সমাধান : মনে করি, একটি পেনের মূল্য = $x$ টাকা
একটি টি পেনসিলের = y টাকা
$5 x+3 y-34=0$
$7 x+6 y-53=0$
বজ্রগুণন পদ্ধতিতে পাই,
$\frac{x}{-159+204}=\frac{y}{-238+265}=\frac{1}{30-21}$
বা, $\frac{x}{45}=\frac{y}{27}=\frac{1}{9}$
$\therefore x=\frac{45}{9}=5, \quad y=\frac{27}{9}=3$
$\therefore$ একটি পেনের মূল্য 5 টাকা ও একটি পেনসিলের মূল্য 3 টাকা।

সমাধান : মনে করি, আয়েশার ওজন $x$ কিগ্রা, রফিকের ওজন y কিগ্রা,
$\therefore x+y=85$
বা, $x+y-85=0$
$\frac{x}{2}=\frac{4 y}{9}$
বা, $9 x=8 y$
$9 x-8y-0=0$
বজ্রগুণন পদ্ধতিতে পাই,
$\frac{x}{-680}=\frac{y}{-765}=\frac{1}{-8-9}$
$\therefore x=\frac{680}{17}=40, \quad y=\frac{765}{17}=45$
$\therefore$আয়েশার ওজন 40 কিগ্রা. ও রফিকের ওজন 45 কিগ্রা

সমাধান : মনে করি, কাকাবাবুর বর্তমান বয়স = $x$ বছর।
ও বোনের বর্তমান বয়স = y বছর।
প্রথম শর্তানুসারে,
$x=2 y$.........(i)
10 বছর আগে আমার কাকার বয়স$(x-10)$ও আমার বোনের বয়স $(y-10)$বছর ছিল।
দ্বিতীয় শর্তানুসারে,
$x-10=3(y-10)$
বা, $x-10=3y-30$
বা, $x=3y-30+10$
$\therefore x=3y-20$........(ii) (i) ও (ii) সমীকরণ হতে $x$-এর মান তুলনা করে পাই,
$2y=3y-20$
বা, $2y-3y=20$
বা, $-y=-20$
বা, $y=20$
(i) নং সমীকরণে $x$ -এর মান বসিয়ে পাই,
$x=2\times20=40$
$\therefore$ কাকাবাবুর বর্তমান বয়স =40 বছর
ও বোনের বর্তমান বয়স = 20 বছর।

মনে করি, 5 টাকার নোট পেয়েছেন $x$ টি ও 10 টাকা নোট পেয়েছেন y টি, $x$ টি 5 টাকার নোটের মূল্য $5x$ টাকা ও y টি 10 টাকার নোটের মূল্য $10y$ টাকা।
প্রথম শর্তানুসারে, $5 x+10 y=590$
বা, $x+2 \mathrm{y}=118 \quad \therefore x=118-2 \mathrm{y}\ldots(i)$
দ্বিতীয় শর্তানুসারে, $x+y=70 \quad \therefore x=70-y\ldots(ii)$
(i) ও (ii) নং সমীকরণ হতে $x$-এর মান তুলনা করে পাই,
$118-2 y=70-y$
বা, $-2 y+y=70-118$
বা, $-y=-48$
বা, y = 48
(ii) নং সমীকরণে y-র মান বসিয়ে পাই,
$x=70-48=22$
$\therefore$ তিনি ব্যাংক থেকে 22 টি 5 টাকার নোট ও 48 টি 10 টাকার নোট পেয়েছিলেন।

মনে করি, প্রকৃত ভগ্নাংশ টির লব $x$ এবং হর y;
$\therefore$ প্রকৃত ভগ্নাংশটি $\frac{x}{y}$
প্রথম শর্তানুসারে, $\mathrm{y}=x+5\ldots(i)$
দ্বিতীয় শর্তানুসারে, $\frac{x+3}{y+3}=\frac{3}{4}$
বা, $3 y+9=4 x+12$
বা, $3 y=4 x+12-9$
বা, $3 y=4 x+3 \quad \therefore y=\frac{4 x+3}{3}\ldots(ii)$
(i) ও (ii) নং সমীকরণ হতে y-এর মান তুলনা করে পাই,
$x+5=\frac{4 x+3}{3}$
বা, $4 x+3=3 x+15$
বা, $4 x-3 x=15-3$
বা, $x=12$
(i) নং সমীকরণে $x$-এর মান বসিয়ে পাই,
$y=12+5=17$
$\therefore$ প্রকৃত ভগ্নাংশটি $\frac{12}{17}$

