্ত$]$
বা, $2 \theta=120^{\circ}$
$\therefore \theta=60^{\circ}$
$\therefore \triangle B C D$-র $\angle \mathrm{BCD}=\angle \mathrm{CDB}=\angle \mathrm{CBD}=60^{\circ}$
$\therefore \triangle \mathrm{BCD}$ সমবাহু,
$\therefore B C=C D=B D$
$\because ABCD$ রম্বসের প্রতিটি বাহু অর্থাৎ
$AB = BC = CD = DA = 4$ সেমি
$\therefore BD=4$ সেমি
$\therefore BD$ কর্ণের দৈর্ঘ্য $4$ সেমি।