West Bengal Board Class 9 Math Solution Chapter 5.7|Class 9 Solution koshe dekhi 5.7|রৈখিক সহ সমীকরণ (দুই চল বিশিষ্ট)|WBBSE Class 9 Math koshe dekhi 5.7|Ganit Prakash Class 9 Solution kosi dakhi 5.7|Ganit Prakash Solution Class 9 In Bengali|গণিত প্রকাশ সমাধান নবম শ্রেণী|গণিত প্রকাশ সমাধান রৈখিক সহ সমীকরণ (দুই চল বিশিষ্ট) ৯ কষে দেখি 5.7|West Bengal Board Class 9 Math Solution Chapter 5.7
Share this page using :
Class 9 Chapter 5|Ganit Prakash Class 9 Solution|West Bengal Board Class 9 Math|Class 9 Chapter 5 kosi dakhi 5.7|নবম শ্রেণী কষে দেখি 5.7|রৈখিক সহ সমীকরণ (দুই চল বিশিষ্ট)
কষে দেখি - 5.7
Class 9 Chapter 5|Ganit Prakash Class 9 Solution|West Bengal Board Class 9 Math|Class 9 Chapter 5 kosi dakhi 5.7|নবম শ্রেণী কষে দেখি 5.7|রৈখিক সহ সমীকরণ (দুই চল বিশিষ্ট)
1. আমাদের স্কুলের পাশের বই-এর দোকান থেকে আমার বন্ধু রীতা 34 টাকার 5 টি পেন ও 3টি পেনসিল কিনেছে। কিন্তু সুমিত ওই একই দোকান থেকে একই দামে 7টি পেন ও 6টি পেনসিল 53 টাকায় কিনেছে। আমি সহসমীকরণ গঠন করে প্রতিটি পেন ও প্রতিটি পেনসিলের দাম হিসাব করে লিখি?
সমাধান : মনে করি, একটি পেনের মূল্য = x টাকা
একটি টি পেনসিলের = y টাকা
5x+3y−34=0
7x+6y−53=0
বজ্রগুণন পদ্ধতিতে পাই,
x−159+204=y−238+265=130−21
বা, x45=y27=19
∴x=459=5,y=279=3
∴ একটি পেনের মূল্য 5 টাকা ও একটি পেনসিলের মূল্য 3 টাকা।
একটি টি পেনসিলের = y টাকা
5x+3y−34=0
7x+6y−53=0
বজ্রগুণন পদ্ধতিতে পাই,
x−159+204=y−238+265=130−21
বা, x45=y27=19
∴x=459=5,y=279=3
∴ একটি পেনের মূল্য 5 টাকা ও একটি পেনসিলের মূল্য 3 টাকা।
2. আমার বন্ধু আয়েশা ও রফিকের ওজন একত্রে 85 কি.গ্রা। আয়েশার ওজন অর্ধেক রফিকের ওজনের 49 অংশের সমান হলে, সহ-সমীকরণ গঠন করে তাদের পৃথকভাবে ওজন হিসাব করে লিখি।
সমাধান : মনে করি, আয়েশার ওজন x কিগ্রা, রফিকের ওজন y কিগ্রা,
∴x+y=85
বা, x+y−85=0
x2=4y9
বা, 9x=8y
9x−8y−0=0
বজ্রগুণন পদ্ধতিতে পাই,
x−680=y−765=1−8−9
∴x=68017=40,y=76517=45
∴আয়েশার ওজন 40 কিগ্রা. ও রফিকের ওজন 45 কিগ্রা
∴x+y=85
বা, x+y−85=0
x2=4y9
বা, 9x=8y
9x−8y−0=0
বজ্রগুণন পদ্ধতিতে পাই,
x−680=y−765=1−8−9
∴x=68017=40,y=76517=45
∴আয়েশার ওজন 40 কিগ্রা. ও রফিকের ওজন 45 কিগ্রা
3. আমার কাকাবাবুর বর্তমান বয়স আমার বোনের বর্তমান বয়সের দ্বিগুণ। 10 বছর আগে আমার কাকাবাবুর বয়স আমার বোনের বয়সের তিনগুণ ছিল। সহসমীকরণ গঠন করে তাদের বর্তমান বয়স পৃথকভাবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান : মনে করি, কাকাবাবুর বর্তমান বয়স = x বছর।
ও বোনের বর্তমান বয়স = y বছর।
প্রথম শর্তানুসারে,
x=2y.........(i)
10 বছর আগে আমার কাকার বয়স(x−10)ও আমার বোনের বয়স (y−10)বছর ছিল।
দ্বিতীয় শর্তানুসারে,
x−10=3(y−10)
বা, x−10=3y−30
বা, x=3y−30+10
∴x=3y−20........(ii) (i) ও (ii) সমীকরণ হতে x-এর মান তুলনা করে পাই,
2y=3y−20
বা, 2y−3y=20
বা, −y=−20
বা, y=20
(i) নং সমীকরণে x -এর মান বসিয়ে পাই,
x=2×20=40
∴ কাকাবাবুর বর্তমান বয়স =40 বছর
ও বোনের বর্তমান বয়স = 20 বছর।
ও বোনের বর্তমান বয়স = y বছর।
প্রথম শর্তানুসারে,
x=2y.........(i)
10 বছর আগে আমার কাকার বয়স(x−10)ও আমার বোনের বয়স (y−10)বছর ছিল।
দ্বিতীয় শর্তানুসারে,
x−10=3(y−10)
বা, x−10=3y−30
বা, x=3y−30+10
∴x=3y−20........(ii) (i) ও (ii) সমীকরণ হতে x-এর মান তুলনা করে পাই,
2y=3y−20
বা, 2y−3y=20
বা, −y=−20
বা, y=20
(i) নং সমীকরণে x -এর মান বসিয়ে পাই,
x=2×20=40
∴ কাকাবাবুর বর্তমান বয়স =40 বছর
ও বোনের বর্তমান বয়স = 20 বছর।
4. আমাদের গ্রামের দেবকুমারকাকু 590 টাকার একটি চেক ব্যাঙ্ক থেকে ভাঙালেন। তিনি যদি ব্যাঙ্ক থেকে পাঁচ টাকার মোট 70 খানা নোট পেয়ে থাকেন, তবে তিনি ব্যাঙ্ক থেকে কতগুলি পাঁচ টাকার নোট ও কতগুলি দশ টাকার নোট পেলেন হিসাব করে লিখি।
মনে করি, 5 টাকার নোট পেয়েছেন x টি ও 10 টাকা নোট পেয়েছেন y টি, x টি 5 টাকার নোটের মূল্য 5x টাকা ও y টি 10 টাকার নোটের মূল্য 10y টাকা।
প্রথম শর্তানুসারে, 5x+10y=590
বা, x+2y=118∴x=118−2y…(i)
দ্বিতীয় শর্তানুসারে, x+y=70∴x=70−y…(ii)
(i) ও (ii) নং সমীকরণ হতে x-এর মান তুলনা করে পাই,
118−2y=70−y
বা, −2y+y=70−118
বা, −y=−48
বা, y = 48
(ii) নং সমীকরণে y-র মান বসিয়ে পাই,
x=70−48=22
∴ তিনি ব্যাংক থেকে 22 টি 5 টাকার নোট ও 48 টি 10 টাকার নোট পেয়েছিলেন।
প্রথম শর্তানুসারে, 5x+10y=590
বা, x+2y=118∴x=118−2y…(i)
দ্বিতীয় শর্তানুসারে, x+y=70∴x=70−y…(ii)
(i) ও (ii) নং সমীকরণ হতে x-এর মান তুলনা করে পাই,
118−2y=70−y
বা, −2y+y=70−118
বা, −y=−48
বা, y = 48
(ii) নং সমীকরণে y-র মান বসিয়ে পাই,
x=70−48=22
∴ তিনি ব্যাংক থেকে 22 টি 5 টাকার নোট ও 48 টি 10 টাকার নোট পেয়েছিলেন।