মনে করি, প্রথম সংখ্যাটি $x$ এবং দ্বিতীয় সংখ্যাটি y
প্রথম শর্তানুসারে, $x+21=2 y$
$\therefore x=2 y-21\ldots(i)$
দ্বিতীয় শর্তানুসারে, $y+12=2 x$
বা, $\frac{y+12}{2}=x \quad \therefore x=\frac{y+12}{2}\ldots(ii)$
(i) ও (ii) নং সমীকরণ হতে $x$-এর মান তুলনা করে পাই,
$2 y-21=\frac{y+12}{2}$
বা, $4 y-42=y+12$
বা, $4 y-y=12+42$
বা, $3 y=54$
বা, $y=\frac{54^{18}}{3}=18$
(i) নং সমীকরণে y-এর মান বসিয়ে পাই,
$x=2 \times 18-21=36-21=15$
$\therefore$ প্রথম সংখ্যা 15 এবং দ্বিতীয় সংখ্যা 18

মনে করি, লালিমা ও রমেন পৃথকভাবে কাজ করলে যথাক্রমে $x$ দিনে ও y দিনে কাজটি শেষ করতে পারে।
লালিমা 4 দিন করে $\frac{4}{x}$ অংশ
এবং রমেন 3 দিনে করে $\frac{3}{y}$ অংশ
প্রথম শর্তানুসারে, $\frac{4}{x}+\frac{3}{y}=\frac{2}{3}$
বা, $\frac{4}{x}=\frac{2}{3}-\frac{3}{y}$
বা, $\frac{4}{x}=\frac{2 y-9}{3 \mathrm{y}} \quad \therefore \frac{1}{x}=\frac{2 y-9}{12 \mathrm{y}}\ldots(i)$
আবার, লালিমা 3 দিনে করে $\frac{3}{x}$ অংশ
এবং রমেন 6 দিনে করে $\frac{6}{y}$ অংশ।
দ্বিতীয় শর্তানুসারে, $\frac{3}{x}+\frac{6}{y}=\frac{11}{12}$
বা, $\frac{3}{x}=\frac{11}{12}-\frac{6}{y}$
বা, $\frac{3}{x}=\frac{11 y-72}{12 y}$
$\therefore \frac{1}{x}=\frac{11 y-72}{36 y}\ldots(ii)$
(i) ও (ii) নং সমীকরণ হতে $\frac{1}{x}$-এর মান তুলনা করে পাই,
$\frac{2 y-9}{12 y}=\frac{11 y-72}{36 y}$
বা, $\frac{2 y-9}{1}=\frac{11 y-72}{3}$
বা, $11 y-72=6 y-27$
বা, $11 y-6 y=72-27$
বা, $5 y=45$
বা, $y=\frac{45^{9}}{5}=9$
(i) নং সমীকরণে y-এর মান বসিয়ে পাই,
$\frac{1}{x}=\frac{2 \times 9-9}{12 \times 9}=\frac{g}{12 \times 8}=\frac{1}{12}$
বা, $x=12$
$\therefore$ লালিমা পৃথকভাবে 12 দিনে ও রমেন পৃথকভাবে 9 দিনে কাজ করতে পারে।

মনে করি, প্রথম প্রকারের $x$ লিটার শরবতের সহিত দ্বিতীয় প্রকারের y লিটার শরবত মেশানো হল।
প্রথম শর্তানুসারে, $\frac{5 x}{100}+\frac{8 y}{100}=9 \frac{2}{3}$
বা, $\frac{5 x+8 y}{100}=\frac{29}{3}$
$\therefore 15 x+24 y=2900\ldots(i)$
দ্বিতীয় শর্তানুসারে, $x+y=150$
$\therefore x=150-y\ldots(ii)$
(i) নং সমীকরণে $x$-এর পরিবর্তে $(150-y)$ বসিয়ে পাই,
$15(150-y)+24 y=2900$
বা, $2250-15 y+24 y=2900$
বা, $9 y=2900-2250$
বা, $y=\frac{650}{9}=72 \frac{2}{9}$
(ii) নং সমীকরণে $y=\frac{650}{9}$ বসিয়ে পাই,
$x=150-\frac{650}{9}=\frac{1350-650}{9}$
$=\frac{700}{9}=77 \frac{7}{9}$
$\therefore$ প্রথম প্রকারের $77 \frac{7}{9}$ লিটার শরবত এর সহিত দ্বিতীয় প্রকার $72 \frac{2}{9} f$ লিটার শরবত মেশানো হয়েছিল।

