(i) $\frac{17}{80}$
$80=2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 5$
$\because \frac{17}{80}$-এর হর $80$ এবং $80$ উৎপাদকগুলি হল $2$ ও $5$
$\because \frac{17}{80}$-এর সসীম দশমিক বিস্তার পাওয়া যাবে।
(ii) $\frac{13}{24}$
$24=2 \times 2 \times 2 \times 3$
$\therefore$ $\frac{13}{24}$-এর হর $24$ এবং $24$-এর উৎপাদকগুলি হল $2$ ও $3$
$\therefore$ $\frac{13}{24}$-এর অসীম দশমিক বিস্তার পাওয়া যাবে।
(iii) $\frac{17}{12}$
$12=2 \times 2 \times 3$
$\because \frac{17}{12}$-এর হর $12$ এবং $12$-এর উৎপাদকগুলি হল $2$ ও $3$
$\therefore \frac{17}{12}$-এর অসীম দশমিক বিস্তার পাওয়া যাবে।
(iv) $\frac{16}{125}$
$125=5 \times 5 \times 5$
$\because$ $\frac{16}{125}$-এর হর $125$ এবং $125$-এর উৎপাদকটি হল $5$
$\because \frac{16}{125}$-এর সসীম দশমিক বিস্তার পাওয়া যাবে।
(v) $\frac{4}{35}$
$35=5 \times 7$
$\because \frac{4}{35}$-এর হর $35$ এবং $35$-এর উৎপাদকগুলি হল $5$ ও $7$
$\because \frac{4}{35}$-এর অসীম দশমিক বিস্তার পাওয়া যাবে।
[যে-কোনো মূলদ সংখ্যাকে দশমিকে বিস্তার করলে সেই মূলদ সংখ্যার হরের মৌলিক উৎপাদকে যদি কেবলমাত্র $2$ এবং $5$ থাকে তবে সেই সংখ্যাটি সসীম দশমিক সংখ্যা হবে।]

(i)$\frac{1}{11}$

$\therefore \frac{1}{11}=0.0909 \ldots=0 . \dot{0} \dot{9}$
$\therefore$ $\frac{1}{11}$-এর অসীম দশমিক বিস্তার পাওয়া যাবে।
(ii) $\frac{5}{8}$

$\therefore \frac{5}{8}=0.625$
$\therefore$$\frac{5}{8}$-এর সসীম দশমিক বিস্তার পাওয়া যাবে।
(iii) $\frac{3}{13}$

$\therefore \frac{3}{13}=0.2307692 \ldots=0.\dot{2}3076 \dot{9}$
$\therefore$ $\frac{3}{13}$-এর অসীম দশমিক বিস্তার পাওয়া যাবে।
(iv) $3 \frac{1}{8}$
$=3+\frac{1}{8}$
$=3+\frac{1 \times 125}{8 \times 125}$
$=3+\frac{125}{1000}$
$=3+0.125$
$=3.125$
$\therefore$ $3 \frac{1}{8}$-এর সসীম দশমিক বিস্তার পাওয়া যাবে।
(v) $\frac{2}{11}$

$\therefore \frac{2}{11}=0.1818 \ldots=0.\dot{1}\dot{8}$
$\therefore$ $\frac{2}{11}$-এর অসীম দশমিক বিস্তার পাওয়া যাবে।
(vi) $\frac{7}{25}=\frac{7 \times 4}{25 \times 4}=\frac{28}{100}=0.28$
$\therefore \frac{7}{25}$-এর সসীম দশমিক বিস্তার পাওয়া যাবে।

$0 . \dot{3}=0.3333 \ldots$
ধরি, $x=0.3333\ldots(i)$
$10 x=3.3333 \ldots\quad$(উভয়পক্ষকে $10$ দিয়ে গুণ করে পাই) $\ldots(ii)$
$(ii)$ থেকে $(i)$ বিয়োগ করে পাই
$10 x-x=3.3333 \ldots-0.3333 \ldots$
বা, $9 x=3$
বা, $x=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$
$\therefore$ $0 . \dot{3}=\frac{1}{3}$
বিকল্প পদ্ধতি :
$0.\dot{3}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$