5. আমি স্কুলের ব্ল্যাকবোর্ডে এমন একটি প্রকৃত ভগ্নাংশ লিখব যার হরটি লব অপেক্ষা 5 বেশি ও লব ও হরের সঙ্গে যদি 3 যোগ করি তবে ভগ্নাংশটি 34 হবে। সহসমীকরণ গঠন করি ও সমাধান করে প্রকৃত ভগ্নাংশটি ব্ল্যাকবোর্ডে লিখি।
মনে করি, প্রকৃত ভগ্নাংশ টির লব x এবং হর y;
∴ প্রকৃত ভগ্নাংশটি xy
প্রথম শর্তানুসারে, y=x+5…(i)
দ্বিতীয় শর্তানুসারে, x+3y+3=34
বা, 3y+9=4x+12
বা, 3y=4x+12−9
বা, 3y=4x+3∴y=4x+33…(ii)
(i) ও (ii) নং সমীকরণ হতে y-এর মান তুলনা করে পাই,
x+5=4x+33
বা, 4x+3=3x+15
বা, 4x−3x=15−3
বা, x=12
(i) নং সমীকরণে x-এর মান বসিয়ে পাই,
y=12+5=17
∴ প্রকৃত ভগ্নাংশটি 1217
∴ প্রকৃত ভগ্নাংশটি xy
প্রথম শর্তানুসারে, y=x+5…(i)
দ্বিতীয় শর্তানুসারে, x+3y+3=34
বা, 3y+9=4x+12
বা, 3y=4x+12−9
বা, 3y=4x+3∴y=4x+33…(ii)
(i) ও (ii) নং সমীকরণ হতে y-এর মান তুলনা করে পাই,
x+5=4x+33
বা, 4x+3=3x+15
বা, 4x−3x=15−3
বা, x=12
(i) নং সমীকরণে x-এর মান বসিয়ে পাই,
y=12+5=17
∴ প্রকৃত ভগ্নাংশটি 1217
6. মারিয়া তার খাতায় দুটি এমন সংখ্যা লিখেছে যে প্রথম সংখ্যার সঙ্গে 21 যোগ করলে তা দ্বিতীয় সংখ্যার দ্বিগুণ হয়। আবার দ্বিতীয় সংখ্যার সঙ্গে 12 যোগ করলে তা প্রথম সংখ্যার দ্বিগুণ হয়। হিসাব করে মারিয়ার লেখা সংখ্যা দুটি লিখি? ।
মনে করি, প্রথম সংখ্যাটি x এবং দ্বিতীয় সংখ্যাটি y
প্রথম শর্তানুসারে, x+21=2y
∴x=2y−21…(i)
দ্বিতীয় শর্তানুসারে, y+12=2x
বা, y+122=x∴x=y+122…(ii)
(i) ও (ii) নং সমীকরণ হতে x-এর মান তুলনা করে পাই,
2y−21=y+122
বা, 4y−42=y+12
বা, 4y−y=12+42
বা, 3y=54
বা, y=54183=18
(i) নং সমীকরণে y-এর মান বসিয়ে পাই,
x=2×18−21=36−21=15
∴ প্রথম সংখ্যা 15 এবং দ্বিতীয় সংখ্যা 18
প্রথম শর্তানুসারে, x+21=2y
∴x=2y−21…(i)
দ্বিতীয় শর্তানুসারে, y+12=2x
বা, y+122=x∴x=y+122…(ii)
(i) ও (ii) নং সমীকরণ হতে x-এর মান তুলনা করে পাই,
2y−21=y+122
বা, 4y−42=y+12
বা, 4y−y=12+42
বা, 3y=54
বা, y=54183=18
(i) নং সমীকরণে y-এর মান বসিয়ে পাই,
x=2×18−21=36−21=15
∴ প্রথম সংখ্যা 15 এবং দ্বিতীয় সংখ্যা 18
7. লালিমা ও রমেন দুজনেই তাদের বাড়ির বাগান পরিষ্কার করে। লালিমা 4 দিন ও রমেন 3 দিন একসঙ্গে বাগান পরিষ্কার করলে কাজটির 23 অংশ সম্পন্ন হয়। আবার লালিমা 3 দিন ও রমেন 6 দিন একসঙ্গে বাগান পরিষ্কার করলে 1112 অংশ সম্পন্ন হয়। সহসমীকরণ গঠন করি এবং সমাধান করে লালিমা ও রমেন পৃথকভাবে কাজটি করলে কতদিনে শেষ করবে হিসাব করে লিখি।
মনে করি, লালিমা ও রমেন পৃথকভাবে কাজ করলে যথাক্রমে x দিনে ও y দিনে কাজটি শেষ করতে পারে।
লালিমা 4 দিন করে 4x অংশ
এবং রমেন 3 দিনে করে 3y অংশ
প্রথম শর্তানুসারে, 4x+3y=23
বা, 4x=23−3y
বা, 4x=2y−93y∴1x=2y−912y…(i)
আবার, লালিমা 3 দিনে করে 3x অংশ
এবং রমেন 6 দিনে করে 6y অংশ।
দ্বিতীয় শর্তানুসারে, 3x+6y=1112
বা, 3x=1112−6y
বা, 3x=11y−7212y
∴1x=11y−7236y…(ii)
(i) ও (ii) নং সমীকরণ হতে 1x-এর মান তুলনা করে পাই,
2y−912y=11y−7236y
বা, 2y−91=11y−723
বা, 11y−72=6y−27
বা, 11y−6y=72−27
বা, 5y=45
বা, y=4595=9
(i) নং সমীকরণে y-এর মান বসিয়ে পাই,
1x=2×9−912×9=g12×8=112
বা, x=12
∴ লালিমা পৃথকভাবে 12 দিনে ও রমেন পৃথকভাবে 9 দিনে কাজ করতে পারে।
লালিমা 4 দিন করে 4x অংশ
এবং রমেন 3 দিনে করে 3y অংশ
প্রথম শর্তানুসারে, 4x+3y=23
বা, 4x=23−3y
বা, 4x=2y−93y∴1x=2y−912y…(i)
আবার, লালিমা 3 দিনে করে 3x অংশ
এবং রমেন 6 দিনে করে 6y অংশ।
দ্বিতীয় শর্তানুসারে, 3x+6y=1112
বা, 3x=1112−6y
বা, 3x=11y−7212y
∴1x=11y−7236y…(ii)
(i) ও (ii) নং সমীকরণ হতে 1x-এর মান তুলনা করে পাই,
2y−912y=11y−7236y
বা, 2y−91=11y−723
বা, 11y−72=6y−27
বা, 11y−6y=72−27
বা, 5y=45
বা, y=4595=9
(i) নং সমীকরণে y-এর মান বসিয়ে পাই,
1x=2×9−912×9=g12×8=112
বা, x=12
∴ লালিমা পৃথকভাবে 12 দিনে ও রমেন পৃথকভাবে 9 দিনে কাজ করতে পারে।
8. আমার মা দু-ধরনের শরবত তৈরি করেছেন। প্রথম ধরনের 100 লিটার শরবতে 5 কিগ্রা. চিনি ও দ্বিতীয় ধরনের 100 লিটার শরবতে 8 কিগ্রা চিনি আছে। আমি দু’ধরনের শরবত মিশিয়ে 150 লিটার শরবত তৈরি করব, যাতে চিনি থাকবে 923 কিগ্রা.। সহসমীকরণ গঠন করে হিসাব করে দেখি 150 লিটার শরবতে দু-ধরনের শরবত কতটা পরিমাণ মেশাব।
মনে করি, প্রথম প্রকারের x লিটার শরবতের সহিত দ্বিতীয় প্রকারের y লিটার শরবত মেশানো হল।
প্রথম শর্তানুসারে, 5x100+8y100=923
বা, 5x+8y100=293
∴15x+24y=2900…(i)
দ্বিতীয় শর্তানুসারে, x+y=150
∴x=150−y…(ii)
(i) নং সমীকরণে x-এর পরিবর্তে (150−y) বসিয়ে পাই,
15(150−y)+24y=2900
বা, 2250−15y+24y=2900
বা, 9y=2900−2250
বা, y=6509=7229
(ii) নং সমীকরণে y=6509 বসিয়ে পাই,
x=150−6509=1350−6509
=7009=7779
∴ প্রথম প্রকারের 7779 লিটার শরবত এর সহিত দ্বিতীয় প্রকার 7229f লিটার শরবত মেশানো হয়েছিল।
প্রথম শর্তানুসারে, 5x100+8y100=923
বা, 5x+8y100=293
∴15x+24y=2900…(i)
দ্বিতীয় শর্তানুসারে, x+y=150
∴x=150−y…(ii)
(i) নং সমীকরণে x-এর পরিবর্তে (150−y) বসিয়ে পাই,
15(150−y)+24y=2900
বা, 2250−15y+24y=2900