মনে করি, অখিলবাবুর প্রাপ্ত ভোট $x$ টি এবং ছন্দা দেবীর প্রাপ্ত ভোট y টি।
প্রথম শর্তানুসারে, $x-y=75 \quad \therefore x=75+y\ldots(i)$
অখিল বাবুর ভোটের $20 \%=\left(x\right.$ এর $\left.\frac{20}{100}\right)$ টি $=\frac{x}{5}$ টি
দ্বিতীয় শর্তানুসারে, $\left(y+\frac{x}{5}\right)-\left(x-\frac{x}{5}\right)=19\ldots(ii)$
বা, $y+\frac{x}{5}+\frac{x}{5}-x=19$
বা, $\frac{5 y+x+x-5 x}{5}=19$
বা, $5 y-3 x=95$
বা, $5 y-3(75+y)=95$
[$x$ এর পরিবর্তে (75 + y) বসিয়ে পাই]
বা, $5 y-225-3 y=95$
বা, $2 y=320$
বা, $y=160$
(i) নং সমীকরণে y-এর মান বসিয়ে পাই,
বা, $x=160+75=235$
$\therefore$ অখিলবাবু ভোট পায় 235 টি ও ছন্দাদেবী ভোট পায় 160 টি।

মনে করি, রফিকদের আয়তক্ষেত্রাকার মেঝের দৈর্ঘ্য $x$ মিটার ও প্রস্থ y মিটার।
$\therefore$ মেঝের ক্ষেত্রফল $xy$ বর্গমিটার।
প্রথম শর্তানুসারে, $(x+2)(y+3)=x y+75$
বা, $x y+3 x+2 y+6=x y+75$
বা, $3 x=x y+75-x y-2 y-6$
বা, $3 x=69-2 y \quad \therefore x=\frac{69-2 y}{3}\ldots(i)$
দ্বিতীয় শর্তানুসারে, $(x-2)(y+3)=x y+15$
বা, $x y+3 x-2 y-6=x y+15$
বা, $3 x=x y+15-x y+2 y+6$
বা, $3 x=21+2 y \quad \therefore x=\frac{21+2 y}{3}\ldots(ii)$
(i) ও (ii) নং সমীকরণ হতে $x$-এর মান তুলনা করে পাই,
$\frac{69-2 y}{3}=\frac{21+2 y}{3}$
বা, $69-2 y=21+2 y$
বা, $69-21=2 y+2 y$
বা, $48=4 y$
বা, $y=\frac{48}{4}=12$
(ii) নং সমীকরণে y-এর মান বসিয়ে পাই,
$x=\frac{21+2 \times 12}{3}=\frac{21+24}{3}=\frac{45^{15}}{3}=15$
$\therefore$ রফিকদের আয়তাকার মেঝের দৈর্ঘ্য 15 মিটার ও প্রস্থ 12 মিটার।

মনে করি, মেরির কাছে $x$ টাকা এবং ঈশানের কাছে y টাকা আছে।
প্রথম শর্তানুসারে, $x+\frac{y}{3}=200$
বা, $3 x+y=600 \quad \therefore y=600-3 x\ldots(i)$
দ্বিতীয় শর্তানুসারে, $y+\frac{x}{2}=200$
বা, $2 \mathrm{y}+x=400$
বা, $2 \mathrm{y}=400-x \quad \therefore \mathrm{y}=\frac{400-x}{2}$
(i) ও (ii) নং সমীকরণ হতে y-এর মান তুলনা করে পাই,
$600-3 x=\frac{400-x}{2}$
বা, $1200-6 x=400-x$
বা, $1200-400=-x+6 x$
বা, $800=5 x$
বা, $x=\frac{800}{5}=160$
(i) নং সমীকরণে $x$-এর মান বসিয়ে পাই,
$y=600-3 \times 160=600-480=120$
$\therefore$ মেরির কাছে আছে 160 টাকা ও ঈশানের কাছে আছে 120 টাকা।