$1 . \dot{3}=1.3333 \ldots$
ধরি, $x=1.3333 \ldots(i)$
$10 x=13.333 \ldots\quad$(উভয়পক্ষকে $10$ দিয়ে গুণ করে পাই) $\ldots(ii)$
$(ii)$ থেকে $(i)$-কে বিয়োগ করে পাই
$10 x-x=13.333 \ldots-1.333 \ldots$
বা, $9 x=12$
বা, $x=\frac{12}{9}=\frac{4}{3}$
$\therefore 1 . \dot{3}=\frac{4}{3}$
বিকল্প পদ্ধতি :
$1 . \dot{3}$
$=1+0 . \dot{3}$
$=1+\frac{3}{9}$
$=1+\frac{1}{3}$
$=\frac{4}{3}$

$0.5\dot{4}=0.54444 \ldots$
ধরি, $x=0.54444 \ldots(i)$
$10 x=5.4444\quad$ (উভয়পক্ষকে $10$ দিয়ে গুণ করে পাই) $\ldots(ii)$
$100x = 54.4444 \quad$(উভয়পক্ষকে $100$ দিয়ে গুণ করে পাই) $\ldots(iii)$
$(iii)$ থেকে $(ii)$ বিয়োগ করে পাই,
$100 x-10 x=54.4444 \ldots-5.4444 \ldots$
বা, $90 x=49$
বা, $x=\frac{49}{90}$
$\therefore 0.5\dot{4}=\frac{49}{90}$
বিকল্প পদ্ধতি :
$0.5\dot{4}=\frac{54-5}{90}=\frac{49}{90}$

$0.3 \dot{4}=0.343434 \ldots$
ধরি, $x=0.343434 \ldots (i)$
$100 x=34.3434 \ldots\quad$ (উভয়পক্ষকে $100$ দিয়ে গুণ করে পাই)$\ldots(ii)$
$(ii)$ থেকে $(i)$ বিয়োগ করে পাই,
$100 x-x=34.343434 \ldots-0.343434 \ldots$.
বা, $99 x=34$
বা, $x=\frac{34}{99}$
$\therefore 0 . \dot{3} \dot{4}=\frac{34}{99}$
বিকল্প পদ্ধতি :
$0 . \dot{3} \dot{4}=\frac{34}{99}$

$3.\dot{1} \dot{4}=3.141414 \ldots$
ধরি, $x=3.141414 \ldots (i)$
$100x =314.1414\ldots$
$\quad\quad$ (উভয়পক্ষকে $100$ দিয়ে গুণ করে পাই)$\ldots(ii)$
$(ii)$ থেকে $(i)$-কে বিয়োগ করে পাই,
$100 x-x=314.1414 \ldots-3.1414 \ldots$
বা, $99 x=314-3$
বা, $99 x=311$
বা, $x=\frac{311}{99}$
$\therefore 3.\dot{1} \dot{4}=\frac{311}{99}$
বিকল্প পদ্ধতি :
$3.\dot{1}\dot{4}$
$=3+0.\dot{1} \dot{4}$
$=3+\frac{14}{99}$
$=\frac{297+14}{99}$
$=\frac{311}{99}$

$0.1 \dot{7}=0.1777 \ldots$
ধরি, $x=0.1777 \ldots (i)$
$10 x=1.7777 \ldots\quad$ (উভয়পক্ষকে $10$ দিয়ে গুণ করে পাই) $\ldots(ii)$
$100 x=17.7777 \ldots$
$\quad\quad$ (উভয়পক্ষকে $100$ দিয়ে গুণ করে পাই) $\ldots(iii)$
$(iii)$ থেকে $(ii)$-কে বিয়োগ করে পাই,
$100 x-10 x=17.7777 \ldots-1.7777 \ldots$
বা, $99 x=17-1$
বা, $x=\frac{16}{90}$
বা, $x=\frac{8}{45}$
$\therefore 0.1 \dot{7}=\frac{8}{45}$
বিকল্প পদ্ধতি :
$0.1 \dot 7$
$=\frac{17-1}{90}$
$=\frac{16}{90}$
$=\frac{8}{45}$