বা, 9y=2900−2250
বা, y=6509=7229
(ii) নং সমীকরণে y=6509 বসিয়ে পাই,
x=150−6509=1350−6509
=7009=7779
∴ প্রথম প্রকারের 7779 লিটার শরবত এর সহিত দ্বিতীয় প্রকার 7229f লিটার শরবত মেশানো হয়েছিল।
9. গত বছরে বকুলতলা গ্রাম পঞ্চায়েত নির্বাচনে অখিলবাবু ও ছন্দাদেবী প্রার্থী ছিলেন। অখিলবাবু ছন্দাদেবীকে 75 ভোটে পরাজিত করলেন। অখিলবাবুকে যারা ভোট দিয়েছেন তাঁদের 20% যদি ছন্দাদেবীকে ভোট দিতেন, তাহলে ছন্দাদেবী 19 ভোটে জিততে পারতেন। সহসমীকরণ গঠন করে সমাধান করে দেখি, কে কত ভোট পেয়েছেন।
মনে করি, অখিলবাবুর প্রাপ্ত ভোট x টি এবং ছন্দা দেবীর প্রাপ্ত ভোট y টি।
প্রথম শর্তানুসারে, x−y=75∴x=75+y…(i)
অখিল বাবুর ভোটের 20%=(x এর 20100) টি =x5 টি
দ্বিতীয় শর্তানুসারে, (y+x5)−(x−x5)=19…(ii)
বা, y+x5+x5−x=19
বা, 5y+x+x−5x5=19
বা, 5y−3x=95
বা, 5y−3(75+y)=95
[x এর পরিবর্তে (75 + y) বসিয়ে পাই]
বা, 5y−225−3y=95
বা, 2y=320
বা, y=160
(i) নং সমীকরণে y-এর মান বসিয়ে পাই,
বা, x=160+75=235
∴ অখিলবাবু ভোট পায় 235 টি ও ছন্দাদেবী ভোট পায় 160 টি।
প্রথম শর্তানুসারে, x−y=75∴x=75+y…(i)
অখিল বাবুর ভোটের 20%=(x এর 20100) টি =x5 টি
দ্বিতীয় শর্তানুসারে, (y+x5)−(x−x5)=19…(ii)
বা, y+x5+x5−x=19
বা, 5y+x+x−5x5=19
বা, 5y−3x=95
বা, 5y−3(75+y)=95
[x এর পরিবর্তে (75 + y) বসিয়ে পাই]
বা, 5y−225−3y=95
বা, 2y=320
বা, y=160
(i) নং সমীকরণে y-এর মান বসিয়ে পাই,
বা, x=160+75=235
∴ অখিলবাবু ভোট পায় 235 টি ও ছন্দাদেবী ভোট পায় 160 টি।
10. রফিকদের আয়তক্ষেত্রাকার মেঝের দৈর্ঘ্য 2 মিটার ও প্রস্থ 3 মিটার বৃদ্ধি করলে ক্ষেত্রফল 75 বর্গমিটার বৃদ্ধি পায়। কিন্তু দৈর্ঘ্য 2মিটার হ্রাস ও প্রস্থ 3 মিটার বৃদ্ধি করলে ক্ষেত্রফল 15 বর্গমিটার বৃদ্ধি পায়। সহসমীকরণ গঠন করে রফিকদের মেঝের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ নির্ণয় করো।
মনে করি, রফিকদের আয়তক্ষেত্রাকার মেঝের দৈর্ঘ্য x মিটার ও প্রস্থ y মিটার।
∴ মেঝের ক্ষেত্রফল xy বর্গমিটার।
প্রথম শর্তানুসারে, (x+2)(y+3)=xy+75
বা, xy+3x+2y+6=xy+75
বা, 3x=xy+75−xy−2y−6
বা, 3x=69−2y∴x=69−2y3…(i)
দ্বিতীয় শর্তানুসারে, (x−2)(y+3)=xy+15
বা, xy+3x−2y−6=xy+15
বা, 3x=xy+15−xy+2y+6
বা, 3x=21+2y∴x=21+2y3…(ii)
(i) ও (ii) নং সমীকরণ হতে x-এর মান তুলনা করে পাই,
69−2y3=21+2y3
বা, 69−2y=21+2y
বা, 69−21=2y+2y
বা, 48=4y
বা, y=484=12
(ii) নং সমীকরণে y-এর মান বসিয়ে পাই,
x=21+2×123=21+243=45153=15
∴ রফিকদের আয়তাকার মেঝের দৈর্ঘ্য 15 মিটার ও প্রস্থ 12 মিটার।
∴ মেঝের ক্ষেত্রফল xy বর্গমিটার।
প্রথম শর্তানুসারে, (x+2)(y+3)=xy+75
বা, xy+3x+2y+6=xy+75
বা, 3x=xy+75−xy−2y−6
বা, 3x=69−2y∴x=69−2y3…(i)
দ্বিতীয় শর্তানুসারে, (x−2)(y+3)=xy+15
বা, xy+3x−2y−6=xy+15
বা, 3x=xy+15−xy+2y+6
বা, 3x=21+2y∴x=21+2y3…(ii)
(i) ও (ii) নং সমীকরণ হতে x-এর মান তুলনা করে পাই,
69−2y3=21+2y3
বা, 69−2y=21+2y
বা, 69−21=2y+2y
বা, 48=4y
বা, y=484=12
(ii) নং সমীকরণে y-এর মান বসিয়ে পাই,
x=21+2×123=21+243=45153=15
∴ রফিকদের আয়তাকার মেঝের দৈর্ঘ্য 15 মিটার ও প্রস্থ 12 মিটার।
11. আমার বন্ধু মেরি ঈশানকে বলল, তোমার টাকার 13 আমায় দাও তাহলে আমার 200 টাকা হবে। ঈশান মেরিকে বলল, তোমার টাকার অর্ধেক আমাকে দিলে আমার 200 টাকা হবে। সহসমীকরণ গঠন করে হিসাব করে দেখি কার কাছে কত টাকা আছে?
মনে করি, মেরির কাছে x টাকা এবং ঈশানের কাছে y টাকা আছে।
প্রথম শর্তানুসারে, x+y3=200
বা, 3x+y=600∴y=600−3x…(i)
দ্বিতীয় শর্তানুসারে, y+x2=200
বা, 2y+x=400
বা, 2y=400−x∴y=400−x2
(i) ও (ii) নং সমীকরণ হতে y-এর মান তুলনা করে পাই,
600−3x=400−x2
বা, 1200−6x=400−x
বা, 1200−400=−x+6x
বা, 800=5x
বা, x=8005=160
(i) নং সমীকরণে x-এর মান বসিয়ে পাই,
y=600−3×160=600−480=120
∴ মেরির কাছে আছে 160 টাকা ও ঈশানের কাছে আছে 120 টাকা।
প্রথম শর্তানুসারে, x+y3=200
বা, 3x+y=600∴y=600−3x…(i)
দ্বিতীয় শর্তানুসারে, y+x2=200
বা, 2y+x=400
বা, 2y=400−x∴y=400−x2
(i) ও (ii) নং সমীকরণ হতে y-এর মান তুলনা করে পাই,
600−3x=400−x2
বা, 1200−6x=400−x
বা, 1200−400=−x+6x
বা, 800=5x
বা, x=8005=160
(i) নং সমীকরণে x-এর মান বসিয়ে পাই,
y=600−3×160=600−480=120
∴ মেরির কাছে আছে 160 টাকা ও ঈশানের কাছে আছে 120 টাকা।
Class 9 Chapter 5|Ganit Prakash Class 9 Solution|West Bengal Board Class 9 Math|Class 9 Chapter 5 kosi dakhi 5.7|নবম শ্রেণী কষে দেখি 5.7|রৈখিক সহ সমীকরণ (দুই চল বিশিষ্ট)
12. আজ দাদা ও তার কিছু বন্ধুরা এক সাথে মেলায় যাবে। তাই আমার দাদু তাদের মধ্যে কিছু টাকা সমান ভাগে ভাগ করে দিলেন। দেখছি, যদি 2 জন বন্ধু কম থাকত তবে প্রত্যেকে 18 টাকা পেত। আবার যদি 3 জন বন্ধু বেশি থাকত তবে প্রত্যেকে 12 টাকা পেত। দাদারা কতজন মেলায় গিয়েছিল এবং দাদু মোট কত টাকা ওদের মধ্যে সমান ভাগে ভাগ করে দিয়েছিলেন হিসাব করে লিখি?