মনে করি, মেলায় গিয়েছিল $x$ জন এবং দাদু মোট y টাকা দিয়েছিলেন। যদি 2 জন বন্ধু কম থাকত তবে y টাকা $(x – 2)$ জনের মধ্যে সমান ভাগে ভাগ করে দিলে প্রত্যেকে পেত $\frac{y}{x-2}$ টাকা করে।
$\therefore$ প্রথম শর্তানুসারে, $\frac{y}{x-2}=18 \quad \therefore y=18(x-2)\ldots(i)$
আবার যদি 3 জন বন্ধু বেশি থাকতো তবে y টাকা $(x + 3)$ জনের মধ্যে সমানভাগে ভাগ করে দিলে প্রত্যেকে পেত $\frac{y}{x+3}$ টাকা করে।
দ্বিতীয় শর্তানুসারে, $\frac{y}{x+3}=12 \therefore y=12(x+3)\ldots(ii)$
(i) নং ও (ii) নং সমীকরণ হতে y-এর মান তুলনা করে পাই,
বা, $18(x-2)=12(x+3)$
বা, $3(x-2)=2(x+3)$
বা, $3 x-6=2 x+6$
বা, $3 x-2 x=6+6$
বা, $x=12$
(i) নং সমীকরণে $x$-এর মান বসিয়ে পাই,
$y=18(12-2)=18 \times 10=180$
$\therefore$ দাদার বন্ধুরা ছিল 12 জন এবং দাদু মোট 180 টাকা দিয়েছিলেন।

মনে করি, ওই থলিতে 1 টাকার মুদ্রা ছিল $x$ টি যার মূল্য $x$ টাকা এবং 50 পয়সার মুদ্রা ছিল y টি যার মূল্য $\frac{y}{2}$ টাকা।
প্রথম শর্তানুসারে, $x+\frac{y}{2}=350$
বা, $x=350-\frac{y}{2} \therefore x=\frac{700-y}{2}\ldots(i)$
আমার বোন ওই থলি থেকে এক-তৃতীয়াংশ 50 পয়সার মুদ্রা বের করে নিলে এখন ঐ থলিতে 50 পয়সার মুদ্রার সংখ্যা হয় $\left(y-\frac{y}{3}\right)$ টি যার মূল্য $\frac{1}{2}\left(y-\frac{y}{3}\right)$ টাকা। এইবার সমসংখ্যক 1 টাকার মুদ্রা ওই থলিতে রাখলে এখন থলিতে 1 টাকার মুদ্রার সংখ্যা হয় $\left(x+\frac{y}{3}\right)$ টি যার মূল্য $\left(x+\frac{y}{3}\right)$ টাকা।
দ্বিতীয় শর্তানুসারে, $\frac{1}{2}\left(y-\frac{y}{3}\right)+\left(x+\frac{y}{3}\right)=400$
বা, $y-\frac{y}{3}+2 x+\frac{2 y}{3}=800$
বা, $2 x=800+\frac{y}{3}-\frac{2 y}{3}-y$
বা, $2 x=\frac{2400+y-2 y-3 y}{3}$
বা, $x=\frac{2400-4 y}{6}$
বা, $x=\frac{2(1200-2 y)}{\sigma_{3}} \quad \therefore x=\frac{1200-2 y}{3}\ldots(ii)$
(i) ও (ii) নং সমীকরণ হতে x-এর মান তুলনা করে পাই,
$\frac{700-y}{2}=\frac{1200-2 y}{3}$
বা, $2100-3 y=2400-4 y$
বা, $-3 y+4 y=2400-2100$
বা, $y=300$
(i) নং সমীকরণে y-এর মান বসিয়ে পাই,
$x=\frac{700-300}{2}=\frac{400}{2}=200$
$\therefore$ থলিতে 1 টাকার মুদ্রা 200 টি ও 50 পয়সার মুদ্রা 300 টি ছিল।