$0.4 \dot{7}=0.4777 \ldots$
ধরি, $x = 0.4777\ldots(i)$
$10x=4.777\ldots\quad$ (উভয়পক্ষকে $10$ দিয়ে গুণ করে পাই) $\ldots(ii)$
$100x = 47.7777 \ldots$
$\quad \quad$ (উভয়পক্ষকে $100$ দিয়ে গুণ করে পাই) $\ldots(iii)$
$(iii)$ থেকে $(ii)$ বিয়োগ করে পাই,
$100 x-10 x=47.777 \ldots-4.777 \ldots$
বা, $90 x=47-4$
বা, $x=\frac{43}{90}$
$\therefore 0.4 \dot{7}=\frac{43}{90}$
বিকল্প পদ্ধতি :
$0.4\dot{7}=\frac{47-4}{90}=\frac{43}{90}$

$0 . \dot{5} \dot{4}=0.5454 \ldots$
ধরি, $x = 0.5454\ldots(i)$
$100x = 54.5454\ldots$
$\quad\quad$ (উভয়পক্ষকে $100$ দিয়ে গুণ করে পাই) $\ldots(ii)$
$(ii)$ থেকে $(i)$ বিয়োগ করে পাই,
$100 x-x=54.5454 \ldots-0.5454 \ldots$
বা, $99 x=54$
বা, $x=\frac{54}{99} =\frac{6}{11}$
$\therefore 0. \dot{5} \dot{4}=\frac{6}{11}$
বিকল্প পদ্ধতি :
$0 . \dot{5} \dot{4}=\frac{54}{99}=\frac{6}{11}$

$0.\dot{0}0\dot{1}=0.001001 \ldots$
ধরি, $x = 0.001001\ldots(i)$
$1000x= 1.001\ldots$
$\quad\quad$ (উভয়পক্ষকে $1000$ দিয়ে গুণ করে পাই) $\ldots(ii)$
$(ii)$ থেকে $(i)$-কে বিয়োগ করে পাই,
$1000 x-x=1.001 \ldots-0.001 \ldots$
বা, $999x=1$
বা, $x=\frac{1}{999}$
$\therefore 0.\dot{0}0\dot{1}=\frac{1}{999}$
বিকল্প পদ্ধতি :
$0.\dot{0}0\dot{1}=\frac{1}{999}$

$0.\dot{1}6 \dot{3}=0.163163 \ldots$
ধরি, $x=0.163163\ldots(i)$
$1000 x=163.163 \ldots$
$\quad\quad$(উভয়পক্ষকে $1000$ দিয়ে গুণ করে পাই)$\ldots(ii)$
$(ii)$ থেকে $(i)$ বিয়োগ করে পাই,
$1000 x-x=163.163 \ldots .-0.163163 \ldots$
বা, $999 x=163$
বা, $x=\frac{163}{999}$
$\therefore 0.\dot{1}6 \dot{3}=\frac{163}{999}$
বিকল্প পদ্ধতি :
$0.\dot{1}6 \dot{3}=\frac{163}{999}$

$\because$ অমূলদ সংখ্যাগুলির দশমিক বিস্তার অসীম ও অনাবৃত হয়।
$\therefore \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{7}, \sqrt{11}$–এই চারটি সংখ্যার দশমিক বিস্তার অসীম ও অনাবৃত্ত হবে।

$\frac{5}{7}=0 . \dot{7} 1428\dot{5}, \frac{9}{7}=1.\dot{2}8571 \dot{4}$
$\therefore \frac{5}{7}$ ও $\frac{9}{7}$-এর মধ্যে $3$ টি ভিন্ন অমূলদ সংখ্যা হল
(i) $0.71428507142850071428500071 \ldots$
(ii) $0.8080080008 \ldots$
(iii) $0.9191191119 \ldots$

$\frac{3}{7}=0.\dot{4}2857\dot{1}, \frac{1}{11}=0.\dot{0} \dot{9}$
$\frac{1}{11}$ ও $\frac{3}{7}$-এর $2$ টি ভিন্ন অমূলদ সংখ্যা হল
(i) $0.42857042857004285700042 \ldots$
(ii) $0.3737737773 \ldots$

(i) $\sqrt{47}$ একটি অমূলদ সংখ্যা
(ii) $\because \sqrt{625}=25,$
$\therefore \sqrt{625}$ একটি মূলদ সংখ্যা
(iii) $6.5757 \ldots=6. \dot 5 \dot 7=6+0.\dot 5 \dot 7$
$=6+\frac{57}{99}=\frac{594+57}{99}=\frac{651}{99}$
$\therefore 6.5757\ldots$ একটি মূলদ সংখ্যা।
(iv) $1.1010010001\ldots$ একটি অনাবৃত্ত দশমিক,
$\therefore$ এটি একটি অমূলদ সংখ্যা।