মনে করি, মেলায় গিয়েছিল x জন এবং দাদু মোট y টাকা দিয়েছিলেন। যদি 2 জন বন্ধু কম থাকত তবে y টাকা (x–2) জনের মধ্যে সমান ভাগে ভাগ করে দিলে প্রত্যেকে পেত yx−2 টাকা করে।
∴ প্রথম শর্তানুসারে, yx−2=18∴y=18(x−2)…(i)
আবার যদি 3 জন বন্ধু বেশি থাকতো তবে y টাকা (x+3) জনের মধ্যে সমানভাগে ভাগ করে দিলে প্রত্যেকে পেত yx+3 টাকা করে।
দ্বিতীয় শর্তানুসারে, yx+3=12∴y=12(x+3)…(ii)
(i) নং ও (ii) নং সমীকরণ হতে y-এর মান তুলনা করে পাই,
বা, 18(x−2)=12(x+3)
বা, 3(x−2)=2(x+3)
বা, 3x−6=2x+6
বা, 3x−2x=6+6
বা, x=12
(i) নং সমীকরণে x-এর মান বসিয়ে পাই,
y=18(12−2)=18×10=180
∴ দাদার বন্ধুরা ছিল 12 জন এবং দাদু মোট 180 টাকা দিয়েছিলেন।
∴ প্রথম শর্তানুসারে, yx−2=18∴y=18(x−2)…(i)
আবার যদি 3 জন বন্ধু বেশি থাকতো তবে y টাকা (x+3) জনের মধ্যে সমানভাগে ভাগ করে দিলে প্রত্যেকে পেত yx+3 টাকা করে।
দ্বিতীয় শর্তানুসারে, yx+3=12∴y=12(x+3)…(ii)
(i) নং ও (ii) নং সমীকরণ হতে y-এর মান তুলনা করে পাই,
বা, 18(x−2)=12(x+3)
বা, 3(x−2)=2(x+3)
বা, 3x−6=2x+6
বা, 3x−2x=6+6
বা, x=12
(i) নং সমীকরণে x-এর মান বসিয়ে পাই,
y=18(12−2)=18×10=180
∴ দাদার বন্ধুরা ছিল 12 জন এবং দাদু মোট 180 টাকা দিয়েছিলেন।
13. আমার দাদার একটি থলিতে 1 টাকার মুদ্রা ও 50 পয়সার মুদ্রা মিলিয়ে মোট 350 টাকা আছে। আমার বোন ওই টাকার থলি থেকে এক তৃতীয়াংশ 50 পয়সা বের করে তার জায়গায় সমসংখ্যক 1 টাকার মুদ্রা রেখে দিল এবং এখন ওই থলিতে মোট টাকার পরিমান 400 টাকা হলো। প্রথমে দাদার থলিতে আলাদাভাবে 1 টাকার মুদ্রা ও 50 পয়সার মুদ্রা কতগুলি ছিল হিসাব করে লিখি?
মনে করি, ওই থলিতে 1 টাকার মুদ্রা ছিল x টি যার মূল্য x টাকা এবং 50 পয়সার মুদ্রা ছিল y টি যার মূল্য y2 টাকা।
প্রথম শর্তানুসারে, x+y2=350
বা, x=350−y2∴x=700−y2…(i)
আমার বোন ওই থলি থেকে এক-তৃতীয়াংশ 50 পয়সার মুদ্রা বের করে নিলে এখন ঐ থলিতে 50 পয়সার মুদ্রার সংখ্যা হয় (y−y3) টি যার মূল্য 12(y−y3) টাকা। এইবার সমসংখ্যক 1 টাকার মুদ্রা ওই থলিতে রাখলে এখন থলিতে 1 টাকার মুদ্রার সংখ্যা হয় (x+y3) টি যার মূল্য (x+y3) টাকা।
দ্বিতীয় শর্তানুসারে, 12(y−y3)+(x+y3)=400
বা, y−y3+2x+2y3=800
বা, 2x=800+y3−2y3−y
বা, 2x=2400+y−2y−3y3
বা, x=2400−4y6
বা, x=2(1200−2y)σ3∴x=1200−2y3…(ii)
(i) ও (ii) নং সমীকরণ হতে x-এর মান তুলনা করে পাই,
700−y2=1200−2y3
বা, 2100−3y=2400−4y
বা, −3y+4y=2400−2100
বা, y=300
(i) নং সমীকরণে y-এর মান বসিয়ে পাই,
x=700−3002=4002=200
∴ থলিতে 1 টাকার মুদ্রা 200 টি ও 50 পয়সার মুদ্রা 300 টি ছিল।
প্রথম শর্তানুসারে, x+y2=350
বা, x=350−y2∴x=700−y2…(i)
আমার বোন ওই থলি থেকে এক-তৃতীয়াংশ 50 পয়সার মুদ্রা বের করে নিলে এখন ঐ থলিতে 50 পয়সার মুদ্রার সংখ্যা হয় (y−y3) টি যার মূল্য 12(y−y3) টাকা। এইবার সমসংখ্যক 1 টাকার মুদ্রা ওই থলিতে রাখলে এখন থলিতে 1 টাকার মুদ্রার সংখ্যা হয় (x+y3) টি যার মূল্য (x+y3) টাকা।
দ্বিতীয় শর্তানুসারে, 12(y−y3)+(x+y3)=400
বা, y−y3+2x+2y3=800
বা, 2x=800+y3−2y3−y
বা, 2x=2400+y−2y−3y3
বা, x=2400−4y6
বা, x=2(1200−2y)σ3∴x=1200−2y3…(ii)
(i) ও (ii) নং সমীকরণ হতে x-এর মান তুলনা করে পাই,
700−y2=1200−2y3
বা, 2100−3y=2400−4y
বা, −3y+4y=2400−2100
বা, y=300
(i) নং সমীকরণে y-এর মান বসিয়ে পাই,
x=700−3002=4002=200
∴ থলিতে 1 টাকার মুদ্রা 200 টি ও 50 পয়সার মুদ্রা 300 টি ছিল।
14. আজ মামার বাড়ি যাব। তাই একটি মোটরগাড়ি আমাদের বাড়ি থেকে সমবেগে মামার বাড়ির দিকে রওনা দিল। যদি গাড়িটির গতিবেগ ঘণ্টায় 9 কিমি. বেশি হতো তবে ওই পথ অতিক্রম করতে তার 3 ঘণ্টা সময় কম লাগত। আবার গতিবেগ যদি ঘণ্টায় 6 কিমি. কম হতো তবে ওই পথ অতিক্রম করতে তার 3 ঘণ্টা বেশি সময় লাগত। আমাদের বাড়ি থেকে মামার বাড়ির দূরত্ব ও গাড়ির গতিবেগ ঘণ্টায় কত কিমি. ছিল হিসাব করে লিখি?