মনে করি, আমাদের বাড়ি থেকে মামার বাড়ির দূরত্ব $x$ কিমি এবং মোটর গাড়ির গতিবেগ y কিমি / ঘণ্টা।
$\therefore$ মামার বাড়ি যাবার স্বাভাবিক সময় $\frac{x}{y}$ ঘণ্টা।
প্রথম শর্তানুসারে, $\frac{x}{y+9}=\frac{x}{y}-3$
বা, $\frac{x}{y+9}-\frac{x}{y}=-3$
বা, $x\left(\frac{1}{y+9}-\frac{1}{y}\right)=-3$
বা, $x \cdot\left[\frac{y-y-9}{y(y+9)}\right]=-3$
বা, $x=\frac{-3 y(y+9)}{-9}$
$\therefore x=\frac{1}{3} y(y+9)\ldots(i)$
দ্বিতীয় শর্তানুসারে, $\frac{x}{y-6}=\frac{x}{y}+3$
বা, $\frac{x}{y-6}-\frac{x}{y}=3$
বা, $x\left(\frac{1}{y-6}-\frac{1}{y}\right)=3$
বা, $x.\frac{y-y+6}{y(y-6)}=3$
বা, $x=\frac{3 y(y-6)}{6}$
$\therefore x=\frac{1}{2} y(y-6)\ldots(ii)$
(i) ও (ii) নং সমীকরণ হতে $x$-এর মান তুলনা করে পাই,
$\frac{y(y+9)}{3}=\frac{y(y-6)}{2}$
বা, $\frac{y+9}{3}=\frac{y-6}{2} \quad[\because y \neq 0]$
বা, $2 y+18=3 y-18$
বা, $18+18=3 y-2 y$
$\therefore y=36$
(i) নং সমীকরণে y-এর মান বসিয়ে পাই,
$x=\frac{1}{3} \times 36^{12}(36+9)=12 \times 45=540$
$\therefore$ আমাদের বাড়ি থেকে মামার বাড়ির দূরত্ব 540 কিমি এবং মোটর গাড়ির গতিবেগ ঘন্টায় 36 কিমি।

মনে করি, সংখ্যাটির এককের ঘরের অঙ্ক $x$ এবং দশকের ঘরের অঙ্ক y।
সংখ্যাটি $(10y + x)$
প্রথম শর্তানুসারে, $10 y+x=4(x+y)+3$
বা, $10 y+x=4 x+4 y+3$
বা, $10 y-4 y=4 x-x+3$
বা, $6 y=3 x+3$
বা, $y=\frac{3(x+1)}{6}$
$\therefore y=\frac{x+1}{2}\ldots(i)$
সংখ্যাটির অঙ্কদ্বয়ের স্থান বিনিময় করলে সংখ্যাটি $(10 x+y)$
দ্বিতীয় শর্তানুসারে, $10 x+y=10 y+x+18$
বা, $10 x-x-18=10 y-y$
বা, $9 x-18=9 y$
বা, $\frac{9(x-2)}{9}=y \quad \therefore y=x-2\ldots(ii)$
(i) ও (ii) নং সমীকরণ হতে y-এর মান তুলনা করে পাই,
বা, $\frac{x+1}{2}=x-2$
বা, $2 x-4=x+1$
বা, $2 x-x=1+4$
বা, $x=5$
(ii) নং সমীকরণে $x$-এর মান বসিয়ে পাই,
y = 5 - 2 = 3
$\therefore$ নির্ণেয় সংখ্যাটি $(10 \times 3+5)=35$

মনে করি, দুই অঙ্কের সংখ্যাটির এককের ঘরের অঙ্কটি $x$ এবং দশকের ঘরের অঙ্কটি y
$\therefore$ সংখ্যাটি $(10 y+x)$
প্রথম শর্তানুসারে, $x+y=14$
$\therefore x=14-y\ldots(i)$
সংখ্যাটি থেকে 29 বিয়োগ করলে প্রাপ্ত সংখ্যাটি হয়
$10 \mathrm{y}+x-29=10 \mathrm{y}+x-30+1$
$=10(y-3)+(x+1)$
$\because$ অঙ্কদ্বয় সমান তাই
দ্বিতীয় শর্তানুসারে, $x+1=y-3$
বা, $x=y-3-1 \quad \therefore x=y-4\ldots(ii)$
(i) ও (ii) নং সমীকরণ হতে $x$-এর মান তুলনা করে পাই,
$14-y=y-4$
বা, $14+4=y+y$
বা, $18=2 y$
বা, $y=\frac{18}{2}=9$
(i) নং সমীকরণ হতে y-এর মান বসিয়ে পাই,
বা, $x=14-9=5$
$\therefore$ নির্ণেয় সংখ্যাটি $10 \times 9+5=95$

