বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি ৩.২ || Koshe Dekhi 3.2 Class 10 | Ganit Prakash Class 10 Chapter 3, Solution | WB Board Class 10 Math Solution In Bengali | class 10 maths solution wbbse | WBBSE Class 10(Ten)(X) Math Solution Of Chapter 3

ধরি, OC $\perp$ AB
$\therefore$ O বিন্দু থেকে AB জ্যা-এর দুরত্ব = OC
$\therefore$ C, AB-এর মধ্যবিন্দু।
$\therefore \mathrm{AC}=\frac{1}{2} \mathrm{AB}=(\frac{1}{2} \times 8)$ সেমি = 4 সেমি।
এখন, OAC সমকোণী ত্রিভুজে, $\mathrm{OA}^{2}=\mathrm{OC}^{2}+\mathrm{AC}^{2}$
বা, $(5)^{2}=O C^{2}+(4)^{2}$
[$\because$ OA = ব্যাসার্ধ = 5 সেমি, AC = 4 সেমি]
বা, $25=O C^{2}+16$
বা, $\mathrm{OC}^{2}=25-16$
বা, $\mathrm{OC}^{2}=9$
বা, $\mathrm{OC}=\sqrt{9}$
বা, OC = 3 সেমি।
$\therefore$ O বিন্দু থেকে AB জ্যা-এর লম্ব-দূরত্ব = 3 সেমি।

ধরি, OD $\perp$ PQ, $\because$ D, PQ-এর মধ্যবিন্দু
অর্থাৎ, $\mathrm{PD}=\frac{1}{2} \mathrm{PQ}$
বা,$\mathrm{PQ}=2 \mathrm{PD}$
$\because O D \perp P Q$,
$\therefore$ O থেকে PQ-এর দূরত্ব = OD = 5 সেমি।
এখন, বৃত্তের ব্যাস = 26 সেমি,
$\therefore$ ব্যাসার্ধ $=\frac{26}{2}$ সেমি = 13 সেমি।
এখন, OPD সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই,
$\mathrm{OP}^{2}=\mathrm{OD}^{2}+\mathrm{PD}^{2}$
বা, $13^{2}=5^{2}+\mathrm{PD}^{2}$
[$\because$ OP = ব্যাসার্ধ = 13 সেমি, OD = 5 সেমি]
বা, $169=25+\mathrm{PD}^{2}$
বা, $P D^{2}=169-25$
বা, $\mathrm{PD}^{2}=144$
বা, $\mathrm{PD}=\sqrt{144}=12$
$\therefore \mathrm{PQ}=2 \mathrm{PD}=2 \times 12$ সেমি = 24 সেমি।
$\therefore$ PQ জ্যা-এর দৈর্ঘ্য $=2 \times P D$
$=(2 \times 12)= 24$ সেমি।

O কেন্দ্রীয় বৃত্তের PQ জ্যা-র দৈর্ঘ্য = 4 সেমি; কেন্দ্র O বিন্দু থেকে PQ জ্যার উপর ON লম্ব আঁকা হয়েছে।
দেওয়া আছে যে, ON = 2.1 সেমি।

যেহেতু ${\rm{ ON }} \bot {\rm{ PQ}},{\rm{ PN}} = {\rm{QN}} = \frac{1}{2}{\rm{PQ}} = \frac{1}{2} \times 4$ সেমি = 2 সেমি।
$\triangle OPN=$ সমকোণী ত্রিভুজে OP = অতিভুজ সেজন্য
${\rm{O}}{{\rm{P}}^2} = {\rm{O}}{{\rm{N}}^2} + {\rm{P}}{{\rm{N}}^2} = {(2.1)^2} + {(2)^2}$$= 4.41 + 4 = 8.41{\rm{ }}$
$\therefore {\rm{ OP }} = \sqrt {8.41} = 2.9$
বৃত্তটির ব্যাসার্ধ = 2.9 সেমি।
$\therefore$ বৃত্তের ব্যাসের দৈর্ঘ্য = 2 $\times$ ব্যাসার্ধ = $(2 \times 2.9)$ সেমি = 5.8 সেমি।