মনে করি, আমাদের বাড়ি থেকে মামার বাড়ির দূরত্ব x কিমি এবং মোটর গাড়ির গতিবেগ y কিমি / ঘণ্টা।
∴ মামার বাড়ি যাবার স্বাভাবিক সময় xy ঘণ্টা।
প্রথম শর্তানুসারে, xy+9=xy−3
বা, xy+9−xy=−3
বা, x(1y+9−1y)=−3
বা, x⋅[y−y−9y(y+9)]=−3
বা, x=−3y(y+9)−9
∴x=13y(y+9)…(i)
দ্বিতীয় শর্তানুসারে, xy−6=xy+3
বা, xy−6−xy=3
বা, x(1y−6−1y)=3
বা, x.y−y+6y(y−6)=3
বা, x=3y(y−6)6
∴x=12y(y−6)…(ii)
(i) ও (ii) নং সমীকরণ হতে x-এর মান তুলনা করে পাই,
y(y+9)3=y(y−6)2
বা, y+93=y−62[∵y≠0]
বা, 2y+18=3y−18
বা, 18+18=3y−2y
∴y=36
(i) নং সমীকরণে y-এর মান বসিয়ে পাই,
x=13×3612(36+9)=12×45=540
∴ আমাদের বাড়ি থেকে মামার বাড়ির দূরত্ব 540 কিমি এবং মোটর গাড়ির গতিবেগ ঘন্টায় 36 কিমি।
∴ মামার বাড়ি যাবার স্বাভাবিক সময় xy ঘণ্টা।
প্রথম শর্তানুসারে, xy+9=xy−3
বা, xy+9−xy=−3
বা, x(1y+9−1y)=−3
বা, x⋅[y−y−9y(y+9)]=−3
বা, x=−3y(y+9)−9
∴x=13y(y+9)…(i)
দ্বিতীয় শর্তানুসারে, xy−6=xy+3
বা, xy−6−xy=3
বা, x(1y−6−1y)=3
বা, x.y−y+6y(y−6)=3
বা, x=3y(y−6)6
∴x=12y(y−6)…(ii)
(i) ও (ii) নং সমীকরণ হতে x-এর মান তুলনা করে পাই,
y(y+9)3=y(y−6)2
বা, y+93=y−62[∵y≠0]
বা, 2y+18=3y−18
বা, 18+18=3y−2y
∴y=36
(i) নং সমীকরণে y-এর মান বসিয়ে পাই,
x=13×3612(36+9)=12×45=540
∴ আমাদের বাড়ি থেকে মামার বাড়ির দূরত্ব 540 কিমি এবং মোটর গাড়ির গতিবেগ ঘন্টায় 36 কিমি।
15. মোহিত এমন একটি দুই অঙ্কের সংখ্যা লিখবে যেটি তার অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টির 4 গুণ অপেক্ষা 3 বেশি এবং সংখ্যাটির অঙ্কদুটি স্থানবিনিময় করলে যে সংখ্যা হয় তা মূল সংখ্যার চেয়ে 18 বেশি। হিসাব করে মোহিত কোন সংখ্যা লিখবে?
মনে করি, সংখ্যাটির এককের ঘরের অঙ্ক x এবং দশকের ঘরের অঙ্ক y।
সংখ্যাটি (10y+x)
প্রথম শর্তানুসারে, 10y+x=4(x+y)+3
বা, 10y+x=4x+4y+3
বা, 10y−4y=4x−x+3
বা, 6y=3x+3
বা, y=3(x+1)6
∴y=x+12…(i)
সংখ্যাটির অঙ্কদ্বয়ের স্থান বিনিময় করলে সংখ্যাটি (10x+y)
দ্বিতীয় শর্তানুসারে, 10x+y=10y+x+18
বা, 10x−x−18=10y−y
বা, 9x−18=9y
বা, 9(x−2)9=y∴y=x−2…(ii)
(i) ও (ii) নং সমীকরণ হতে y-এর মান তুলনা করে পাই,
বা, x+12=x−2
বা, 2x−4=x+1
বা, 2x−x=1+4
বা, x=5
(ii) নং সমীকরণে x-এর মান বসিয়ে পাই,
y = 5 - 2 = 3
∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি (10×3+5)=35
সংখ্যাটি (10y+x)
প্রথম শর্তানুসারে, 10y+x=4(x+y)+3
বা, 10y+x=4x+4y+3
বা, 10y−4y=4x−x+3
বা, 6y=3x+3
বা, y=3(x+1)6
∴y=x+12…(i)
সংখ্যাটির অঙ্কদ্বয়ের স্থান বিনিময় করলে সংখ্যাটি (10x+y)
দ্বিতীয় শর্তানুসারে, 10x+y=10y+x+18
বা, 10x−x−18=10y−y
বা, 9x−18=9y
বা, 9(x−2)9=y∴y=x−2…(ii)
(i) ও (ii) নং সমীকরণ হতে y-এর মান তুলনা করে পাই,
বা, x+12=x−2
বা, 2x−4=x+1
বা, 2x−x=1+4
বা, x=5
(ii) নং সমীকরণে x-এর মান বসিয়ে পাই,
y = 5 - 2 = 3
∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি (10×3+5)=35
16. আমি একটি দুই অঙ্কের সংখ্যা লিখব আর অঙ্কদুটির সমষ্টি 14 এবং সংখ্যাটি থেকে 29 বিয়োগ করলে অঙ্কদুটি সমান হবে। সহসমীকরণ গঠন করি ও সমাধান করে দেখি দুই অঙ্কের সংখ্যাটি কি হবে?
মনে করি, দুই অঙ্কের সংখ্যাটির এককের ঘরের অঙ্কটি x এবং দশকের ঘরের অঙ্কটি y
∴ সংখ্যাটি (10y+x)
প্রথম শর্তানুসারে, x+y=14
∴x=14−y…(i)
সংখ্যাটি থেকে 29 বিয়োগ করলে প্রাপ্ত সংখ্যাটি হয়
10y+x−29=10y+x−30+1
=10(y−3)+(x+1)
∵ অঙ্কদ্বয় সমান তাই
দ্বিতীয় শর্তানুসারে, x+1=y−3
বা, x=y−3−1∴x=y−4…(ii)
(i) ও (ii) নং সমীকরণ হতে x-এর মান তুলনা করে পাই,
14−y=y−4
বা, 14+4=y+y
বা, 18=2y
বা, y=182=9
(i) নং সমীকরণ হতে y-এর মান বসিয়ে পাই,
বা, x=14−9=5
∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি 10×9+5=95
∴ সংখ্যাটি (10y+x)
প্রথম শর্তানুসারে, x+y=14
∴x=14−y…(i)
সংখ্যাটি থেকে 29 বিয়োগ করলে প্রাপ্ত সংখ্যাটি হয়
10y+x−29=10y+x−30+1
=10(y−3)+(x+1)
∵ অঙ্কদ্বয় সমান তাই
দ্বিতীয় শর্তানুসারে, x+1=y−3
বা, x=y−3−1∴x=y−4…(ii)
(i) ও (ii) নং সমীকরণ হতে x-এর মান তুলনা করে পাই,
14−y=y−4
বা, 14+4=y+y
বা, 18=2y
বা, y=182=9
(i) নং সমীকরণ হতে y-এর মান বসিয়ে পাই,
বা, x=14−9=5
∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি 10×9+5=95
17. রহমত চাচা তার নৌকা নিয়ে স্রোতের অনুকূলে 6 ঘণ্টায় 30 মাইল নিয়ে এই পথ স্রোতের প্রতিকূলে 10 ঘণ্টায় ফিরে এলেন। স্থির জলে রহমত চাচার নৌকার গতিবেগ ও স্রোতের গতিবেগ হিসাব করে লিখি।
মনে করি, স্থির জলে নৌকার গতিবেগ x মাইল/ঘণ্টা এবং স্রোতের গতিবেগ y মাইল/ঘণ্টা।
∴ স্রোতের অনুকূলে নৌকার কার্যকরী বেগ (x+y) মাইল/ঘণ্টা এবং স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার কার্যকরী বেগ (x–y) মাইল/ঘণ্টা।
প্রথম শর্তানুসারে, 6(x+y)=30
বা, x+y=5
∴x=5−y…(i)
দ্বিতীয় শর্তানুসারে, 10(x−y)=30
বা, x−y=3∴x=3+y…(ii)
(i) ও (ii) নং সমীকরণ হতে x-এর মান তুলনা করে পাই,
5−y=3+y
বা, 5−3=y+y
বা, 2y=2
বা, y = 1
(i) নং সমীকরণে y-এর মান বসিয়ে পাই,
x=5−1=4
∴ স্থির জলে নৌকার বেগ 4 মাইল / ঘণ্টা এবং স্রোতের বেগ 1 মাইল / ঘণ্টা।
∴ স্রোতের অনুকূলে নৌকার কার্যকরী বেগ (x+y) মাইল/ঘণ্টা এবং স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার কার্যকরী বেগ (x–y) মাইল/ঘণ্টা।
প্রথম শর্তানুসারে, 6(x+y)=30
বা, x+y=5
∴x=5−y…(i)
দ্বিতীয় শর্তানুসারে, 10(x−y)=30
বা, x−y=3∴x=3+y…(ii)
(i) ও (ii) নং সমীকরণ হতে x-এর মান তুলনা করে পাই,
5−y=3+y
বা, 5−3=y+y
বা, 2y=2
বা, y = 1
(i) নং সমীকরণে y-এর মান বসিয়ে পাই,
x=5−1=4
∴ স্থির জলে নৌকার বেগ 4 মাইল / ঘণ্টা এবং স্রোতের বেগ 1 মাইল / ঘণ্টা।
18. হাওড়া স্টেশন থেকে একটি ট্রেন ছাড়ার 1 ঘণ্টা পরে বিশেষ কারণে 1 ঘণ্টা দেরি করে এবং তারপর পূর্বে বেগের 35 অংশ বেগে চলে নির্দিষ্ট সময়ের 3 ঘণ্টা পরে গন্তব্যস্থলে পৌঁছায়। যদি বিশেষ কারণটি পূর্বস্থান থেকে আরও 50 কিমি. দূরবর্তী স্থানে হতো, তাহলে ট্রেনটি আগের চেয়ে 1 ঘন্টা 20 মিনিট পূর্বে গন্তব্যস্থানে পৌঁছাতে। ট্রেনটি মোট কত পথ চলেছিল ও পূর্বের বেগ কত ছিল হিসাব করে লিখি?