মনে করি, স্থির জলে নৌকার গতিবেগ $x$ মাইল/ঘণ্টা এবং স্রোতের গতিবেগ y মাইল/ঘণ্টা।
$\therefore$ স্রোতের অনুকূলে নৌকার কার্যকরী বেগ $(x+y)$ মাইল/ঘণ্টা এবং স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার কার্যকরী বেগ $(x – y)$ মাইল/ঘণ্টা।
প্রথম শর্তানুসারে, $6(x+y)=30$
বা, $x+y=5$
$\therefore x=5-y\ldots(i)$
দ্বিতীয় শর্তানুসারে, $10(x-y)=30$
বা, $x-y=3 \quad \therefore x=3+y\ldots(ii)$
(i) ও (ii) নং সমীকরণ হতে $x$-এর মান তুলনা করে পাই,
$5-y=3+y$
বা, $5-3=y+y$
বা, $2 y=2$
বা, y = 1
(i) নং সমীকরণে y-এর মান বসিয়ে পাই,
$x=5-1=4$
$\therefore$ স্থির জলে নৌকার বেগ 4 মাইল / ঘণ্টা এবং স্রোতের বেগ 1 মাইল / ঘণ্টা।

মনে করি, ট্রেনটির প্রারম্ভিক বেগ ঘণ্টায় $x$ কিমি এবং নির্দিষ্ট সময় y ঘণ্টা।
$\therefore$ গন্তব্যস্থলের দূরত্ব $xy$ কিমি
প্রথম অবস্থায় ট্রেনটি 1 ঘণ্টায় অতিক্রম করে x কিমি এবং তারপর বিশেষ কারণে 1 ঘণ্টা দেরি করে বাকি $(xy – x)$ কিমি পথ অতিক্রম করে ঘণ্টায় $\frac{3 x}{5}$ কিমি বেগে।

এখন $\frac{3 x}{5}$ কিমি / ঘণ্টা বেগে $(xy – x)$ কিমি পথ যেতে সময় লাগে $=\frac{x y-x}{\frac{3 x}{5}}$ ঘণ্টা
$=x(y-1) \times \frac{5}{3 x}$ ঘণ্টা $=\frac{5 y-5}{3}$ ঘণ্টা
প্রথম শর্তানুসারে, $1+1+\frac{5 y-5}{3}=y+3$
বা, $\frac{5 y-5}{3}-y=3-1-1$
বা, $\frac{5 y-5-3 y}{3}=1$
বা, $2 y-5=3$
বা, $2 y=8$
বা, y = 4
আবার বিশেষ কারণটি পূর্বের স্থান থেকে 50 কিমি দূরবর্তী স্থানে হলে ট্রেনটি $(x + 50)$ কিমি পথ অতিক্রম করে $x$ কিমি/ঘণ্টা বেগে। $x$ কিমি / ঘণ্টা বেগে $(x +50)$ কিমি পথ যেতে সময় লাগে $\frac{x+50}{x}$ ঘণ্টা। এরপর ট্রেনটি 1 ঘণ্টা দেরি করে এবং অবশিষ্ট $[x y-(x+50)]$ কিমি পথ অতিক্রম করে $\frac{3 x}{5}$ কিমি / ঘণ্টা বেগে।

$\frac{3 x}{5}$ কিমি বেগে $(x y-x-50)$ কিমি পথ যেতে সময় লাগে $\frac{x y-x-50}{\frac{3 x}{5}}$ ঘণ্টা $=\frac{5(x y-x-50)}{3 x}$ ঘণ্টা
$=\frac{5(x .4-x-50)}{3 x}$ ঘণ্টা $[\because y=4]$
$=\frac{5(3 x-50)}{3 x}$ ঘণ্টা
দ্বিতীয় শর্তানুসারে,
$\frac{x+50}{x}+1+\frac{5(3 x-50)}{3 x}=4+3-1 \frac{20}{60}\ldots(ii)$
বা, $1+\frac{50}{x}+1+5-\frac{250}{3 x}=7-1 \frac{1}{3}$
বা, $\frac{50}{x}-\frac{250}{3 x}=7-7-\frac{4}{3}$
বা, $\frac{150-250}{3 x}=-\frac{4}{3}$
বা, $\frac{- 100}{x}=- 4$
বা, $x=\frac{100}{4}=25$
$\therefore$ ট্রেনটির গতিবেগ 25 কিমি/ঘণ্টা এবং ট্রেনটি মোট $=(25 \times 4)$ কিমি বা 100 কিমি পথ চলেছিল।