ধরি, AB = 6 সেমি, CD = ৪ সেমি
AM = BM = $\frac{6}{2}$ = 3 সেমি।
সমকোণী $\Delta$MOB হইতে পাই
${\rm{O}}{{\rm{B}}^2} = {\rm{O}}{{\rm{M}}^2} + {\rm{M}}{{\rm{B}}^2} = {4^2} + {3^2} = 16 + 9 = 25$
$\therefore {\rm{OB}} = \sqrt {25} = 5$ সেমি অর্থাৎ বৃত্তটির ব্যাসার্ধ 5 সেমি. OC = 5 সেমি।
${\rm{CN}} = \frac{1}{2} \times {\rm{CD}} = (\frac{1}{2} \times 8) = 4$ সেমি
সমকোণী $\Delta$CON হইতে পাই,
$O C^2=O N^2+C N^2$
${\rm{ON}} = \sqrt {{\rm{O}}{{\rm{C}}^2} - {\rm{C}}{{\rm{N}}^2}}$ সেমি।
$= \sqrt {{5^2} - {4^2}}$ সেমি $= \sqrt {25 - 16}$ সেমি = $\sqrt 9$ সেমি = 3 সেমি
$\therefore$ অপর জ্যাটির কেন্দ্র থেকে দূরত্ব 3 সেমি।

ধরি, এ কেন্দ্রীয় বৃত্তে AB ও PQ দুটি জ্যা। O থেকে AB ও PQ-এর উপর লম্ব যথাক্রমে OC এবং OD
প্রশ্নানুসারে, OC = 7 সেমি। AB = 48 সেমি। OD = 20 সেমি। PQ = কত ?
এখন, AB = 48 সেমি,
$\therefore \mathrm{BC}=\frac{1}{2} \times \mathrm{AB}=(\frac{1}{2} \times 48)$ সেমি = 24 সেমি
তাহলে, OBC সমকোণী ত্রিভুজে,$\mathrm{OB}^{2}=\mathrm{BC}^{2}+\mathrm{OC}^{2}$
বা, $\mathrm{OB}^{2}=(24)^{2}+(7)^{2}$
$[\because B C=24 \mathrm{~cm}, O C=7 \mathrm{~cm}]$
বা, $\mathrm{OB}^{2}=576+49$
বা, $\mathrm{OB}^{2}=625$
বা, $\mathrm{OB}=\sqrt{625}=25$ $\therefore$ OQ = 25 সেমি।
[ $\therefore$ OB = OQ (একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ)]
আবার, OQD সমকোণী ত্রিভুজে,
$\mathrm{OQ}^{2}=\mathrm{OD}^{2}+\mathrm{DQ}^{2}$
বা, $(25)^{2}=(20)^{2}+D Q^{2}$
$[\because O Q=25 \mathrm{~cm}, O D=20 \mathrm{~cm}]$
বা, $625=400+\mathrm{DQ}^{2}$
বা, $\mathrm{DQ}^{2}=625-400$
বা, $\mathrm{DQ}^{2}=225$
$\therefore \mathrm{DQ}=\sqrt{225}=15$
তাহলে $\mathrm{PQ}=2 \mathrm{DQ}=(2 \times 15)=30$ সেমি
$\therefore$ PQ জ্যা-এর দৈর্ঘ্য = 30 সেমি।

O, A যুক্ত করি। তাহলে, OA বৃত্তটির ব্যাসার্ধ। এখন, AB = 6 সেমি,
$\therefore$ $A P=\frac{1}{2} A B$, [ $\because P, A B$-এর মধ্যবিন্দু।]
বা, $\mathrm{AP}=\frac{1}{2} \times 6$ সেমি; $\therefore$ AP = 3 সেমি। $\ldots \ldots$ (1)
আবার, $\mathrm{OP}=\mathrm{OC}-\mathrm{PC}$
বা, $\mathrm{OP}=(\mathrm{OC}-2)$ $\ldots \ldots$ (2)
$[\because PC=2 \mathrm{~cm}]$
এখন, AOP সমকোণী ত্রিভুজে পাই,
$\mathrm{OA}^{2}=\mathrm{AP}^{2}+\mathrm{OP}^{2}$
বা, $\mathrm{OA}^{2}=(3)^{2}+(\mathrm{OC}-2)^{2}[\because \mathrm{OP}=\mathrm{OC}-2]$
বা, $O A^2=9+(O C)^2-2 \times O C \times 2 +(2)^2$
বা, $\mathrm{OA}^{2}=9+\mathrm{OC}^{2}- 4OC + 4$
বা, $O A^2-O C^2=13-40 C$
বা, $0=13-4 \mathrm{OC}[\because \mathrm{OC}=\mathrm{OA}]$
বা, $4 \mathrm{OC}=13$
বা, $\mathrm{OC}=\frac{13}{4}=3 \cdot 25$
$\therefore$ বৃত্তটির ব্যাসার্ধ = 3.25 সেমি। .