মনে করি, ট্রেনটির প্রারম্ভিক বেগ ঘণ্টায় x কিমি এবং নির্দিষ্ট সময় y ঘণ্টা।
∴ গন্তব্যস্থলের দূরত্ব xy কিমি
প্রথম অবস্থায় ট্রেনটি 1 ঘণ্টায় অতিক্রম করে x কিমি এবং তারপর বিশেষ কারণে 1 ঘণ্টা দেরি করে বাকি (xy–x) কিমি পথ অতিক্রম করে ঘণ্টায় 3x5 কিমি বেগে।

এখন 3x5 কিমি / ঘণ্টা বেগে (xy–x) কিমি পথ যেতে সময় লাগে =xy−x3x5 ঘণ্টা
=x(y−1)×53x ঘণ্টা =5y−53 ঘণ্টা
প্রথম শর্তানুসারে, 1+1+5y−53=y+3
বা, 5y−53−y=3−1−1
বা, 5y−5−3y3=1
বা, 2y−5=3
বা, 2y=8
বা, y = 4
আবার বিশেষ কারণটি পূর্বের স্থান থেকে 50 কিমি দূরবর্তী স্থানে হলে ট্রেনটি (x+50) কিমি পথ অতিক্রম করে x কিমি/ঘণ্টা বেগে। x কিমি / ঘণ্টা বেগে (x+50) কিমি পথ যেতে সময় লাগে x+50x ঘণ্টা। এরপর ট্রেনটি 1 ঘণ্টা দেরি করে এবং অবশিষ্ট [xy−(x+50)] কিমি পথ অতিক্রম করে 3x5 কিমি / ঘণ্টা বেগে।

3x5 কিমি বেগে (xy−x−50) কিমি পথ যেতে সময় লাগে xy−x−503x5 ঘণ্টা =5(xy−x−50)3x ঘণ্টা
=5(x.4−x−50)3x ঘণ্টা [∵y=4]
=5(3x−50)3x ঘণ্টা
দ্বিতীয় শর্তানুসারে,
x+50x+1+5(3x−50)3x=4+3−12060…(ii)
বা, 1+50x+1+5−2503x=7−113
বা, 50x−2503x=7−7−43
বা, 150−2503x=−43
বা, −100x=−4
বা, x=1004=25
∴ ট্রেনটির গতিবেগ 25 কিমি/ঘণ্টা এবং ট্রেনটি মোট =(25×4) কিমি বা 100 কিমি পথ চলেছিল।
∴ গন্তব্যস্থলের দূরত্ব xy কিমি
প্রথম অবস্থায় ট্রেনটি 1 ঘণ্টায় অতিক্রম করে x কিমি এবং তারপর বিশেষ কারণে 1 ঘণ্টা দেরি করে বাকি (xy–x) কিমি পথ অতিক্রম করে ঘণ্টায় 3x5 কিমি বেগে।

এখন 3x5 কিমি / ঘণ্টা বেগে (xy–x) কিমি পথ যেতে সময় লাগে =xy−x3x5 ঘণ্টা
=x(y−1)×53x ঘণ্টা =5y−53 ঘণ্টা
প্রথম শর্তানুসারে, 1+1+5y−53=y+3
বা, 5y−53−y=3−1−1
বা, 5y−5−3y3=1
বা, 2y−5=3
বা, 2y=8
বা, y = 4
আবার বিশেষ কারণটি পূর্বের স্থান থেকে 50 কিমি দূরবর্তী স্থানে হলে ট্রেনটি (x+50) কিমি পথ অতিক্রম করে x কিমি/ঘণ্টা বেগে। x কিমি / ঘণ্টা বেগে (x+50) কিমি পথ যেতে সময় লাগে x+50x ঘণ্টা। এরপর ট্রেনটি 1 ঘণ্টা দেরি করে এবং অবশিষ্ট [xy−(x+50)] কিমি পথ অতিক্রম করে 3x5 কিমি / ঘণ্টা বেগে।

3x5 কিমি বেগে (xy−x−50) কিমি পথ যেতে সময় লাগে xy−x−503x5 ঘণ্টা =5(xy−x−50)3x ঘণ্টা
=5(x.4−x−50)3x ঘণ্টা [∵y=4]
=5(3x−50)3x ঘণ্টা
দ্বিতীয় শর্তানুসারে,
x+50x+1+5(3x−50)3x=4+3−12060…(ii)
বা, 1+50x+1+5−2503x=7−113
বা, 50x−2503x=7−7−43
বা, 150−2503x=−43
বা, −100x=−4
বা, x=1004=25
∴ ট্রেনটির গতিবেগ 25 কিমি/ঘণ্টা এবং ট্রেনটি মোট =(25×4) কিমি বা 100 কিমি পথ চলেছিল।
19. মৌসুমি দুই অঙ্কের একটি সংখ্যাকে অঙ্ক দুটির সমষ্টি দিয়ে ভাগ করে ভাগফল 6 ও ভাগশেষ 6 পায়। যদি মৌসুমি অঙ্ক দুটি স্থান বিনিময় করে সংখ্যাটিকে অঙ্ক দুটির সমষ্টি দিয়ে ভাগ করে তাহলে ভাগফল 4 ও ভাগশেষ 9 হয়। সহসমীকরণ গঠন করে মৌসুমির সংখ্যাটি নির্ণয় করি।
মনে করি, দুই অঙ্কের সংখ্যাটির এককের অঙ্ক x এবং দশকের অঙ্কটি y,
∴ সংখ্যাটি 10y+x
প্রথম শর্তানুসারে, 10y+x=6(x+y)+6
বা, 10y+x=6x+6y+6
বা, 10y−6y=6x−x+6
বা, 4y=5x+6∴y=5x+64…(i)
সংখ্যাটির অঙ্কদ্বয় স্থান পরিবর্তন করলে উৎপন্ন সংখ্যাটি 10y+x
দ্বিতীয় শর্তানুসারে, 10x+y=4(x+y)+9
বা, 10x+y=4x+4y+9
বা, 10x−4x−9=4y−y
বা, 6x−9=3y
বা, 3y=6x−9∴y=2x−3…(ii)
(i) ও (ii) নং সমীকরণ হতে y-এর মান তুলনা করে পাই,
5x+64=2x−3
বা, 8x−12=5x+6
বা, 8x−5x=6+12
বা, 3x=18
বা, x=6
(ii) নং সমীকরণে x-এর মান বসিয়ে পাই,
y=2×6−3=12−3=9
∴ নির্ণেয় সংখ্যা 10×9+6=96
∴ সংখ্যাটি 10y+x
প্রথম শর্তানুসারে, 10y+x=6(x+y)+6
বা, 10y+x=6x+6y+6
বা, 10y−6y=6x−x+6
বা, 4y=5x+6∴y=5x+64…(i)
সংখ্যাটির অঙ্কদ্বয় স্থান পরিবর্তন করলে উৎপন্ন সংখ্যাটি 10y+x
দ্বিতীয় শর্তানুসারে, 10x+y=4(x+y)+9
বা, 10x+y=4x+4y+9
বা, 10x−4x−9=4y−y
বা, 6x−9=3y
বা, 3y=6x−9∴y=2x−3…(ii)
(i) ও (ii) নং সমীকরণ হতে y-এর মান তুলনা করে পাই,
5x+64=2x−3
বা, 8x−12=5x+6
বা, 8x−5x=6+12
বা, 3x=18
বা, x=6
(ii) নং সমীকরণে x-এর মান বসিয়ে পাই,
y=2×6−3=12−3=9
∴ নির্ণেয় সংখ্যা 10×9+6=96
20. ফরিদাবিবি কয়েকটি বাক্সে কমলালেবু রাখতে গিয়ে দেখলেন যে তিনি যদি প্রত্যেকটি বাক্সে 20 টি কমলালেবু বেশি রাখেন তাহলে 3টি বাক্স কম লাগে। আবার, তিনি যদি প্রত্যেকটি বাক্সে 5 টি কমলালেবু কম রাখেন তাহলে 1 টি বাক্স বেশি লাগে। সহসমীকরণ গঠন করে ফরিদা বিবির কাছে কতগুলি কমলালেবু ও কতগুলি বাক্স ছিল তা নির্ণয় করো।