মনে করি, দুই অঙ্কের সংখ্যাটির এককের অঙ্ক $x$ এবং দশকের অঙ্কটি y,
$\therefore$ সংখ্যাটি $10 y+x$
প্রথম শর্তানুসারে, $10 y+x=6(x+y)+6$
বা, $10 y+x=6 x+6 y+6$
বা, $10 y-6 y=6 x-x+6$
বা, $4 y=5 x+6 \quad \therefore y=\frac{5 x+6}{4}\ldots(i)$
সংখ্যাটির অঙ্কদ্বয় স্থান পরিবর্তন করলে উৎপন্ন সংখ্যাটি $10 y+x$
দ্বিতীয় শর্তানুসারে, $10 x+y=4(x+y)+9$
বা, $10 x+y=4 x+4 y+9$
বা, $10 x-4 x-9=4 y-y$
বা, $6 x-9=3 y$
বা, $3 y=6 x-9 \quad \therefore y=2 x-3\ldots(ii)$
(i) ও (ii) নং সমীকরণ হতে y-এর মান তুলনা করে পাই,
$\frac{5 x+6}{4}=2 x-3$
বা, $8 x-12=5 x+6$
বা, $8 x-5 x=6+12$
বা, $3 x=18$
বা, $x=6$
(ii) নং সমীকরণে $x$-এর মান বসিয়ে পাই,
$y=2 \times 6-3=12-3=9$
$\therefore$ নির্ণেয় সংখ্যা $10 \times 9+6=96$

মনে করি, বাক্স সংখ্যা $x$ টি এবং প্রতিবাক্সে কমলালেবুর সংখ্যা y টি
$\therefore$ মোট কমলালেবু সংখ্যা $xy$ টি
প্রথম শর্তানুসারে, $(x-3)(y+20)=x y$
বা, $x y+20 x-3 y-60-x y=0$
বা, $20 x=3 y+60 \quad \therefore x=\frac{3 y+60}{20}\ldots(i)$
দ্বিতীয় শর্তানুসারে, $(x+1)(y-5)=x y$
বা, $x y-5 x+y-5-x y=0$
বা, $y-5=5 x \quad \therefore x=\frac{y-5}{5}\ldots(i)$
(i) ও (ii) নং সমীকরণ হতে $x$-এর মান তুলনা করে পাই,
$\frac{3 y+60}{20}=\frac{y-5}{5}$
বা, $\frac{3 y+60}{4}=y-5$
বা, $4 y-20=3 y+60$
বা, $4 y-3 y=60+20$
বা, $y=80$
(ii) নং সমীকরণে y-এর মান বসিয়ে পাই,
$x=\frac{80-5}{5}=\frac{75}{5}=15$
$\therefore$ বাক্সের সংখ্যা 15টি এবং প্রতিবাক্সে কমলালেবুর সংখ্যা 80।
$\therefore$ মোট লেবুর সংখ্যা $(15 \times 80)$ টি = 1200 টি

$\because x=3 y$
বা, $3 t=3\left(\frac{2 t}{3}-1\right)$
বা, $3 t=2 t-3$
বা, $3 t-2 t=-3$
বা, $t=-3$
$\therefore$ t এর নির্ণেয় মান (-3)

$2 x+5 y=8$ এবং $2 x-k y=3$ এই সমীকরণদ্বয়ের কোনো সমাধান থাকবে না যদি
$\frac{2}{2}=\frac{5}{-k} \neq \frac{8}{3}$
বা, $1=\frac{5}{-k}$
বা, k = -5
$\therefore$ K-র মান (-5) হলে প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়ের কোনো সমাধান থাকবে না।

$(x-5)^{2}+(x-y)^{2}=0$ যেহেতু, দুটি বাস্তব বর্গরাশির সমষ্টি শূন্য, সুতরাং উহাদের মান পৃথক পৃথকভাবে শূন্য।
$\therefore(x-5)^{2}=0$ এবং $(x-y)^{2}=0$
বা, $x-5=0$ বা, $x=5$
বা, $x-y=0$ বা, $x=\mathrm{y}$
$\therefore$ $x=5$ এবং y = 5