$2.\dot2 \dot{6}=2.2626 \ldots$

$5.5\dot4=5.5444 \ldots$

0.232332333233332... এবং 0.212112111211112... সংখ্যা দুটির মধ্যে দুটিমূলদ সংখ্যা হল 0.22, 0.23

0.2101 এবং 0.2222... বা $0.\dot{2}$ সংখ্যাদুটির মধ্যে দুটি মূলদ সংখ্যা হল 0.21, 0.211

সত্য বক্তব্য :
(i) 1 হল ক্ষুদ্রতম স্বাভাবিক সংখ্যা।
(ii) শূন্য স্বাভাবিক সংখ্যা নয়।
(iii) 0 এবং স্বাভাবিক সংখ্যাগুলিকে মিলে একত্রে অখন্ড সংখ্যার সৃষ্টি হয়।
(iv) বাস্তব সংখ্যা অসীম।
(v) $\frac{4}{5}$ একটি মূলদ সংখ্যা।
(vi) $\sqrt{5}$ একটি অমূলদ সংখ্যা।
(vii) 625 একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা।
(viii) সকল পূর্ণসংখ্যাই মূলদ সংখ্যা।
(ix) $3 < x < 5$ হলে, $x$-এর অসংখ্য মান হবে যারা মূলদ সংখ্যা।
(x) $\pi$ একটি অমূলদ সংখ্যা।
মিথ্যা বক্তব্য :
(i) $0.\dot3$ একটি অমূলদ সংখ্যা।
(ii) শূন্য স্বাভাবিক সংখ্যা।
(iii) $\frac{1}{3}$ একটি অমূলদ সংখ্যা।
(iv) 125 একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা।
(v) $\frac{25}{100}$ একটি অমূলদ সংখ্যা।
(vi) $x^{2}+1=0$ হলে, $x$-এর মান বাস্তব।
(vii) 1.02002000200002 ........ একটি মূলদ সংখ্যা।
(viii) দুটি অমূলদ সংখ্যার গুণফল সর্বদা অমূলদ সংখ্যা।
(ix) একটি মূলদ ও একটি অমূলদ সংখ্যার যোগফল মূলদ সংখ্যা।
(x) দুটি অমূলদ সংখ্যার ভাগফল সর্বদা অমূলদ সংখ্যা।

(i) $3 x^{2}+2 x+1$, যখন $x = 5$
$3 \times 5^{2}+2 \times 5+1$
$=3 \times 5 \times 5+2 \times 5+1$
এখানে দেখা যাচ্ছে $3$ টি গুণ ও $2$ টি যোগ করা হয়েছে।
$\therefore( 3 \times 2 + 2 \times 1)$ টাকা $= 8$ টাকা লাগবে।
[$\because$ একটা গুণ করতে $2$ টাকা ও একটা যোগ করতে $1$ টাকা লাগে।]
আবার যদি বিচ্ছেদ নিয়ম প্রয়োগ করা যায় তবে
$3 x^{2}+2 x+1=x(3 x+2)+1$
তবে এক্ষেত্রে $2$ টি গুণ ও $2$ টি যোগ করতে মোট লাগে
$(2 \times 2 + 2\times 1 )$ টাকা $= 6$ টাকা
$\therefore$ দ্বিতীয় পদ্ধতি অর্থাৎ বিচ্ছেদ নিয়ম প্রয়োগ করা হলে সবচেয়ে কম টাকা লাগবে।
(ii) $2 x^{3}+3 x^{2}+2 x+3$ যখন $x = 7$
$2 \times 7^{3}+3 \times 7^{2}+2 \times 7+3$
$=2 \times 7 \times 7 \times 7+3 \times 7 \times 7+2 \times 7+3$
এখানে দেখা যাচ্ছে $6$ টি গুণ ও $3$ টি যোগ করা হয়েছে।
$\therefore ( 6 \times 2 + 3 \times 1 )$ টাকা $= 15$ টাকা লাগবে আবার, যদি বিচ্ছেদ নিয়ম প্রয়োগ করা যায় তবে
$2 x^{3}+3 x^{2}+2 x+3$
$=2 x\left(x^{2}+1\right)+3\left(x^{2}+1\right)$
$=(2 x+3)\left(x^{2}+1\right)$
এক্ষেত্রে $4$ টি গুণ ও $3$ টি যোগ করতে মোট লাগে
$(4\times 2+3 \times 1)$ টাকা $= 11$ টাকা
$\therefore$ দ্বিতীয় পদ্ধতি অর্থাৎ বিচ্ছেদ নিয়ম প্রয়োগ করা হলে সবচেয়ে কম টাকা লাগবে।