মনে করি, বাক্স সংখ্যা x টি এবং প্রতিবাক্সে কমলালেবুর সংখ্যা y টি
∴ মোট কমলালেবু সংখ্যা xy টি
প্রথম শর্তানুসারে, (x−3)(y+20)=xy
বা, xy+20x−3y−60−xy=0
বা, 20x=3y+60∴x=3y+6020…(i)
দ্বিতীয় শর্তানুসারে, (x+1)(y−5)=xy
বা, xy−5x+y−5−xy=0
বা, y−5=5x∴x=y−55…(i)
(i) ও (ii) নং সমীকরণ হতে x-এর মান তুলনা করে পাই,
3y+6020=y−55
বা, 3y+604=y−5
বা, 4y−20=3y+60
বা, 4y−3y=60+20
বা, y=80
(ii) নং সমীকরণে y-এর মান বসিয়ে পাই,
x=80−55=755=15
∴ বাক্সের সংখ্যা 15টি এবং প্রতিবাক্সে কমলালেবুর সংখ্যা 80।
∴ মোট লেবুর সংখ্যা (15×80) টি = 1200 টি
∴ মোট কমলালেবু সংখ্যা xy টি
প্রথম শর্তানুসারে, (x−3)(y+20)=xy
বা, xy+20x−3y−60−xy=0
বা, 20x=3y+60∴x=3y+6020…(i)
দ্বিতীয় শর্তানুসারে, (x+1)(y−5)=xy
বা, xy−5x+y−5−xy=0
বা, y−5=5x∴x=y−55…(i)
(i) ও (ii) নং সমীকরণ হতে x-এর মান তুলনা করে পাই,
3y+6020=y−55
বা, 3y+604=y−5
বা, 4y−20=3y+60
বা, 4y−3y=60+20
বা, y=80
(ii) নং সমীকরণে y-এর মান বসিয়ে পাই,
x=80−55=755=15
∴ বাক্সের সংখ্যা 15টি এবং প্রতিবাক্সে কমলালেবুর সংখ্যা 80।
∴ মোট লেবুর সংখ্যা (15×80) টি = 1200 টি
21. সংক্ষিপ্ত উত্তরভিত্তিক প্রশ্ন :
(i) যদি x=3t ও y=2t3−1 হয়, তবে t-এর কোন মানের জন্য x=3y হবে?
∵x=3y
বা, 3t=3(2t3−1)
বা, 3t=2t−3
বা, 3t−2t=−3
বা, t=−3
∴ t এর নির্ণেয় মান (-3)
বা, 3t=3(2t3−1)
বা, 3t=2t−3
বা, 3t−2t=−3
বা, t=−3
∴ t এর নির্ণেয় মান (-3)
(ii) k-এর কোন মানের জন্য 2x+5y=8 এবং 2x−ky=3 সমীকরণদ্বয়ের কোনো সমাধান থাকবে না?
2x+5y=8 এবং 2x−ky=3 এই সমীকরণদ্বয়ের কোনো সমাধান থাকবে না যদি
22=5−k≠83
বা, 1=5−k
বা, k = -5
∴ K-র মান (-5) হলে প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়ের কোনো সমাধান থাকবে না।
22=5−k≠83
বা, 1=5−k
বা, k = -5
∴ K-র মান (-5) হলে প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়ের কোনো সমাধান থাকবে না।
(iii) x,y বাস্তব সংখ্যা এবং (x−5)2+(x−y)2=0 হলে, x ও y-এর মান কত?
(x−5)2+(x−y)2=0 যেহেতু, দুটি বাস্তব বর্গরাশির সমষ্টি শূন্য, সুতরাং উহাদের মান পৃথক পৃথকভাবে শূন্য।
∴(x−5)2=0 এবং (x−y)2=0
বা, x−5=0 বা, x=5
বা, x−y=0 বা, x=y
∴ x=5 এবং y = 5
∴(x−5)2=0 এবং (x−y)2=0
বা, x−5=0 বা, x=5
বা, x−y=0 বা, x=y
∴ x=5 এবং y = 5
(iv) x2+y2−2x+4y=−5 হলে, x এবং y-এর মান কত?
x2+y2−2x+4y=−5
বা, x2−2x+1+y2+4y+4=0
বা, (x−1)2+(y+2)2=0
দুটি বর্গরাশির সমষ্টি শূন্য হলে ওদের মান পৃথক পৃথকভাবে শূন্য হয়।
∴(x−1)2=0 এবং (y+2)2=0
বা, x−1=0 বা, x=1 বা, y+2=0 বা, y=−2
∴x=1,y=−2
বা, x2−2x+1+y2+4y+4=0
বা, (x−1)2+(y+2)2=0
দুটি বর্গরাশির সমষ্টি শূন্য হলে ওদের মান পৃথক পৃথকভাবে শূন্য হয়।
∴(x−1)2=0 এবং (y+2)2=0
বা, x−1=0 বা, x=1 বা, y+2=0 বা, y=−2
∴x=1,y=−2
(v) r-এর কোন মানের জন্য rx−3y−1=0 ও (4−r)x−y+1=0 সমীকরণদ্বয়ের সমাধান সম্ভব নয়?
rx−3y−1=0 এবং (4−r)x−y+1=0 সমীকরণদ্বয়ের কোনো সমাধান থাকবে না যদি, r4−r=−3−1≠−11 হয়
বা, −12+3r=−r বা, 4r=12 বা, r=3
∴ r -.এর মান 3 হলে প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়ের কোনো সমাধান থাকবে না।
বা, −12+3r=−r বা, 4r=12 বা, r=3
∴ r -.এর মান 3 হলে প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়ের কোনো সমাধান থাকবে না।
(vi) a1x+b1y+c1=0 সমীকরণকে y=mx+c আকারে লিখি, যেখানে m ও c ধ্রুবক।
a1x+b1y+c1=0
বা, b1y=−a1x−c1
বা, y=−a1b1x−c1b1
∴y=(−a1b1)x+(−c1b1)
বা, b1y=−a1x−c1
বা, y=−a1b1x−c1b1
∴y=(−a1b1)x+(−c1b1)
Class 9 Chapter 5|Ganit Prakash Class 9 Solution|West Bengal Board Class 9 Math|Class 9 Chapter 5 kosi dakhi 5.7|নবম শ্রেণী কষে দেখি 5.7|রৈখিক সহ সমীকরণ (দুই চল বিশিষ্ট)
(vii) k-এর কোন মানের জন্য kx−21y+15=0 এবং 8x−7y=0 সমীকরণদ্বয়ের একটিমাত্র সমাধান থাকবে?
kx−21y+15=0 এবং 8x−7y=0 সমীকরণদ্বয়ের একটিমাত্র সমাধান থাকবে যদি, k8≠−24−7 হয়
বা, k≠24
∴ k-র মান 24 বাদ দিয়ে অপর যে কোনো বাস্তব মানের জন্য সমীকরণদ্বয়ের একটিমাত্র সমাধান থাকবে।
বা, k≠24
∴ k-র মান 24 বাদ দিয়ে অপর যে কোনো বাস্তব মানের জন্য সমীকরণদ্বয়ের একটিমাত্র সমাধান থাকবে।
(viii) a এবং b-এর কোন মানের জন্য 5x+8y=7 এবং (a+b)x+(a−b)y=(2a+b+1) সমীকরণদ্বয়ের অসংখ্য সমাধান থাকবে?