$x^{2}+y^{2}-2 x+4 y=-5$
বা, $x^{2}-2 x+1+y^{2}+4 y+4=0$
বা, $(x-1)^{2}+(y+2)^{2}=0$
দুটি বর্গরাশির সমষ্টি শূন্য হলে ওদের মান পৃথক পৃথকভাবে শূন্য হয়।
$\therefore(x-1)^{2}=0$ এবং $(y+2)^{2}=0$
বা, $x-1=0$ বা, $x=1$ বা, $y+2=0$ বা, $y=-2$
$\therefore x=1, y=-2$

$r x-3 y-1=0$ এবং $(4-r) x-y+1=0$ সমীকরণদ্বয়ের কোনো সমাধান থাকবে না যদি, $\frac{r}{4-r}=\frac{-3}{-1} \neq \frac{-1}{1}$ হয়
বা, $-12+3 r=-r$ বা, $4 r=12$ বা, $r=3$
$\therefore$ r -.এর মান 3 হলে প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়ের কোনো সমাধান থাকবে না।

$a_{1} x+b_{1} y+c_{1}=0$
বা, $b_{1} y=-a_{1} x-c_{1}$
বা, $y=\frac{-a_{1}}{b_{1}} x-\frac{c_{1}}{b_{1}}$
$\therefore \quad y=\left(\frac{-a_{1}}{b_{1}}\right) x+\left(\frac{-c_{1}}{b_{1}}\right)$

$k x-21 y+15=0$ এবং $8 x-7 y=0$ সমীকরণদ্বয়ের একটিমাত্র সমাধান থাকবে যদি, $\frac{k}{8} \neq \frac{-24}{-7}$ হয়
বা, $k \neq 24$
$\therefore$ k-র মান 24 বাদ দিয়ে অপর যে কোনো বাস্তব মানের জন্য সমীকরণদ্বয়ের একটিমাত্র সমাধান থাকবে।

$5 x+8 y=7$ এবং $(a+b) x+(a-b) y=(2 a+b+1)$ সমীকরণদ্বয়ের অসংখ্য সমাধান থাকবে যদি
$\frac{5}{a+b}=\frac{8}{a-b}=\frac{-7}{-(2 a+b+1)}$ হয়
যদি $\frac{5}{a+b}=\frac{8}{a-b}$
বা, $8 a+8 b=5 a-5 b$
বা, $3 a=-13 b$
বা, $\frac{a}{-13}=\frac{b}{3}=k$ (ধরি) $(\mathrm{K} \neq 0)$
$\therefore a=-13 k, b=3 k$
আবার যদি, $\frac{8}{a-b}=\frac{7}{2 a+b+1}$ হয়
বা, $16 a+8 b+8=7 a-7 b$
বা, $9 a+15 b+8=0$
বা, $9 \times(-13 k)+15 \times(3 k)+8=0$
বা, $-117 k+45 k=-8$
বা, $-72 k=-8$
বা, $k=\frac{-8}{-72}=\frac{1}{9}$
$\therefore a=\frac{-13}{9}$ এবং $b=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$

$4 x+3 y=7$
$7 x-3 y=4$
$\because \frac{4}{7} \neq \frac{3}{-3}$

$3 x+6 y=15,6 x+12 y=30$
$\because \frac{3}{6}=\frac{6}{12}=\frac{15}{30}\left(=\frac{1}{2}\right)$

$4 x+4 y=20,5 x+5 y=30$
$\because \frac{4}{5}=\frac{4}{5} \neq \frac{20}{30}\left(=\frac{2}{3}\right)$

(a) $2 \times 1+3 \times 1=5(\neq 9)$
(b) $6 \times 1+2 \times 1=8(\neq 9)$
(c) $3 \times 1+2 \times 1=5$

$4 \times 4+3 \times 3=25$
$5 \times 4-2 \times 3=14$

(a) $1+6=7,3-4=-1(\neq 7)$
(b) $1+(-6)=-5(\neq 7), 4+3=7$
(c) $1+6=7,4+3=7$
(d) $-1+6=5,-4+3=-1(\neq 7)$