$\sqrt{5}$-এর দশমিক বিস্তার একটি অসীম এবং অনাবৃত্ত দশমিক।

দুটি অমূলদ সংখ্যার গুণফল মূলদ বা অমূলদ সংখ্যা।

$\pi$ এবং $\frac{22}{7}$
$\pi$ একটি অমূলদ সংখ্যা কিন্তু $\frac{22}{7}$ মূলদ সংখ্যা।

দুটি মূলদ সংখ্যার মধ্যে অসংখ্য মূলদ সংখ্যা আছে।

দুটি অমূলদ সংখ্যার মধ্যে অসংখ্য অমূলদ সংখ্যা আছে।

0 একটি অখন্ড সংখ্যা, পূর্ণসংখ্যা, মূলদ সংখ্যা এবং বাস্তব সংখ্যা কিন্তু অমূলদ সংখ্যা নয়।

$(5+\sqrt{7})$ ও $(5-\sqrt{7})$ এমন দুটি অমূলদ সংখ্যা যাদের যোগফল
$5+\sqrt{7}+5-\sqrt{7}=10$, একটি মূলদ সংখ্যা।
কারণ $10=\frac{10}{1}$

$(\sqrt{11}+7)$ ও $(\sqrt{11}-7)$ এমন দুটি অমূলদ সংখ্যা যাদের বিয়োগফল $(\sqrt{11}+7)-(\sqrt{11}-7)=14$, একটি মূলদ সংখ্যা কারণ $14=\frac{14}{1}$

$\frac{1}{7}=\frac{1 \times 2}{7 \times 2}=\frac{2}{14}, \frac{2}{7}=\frac{2 \times 2}{7 \times 2}=\frac{4}{14}$
$\therefore \frac{1}{7}\left(=\frac{2}{14}\right)$ এবং $\frac{2}{7}\left(=\frac{4}{14}\right)$-এর মধ্যে একটি মূলদ সংখ্যা হল $\frac{3}{14}$
বিকল্প পদ্ধতি :
$\frac{1}{7} ও \frac{2}{7}$-এর মধ্যে একটি মূলদ সংখ্যা যেখানে,
$\left(x=\frac{1}{7}, y=\frac{2}{7}\right)$ হল $\frac{x+y}{2}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{7}+\frac{2}{7}\right)$
$=\frac{1}{2}\left(\frac{1+2}{7}\right)=\frac{1}{2} \times \frac{3}{7}=\frac{3}{14}$

$\frac{1}{7}=0.\dot14285\dot7$ এবং $\frac{2}{7}=0.\dot{2}8571 \dot{4}$
$\frac{1}{7}=(0 . \dot{1} 4285 \dot{7})$ এবং $\frac{2}{7}=(0.\dot28571\dot4)$-এর মধ্যবর্তী একটি অমূলদ সংখ্যা হল $0.1501500150001500001.....$

$0.0123 \dot{3}=\frac{123-12}{9000}=\frac{111}{9000}=\frac{37}{3000}$
বিকল্প পদ্ধতি :
$0.012\dot{3}=0.012333 \ldots$
ধরি, $x = 0.012333\ldots(i)$
$100x=1.2333\ldots\quad$ (উভয়পক্ষকে $100$ দিয়ে গুণ করে পাই) $\ldots(ii)$
$1000x =12.3333\ldots$
$\quad\quad$ (উভয়পক্ষকে $1000$ দিয়ে গুণ করে পাই) $\ldots(iii)$
$10000 x=123.333 \ldots$
$\quad\quad$ (উভয়পক্ষকে $10000$ দিয়ে গুণ করে পাই) $\ldots(iv)$
$(iv)$ থেকে $(iii)$ বিয়োগ করে পাই,
$10000 x-1000 x=123.333 \ldots-12.333 \ldots$
বা, $9000 x=123-12$
বা, $x=\frac{111}{9000}=\frac{37}{3000}$
$\therefore 0.012\dot3=\frac{37}{3000}$