5x+8y=7 এবং (a+b)x+(a−b)y=(2a+b+1) সমীকরণদ্বয়ের অসংখ্য সমাধান থাকবে যদি
5a+b=8a−b=−7−(2a+b+1) হয়
যদি 5a+b=8a−b
বা, 8a+8b=5a−5b
বা, 3a=−13b
বা, a−13=b3=k (ধরি) (K≠0)
∴a=−13k,b=3k
আবার যদি, 8a−b=72a+b+1 হয়
বা, 16a+8b+8=7a−7b
বা, 9a+15b+8=0
বা, 9×(−13k)+15×(3k)+8=0
বা, −117k+45k=−8
বা, −72k=−8
বা, k=−8−72=19
∴a=−139 এবং b=39=13
5a+b=8a−b=−7−(2a+b+1) হয়
যদি 5a+b=8a−b
বা, 8a+8b=5a−5b
বা, 3a=−13b
বা, a−13=b3=k (ধরি) (K≠0)
∴a=−13k,b=3k
আবার যদি, 8a−b=72a+b+1 হয়
বা, 16a+8b+8=7a−7b
বা, 9a+15b+8=0
বা, 9×(−13k)+15×(3k)+8=0
বা, −117k+45k=−8
বা, −72k=−8
বা, k=−8−72=19
∴a=−139 এবং b=39=13
22. বহু বিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q) :
(i) 4x+3y=7 এবং 7x−3y=4 সমীকরণদ্বয়ের
(a) একটি নির্দিষ্ট সমাধান আছে (b) অসংখ্য সমাধান আছে(c) কোনো সমাধান নেই (d) কোনোটিই নয়
(a) একটি নির্দিষ্ট সমাধান আছে (b) অসংখ্য সমাধান আছে(c) কোনো সমাধান নেই (d) কোনোটিই নয়
4x+3y=7
7x−3y=4
∵47≠3−3
7x−3y=4
∵47≠3−3
(ii) 3x+6y=15 এবং 6x+12y=30 সমীকরণদ্বয়ের
(a) একটি নির্দিষ্ট সমাধান আছে (b) অসংখ্য সমাধান আছে (c) কোনো সমাধান নেই (d) কোনোটিই নয়
(a) একটি নির্দিষ্ট সমাধান আছে (b) অসংখ্য সমাধান আছে (c) কোনো সমাধান নেই (d) কোনোটিই নয়
3x+6y=15,6x+12y=30
∵36=612=1530(=12)
∵36=612=1530(=12)
(iii) 4x+4y=20 এবং 5x+5y=30 সমীকরণদ্বয়ের
(a) একটি নির্দিষ্ট সমাধান আছে (b) অসংখ্য সমাধান আছে (c) কোনো সমাধান নেই (d) কোনোটিই নয়
(a) একটি নির্দিষ্ট সমাধান আছে (b) অসংখ্য সমাধান আছে (c) কোনো সমাধান নেই (d) কোনোটিই নয়
4x+4y=20,5x+5y=30
∵45=45≠2030(=23)
∵45=45≠2030(=23)
(iv) নিম্নলিখিত সমীকরণগুলির কোনটির সমাধান (1, 1)
(a) 2x+3y=9 (b) 6x+2y=9 (c) 3x+2y=5 (d) 4x+6y=8
(a) 2x+3y=9 (b) 6x+2y=9 (c) 3x+2y=5 (d) 4x+6y=8
(a) 2×1+3×1=5(≠9)
(b) 6×1+2×1=8(≠9)
(c) 3×1+2×1=5
(b) 6×1+2×1=8(≠9)
(c) 3×1+2×1=5
(v) 4x+3y=25 এবং 5x−2y=14 সমীকরণদ্বয়ের সমাধান
(a) x=4,y=3 (b) x=3,y=4 (c) x=3,y=3 (d) x=4,y=−3
(a) x=4,y=3 (b) x=3,y=4 (c) x=3,y=3 (d) x=4,y=−3
4×4+3×3=25
5×4−2×3=14
5×4−2×3=14
(vi) x+y=7 সমীকরণের সমাধানগুলি হলো
(a) (1, 6), (3, – 4) (b) (1, – 6), (4, 3) (c) (1, 6), (4, 3) (d) (–1, 6), (–4, 3)
(a) (1, 6), (3, – 4) (b) (1, – 6), (4, 3) (c) (1, 6), (4, 3) (d) (–1, 6), (–4, 3)
(a) 1+6=7,3−4=−1(≠7)
(b) 1+(−6)=−5(≠7),4+3=7
(c) 1+6=7,4+3=7
(d) −1+6=5,−4+3=−1(≠7)
(b) 1+(−6)=−5(≠7),4+3=7
(c) 1+6=7,4+3=7
(d) −1+6=5,−4+3=−1(≠7)
Class 9 Chapter 5|Ganit Prakash Class 9 Solution|West Bengal Board Class 9 Math|Class 9 Chapter 5 kosi dakhi 5.7|নবম শ্রেণী কষে দেখি 5.7|রৈখিক সহ সমীকরণ (দুই চল বিশিষ্ট)
এই Page টি বা এই Website টির কোন প্রকার বিষয়বস্তু কপি করা বা সম্পাদনা করা নিষিদ্ধ। ভারতীয় Copywright আইন 1957 এর ধারা 63 অনুযায়ী, এই ফাইলটির সমস্ত অধিকার 'ছাত্র মিত্র Mathematics' অ্যাপ দ্বারা সংরক্ষিত। ছাত্র মিত্রের অনুমতি ছাড়া, এই Page টি বা এই Website টির কোন প্রকার বিষয়বস্তু কপি করা বা সম্পাদনা করা আইনত দন্ডনীয় অপরাধ। কেউ ছাত্র মিত্রের অনুমতি ছাড়া, এই Page টি বা এই Website টির কোন প্রকার বিষয়বস্তু কপি বা সম্পাদনা করলে ছাত্র মিত্র কতৃপক্ষ তার বিরুদ্ধে সকল প্রকার কঠোর আইনি পদক্ষেপ করবে।
West Bengal Board of Secondary Education Official Site
Class 8 : গণিত প্রভা (অষ্টম শ্রেণি) বইয়ের সমস্ত সমাধান Maths solutions for WBBSE in Bengali.
Class 7 : গণিত প্রভা (সপ্তম শ্রেণি) বইয়ের সমস্ত সমাধান
www.wbresults.nic.in Official
Class 10 : মাধ্যমিক গণিত প্রকাশ (দশম শ্রেণি) বইয়ের সমস্ত সমাধান Class 10 Maths Solution WBBSE Bengali
Class 6 : গণিত প্রভা (ষষ্ঠ শ্রেণি) বইয়ের সমস্ত সমাধান Maths solutions for WBBSE in Bengali
Class 9 : গণিত প্রকাশ (নবম শ্রেণি) বইয়ের সমাধান Maths Solution WBBSE Bengali
আজই Install করুন Chatra Mitra
Class 8 : গণিত প্রভা (অষ্টম শ্রেণি) বইয়ের সমস্ত সমাধান Maths solutions for WBBSE in Bengali.
Class 7 : গণিত প্রভা (সপ্তম শ্রেণি) বইয়ের সমস্ত সমাধান
www.wbresults.nic.in Official
Class 10 : মাধ্যমিক গণিত প্রকাশ (দশম শ্রেণি) বইয়ের সমস্ত সমাধান Class 10 Maths Solution WBBSE Bengali
Class 6 : গণিত প্রভা (ষষ্ঠ শ্রেণি) বইয়ের সমস্ত সমাধান Maths solutions for WBBSE in Bengali
Class 9 : গণিত প্রকাশ (নবম শ্রেণি) বইয়ের সমাধান Maths Solution WBBSE Bengali
আজই Install করুন Chatra Mitra