মনে করি, $O$ কেন্দ্রীয় দুটি বৃত্তকে একটি সরলরেখা যথাক্রমে $A$ ও $B$ এবং $C$ ও $D$ বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করতে হবে যে, $AC = DB.$
অঙ্কন : $O$ বিন্দু থেকে $AB$ জ্যা-এর উপর $OP$ লম্ব আঁকা হল।
প্রমাণ : $AB$ জ্যা এর উপর বৃত্তের কেন্দ্র $O$ থেকে $OP$ লম্ব,
অর্থাৎ $AB$ জ্যা এবং $A B \perp O P$,
$\therefore A P=P B\ldots(i)$
আবার, $CD$ জ্যা এবং $C D \perp O P$,
$\therefore C P=P D\ldots(ii)$
এখন, (i) ও (ii) থেকে পাই,
$A P-C P=P B-P D$
$\therefore AC = DB.$ (প্রমাণিত)

ধরা যাক, O কেন্দ্রীয় একটি বৃত্তের AB ও CD দুটি জ্যা পরস্পরকে P বিন্দুতে এমনভাবে ছেদ করেছে যে, P বিন্দু AB-এর মধ্যবিন্দু।
প্রমাণ করতে হবে যে, P, CD-এর মধ্যবিন্দু হবে না।
অঙ্কন : O, P যুক্ত করা হল।
প্রমাণ : $\because$ P, AB-এর মধ্যবিন্দু।
$\therefore$ OP $\perp$ AB

$\because$ AB ও CD উভয়েই P বিন্দুগামী
$\therefore$ AB ও CD উভয়েই OP-এর উপর P বিন্দুতে লম্ব হতে পারে না।
(কারন আমরা জানি একটি সরলরেখাংশের উপর একটি বিন্দুতে একটি লম্ব অঙ্কন করা যায়)
$\therefore$ AB, OP-এর উপর লম্ব।
$\therefore$ CD, OP-এর উপর লম্ব নয়।
আবার যেহেতু কোনো জ্যা-এর মধ্যবিন্দু ও বৃত্তের কেন্দ্র-সংযোজক রেখাংশ জ্যা-এর উপর লম্ব।
সুতরাং, P, CD-এর মধ্যবিন্দু নয়।
উভয়েই ব্যাস হলে, অবশ্যই সংজ্ঞানুসারে পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করবে।

ধরি, কেন্দ্র X ও Y থেকে PA ও AQ-এর উপর যথাক্রমে XM ও YN দুটি লম্ব অঙ্কন করা হল। X, A এবং Y, A যুক্ত করি।
$\because \mathrm{XM} \perp \mathrm{PA}, \therefore \mathrm{AM}=\frac{1}{2} \mathrm{PA}$$\ldots \ldots$(1)।
আবার, $\mathrm{YN} \perp \mathrm{AQ}, \therefore \mathrm{AN}=\frac{1}{2} \mathrm{AQ}$$\ldots \ldots$(2)
এখন, $\because$ S, XY-এর মধ্যবিন্দু, $\therefore \mathrm{AS} \perp \mathrm{XY}$ [ $\because$ পরস্পরছেদী দুটি বৃত্তের কেন্দ্রদ্বয়ের সংযুক্ত সরলরেখা উহার সাধারণ জ্যাকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে।]
$\therefore$ AXS ও AYS সমকোণী ত্রিভুজদ্বয়ের মধ্যে
XS = YS [ $\therefore$ S, XY-এর মধ্যবিন্দু]
$\angle ASX$ = $\angle ASY$ [ $\because$ প্রত্যেকেই সমকোণ]
এবং AS সাধারণ বাহু।
$\triangle \mathrm{AXS} \cong \triangle \mathrm{AYS}$ [ সর্বসমতার S-A-S শর্তানুসারে]
$\therefore \mathrm{XA}=\mathrm{YA}$ [ $\therefore$ সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু]
এখন, XY এবং PQ উভয়ই AS-এর উপর লম্ব। $\therefore X Y \| P Q$
আবার, $\because$ XM ও YN উভয়ই PQ-এর উপর লম্ব। $\therefore \mathrm{XY}|| \mathrm{PQ}$
এখন, $\triangle \mathrm{AXM}$ ও $\triangle \mathrm{AYN}$-এর মধ্যে $\mathrm{XA}=\mathrm{YA}, \mathrm{SX}=S \mathrm{Y}$
এবং SA সাধারণ বাহু। $\therefore \Delta \mathrm{AXM} \cong \Delta \mathrm{AYN}$ [ $\therefore$ সর্বসমতার S-S-S শর্তানুসারে]
$\therefore$ AM = AN [ $\therefore$ সর্বসম ত্রিভুজদ্বয়ের অনুরূপ বাহু]
বা, $\frac{1}{2} \mathrm{PA}=\frac{1}{2} \mathrm{AQ}$ [ (1) ও (2) থেকে]
বা, PA = AQ $\therefore$ PA = AQ (প্রমাণিত)।

ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r সেমি. এবং বৃত্তের কেন্দ্র থেকে AB জ্যা-এর দূরত্ব $x$ সেমি।
$\therefore$ বৃত্তের কেন্দ্র থেকে CD জ্যা-এর দূরত্ব $(17 –x)$ সেমি.।
$\therefore \mathrm{r}^{2}=\mathrm{x}^{2}+5^{2}$ এবং $r^{2}=(17-x)^{2}+(12)^{2}$,
সুতরাং, ${x^2} + {5^2} = {(17 - x)^2} + {12^2}$
বা, $x^2+25=289-34 x+x^2+144$
বা, $34 x=408$
বা, $x=12$
$\therefore x = 12$
জ্যা দুটির মধ্যে দূরত্ব = PQ = 10 সেমি AB = 10 সেমি।
$\therefore$ PB = 5 সেমি। CD = 24 সেমি $\therefore$ QD = 12 সেমি

ধরি বৃত্তের ব্যাসার্ধ $= x$ সেমি
$\Delta$OPB তে; ${\rm{O}}{{\rm{P}}^2} = {\rm{O}}{{\rm{B}}^2} - {\rm{P}}{{\rm{B}}^2} = {x^2} - {5^2} = {x^2} - 25$
$\therefore {\rm{OP}} = \sqrt {{x^2} - 25}$
আবার অনুরূপে, $\Delta$OQD তে;
${\rm{O}}{{\rm{Q}}^2} = {\rm{O}}{{\rm{D}}^2} - {\rm{Q}}{{\rm{D}}^2} = {x^2} - {12^2} = {x^2} - 144$
$\therefore O Q=\sqrt{x^2-144}$
প্রশ্নানুসারে, $OP + OQ = 17$
$\therefore \sqrt {{x^2} - 25} + \sqrt {{x^2} - 144} = 17$
বা, ${x^2} - 25 + {x^2} - 144 + 2\sqrt {\left( {{x^2} - 25} \right)\left( {{x^2} - 144} \right)} = 289$
বা, $2{x^2} + 2\sqrt {\left( {{x^2} - 25} \right)\left( {{x^2} - 144} \right)} = 289 + 169$
বা, $2{x^2} + 2\sqrt {\left( {{x^2} - 25} \right)\left( {{x^2} - 144} \right)} = 458$
বা, $2\left(x^2+\sqrt{\left(x^2-25\right)\left(x^2-144\right.}\right)=458$
বা, ${x^2} + \sqrt {\left( {{x^2} - 25} \right)\left( {{x^2} - 144} \right)} = 229$
বা, $\left(x^2-229\right)^2=\sqrt{\left(x^2-25\right)\left(x^2-144\right)}$
বা, ${\left( {{x^2} - 229} \right)^2} = \left( {{x^2} - 25} \right)\left( {{x^2} - 144} \right)$
বা, ${x^4} - 458{x^2} + {(229)^2} = {x^4} - 169{x^2} + 3600$
বা, $- 458{x^2} + 169{x^2} + 52441 = 3600$
ৰা, $458{x^2} - 169{x^2} - 48841 = 0$
বা, $289{x^2} = 48841$
বা, ${x^2} = \frac{{48841}}{{289}} = 169$
$\therefore$ $x = \sqrt {169} = 13$
$\therefore$ বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 13 সেমি।

$\mathrm{PM} \perp \mathrm{CA}$ এবং $\mathrm{QN} \perp \mathrm{AD}$ অঙ্কন করি।
$\therefore \mathrm{AM}=\frac{1}{2} \mathrm{CA}$ এবং $\mathrm{AN}=\frac{1}{2} \mathrm{AD}$
$\therefore \mathrm{AM}+\mathrm{AN}=\frac{1}{2} \mathrm{CA}+\frac{1}{2} \mathrm{AD}$
বা, $\mathrm{MN}=\frac{1}{2}(\mathrm{CA}+\mathrm{AD})$
বা, $\mathrm{MN}=\frac{1}{2} \mathrm{CD}$$\ldots \ldots$(1) ।
আবার, CD || PQ এবং $\mathrm{PM} \perp \mathrm{CD}$ ও $\mathrm{QN} \perp \mathrm{CD}$, $\therefore$ PQ = MN
$\therefore \mathrm{PQ}=\frac{1}{2} \mathrm{CD}$ [ (1) থেকে]
বা, CD = 2PQ
$\therefore$ CD = 2PQ (প্রমাণিত)।

ধরি, O কেন্দ্রীয় বৃত্তে AB ও AC দুটি সমান জ্যা। A, O যুক্ত করি এবং D পর্যন্ত বর্ধিত করি।
প্রমাণ করতে হবে যে,$\angle \mathrm{BAC}$-এর সমদ্বিখণ্ডক O বিন্দুগামী। অর্থাৎ AD, $\angle \mathrm{BAC}$-এর সমদ্বিখণ্ডক প্রমাণ করলেই প্রমাণটি যথেষ্ট হবে।
অঙ্কন : O, B এবং O, C যুক্ত করি।
প্রমাণ : $\triangle \mathrm{AOB}$ ও $\Delta \mathrm{AOC}$-এর মধ্যে OB = OC (একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ)
AB = AC (প্রদত্ত) এবং OA সাধারণ বাহু।
$\therefore \Delta \mathrm{AOB} \cong \Delta \mathrm{AOC}$ [সর্বসমতার S-S-S শর্তানুসারে) ।
$\therefore \angle \mathrm{OAB}=\angle \mathrm{OAC}$ [সর্বসম ত্রিভুজদ্বয়ের অনুরূপ কোণ]
$\therefore$ AO বা AD, $\angle \mathrm{BAC}$-এর সমদ্বিখণ্ডক।
$\therefore \angle \mathrm{BAC}$-এর সমদ্বিখণ্ডক কেন্দ্রগামী। (প্রমাণিত)

ধরি, AB ও AC দুটি জ্যা O_কেন্দ্রীয় বৃত্তে পরস্পরকে A বিন্দুতে ছেদ করেছে। জ্যা-দুটির অন্তর্ভুক্ত কোণ $\angle \mathrm{BAC}$-এর সমদ্বিখণ্ডক AO কেন্দ্রগামী।
প্রমাণ করতে হবে যে, AB = AC
অঙ্কন : O, B এবং O, C যুক্ত করি।
প্রমাণ : $\triangle \mathrm{AOB}$ ও$\triangle \mathrm{AOC}$-এর মধ্যে
$\angle \mathrm{OBA}=\angle \mathrm{OAB}[\because \mathrm{OB}=\mathrm{OA}$, একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
$=\angle \mathrm{OAC}[\because \angle \mathrm{OAB}=\angle \mathrm{OAC}$ প্রদত্ত]
$=\angle \mathrm{OCA}[\because \mathrm{OC}=\mathrm{OA}$, একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ
অর্থাৎ, $\angle \mathrm{OBA}=\angle \mathrm{OCA}$ এবং $\angle \mathrm{OAB}=\angle \mathrm{OAC}$
এবং OA সাধারণ বাহু।
সর্বসমতার A - A - S শর্তানুসারে, $\Delta \mathrm{AOB} \cong \triangle \mathrm{AOC}$
$\therefore$ AB = AC [ $\therefore$ সর্বসম ত্রিভুজদ্বয়ের অনুরূপ বাহু]
$\therefore$ AB ও AC জ্যা দুটি সমান। (প্রমাণিত)

প্রমাণ : AB এবং CD দুটি জ্যা। বৃত্তের কেন্দ্র থেকে উহাদের দূরত্ব যথাক্রমে OP ও OQ. OP < OQ
প্রমাণ করতে হবে যে, AB > CD
OB ও OD যোগ করা হল। এখন P, AB-এর মধ্যবিন্দু
$\therefore$ PB = $\frac{1}{2}$ AB এবং Q, CD-এর মধ্যবিন্দু
$\therefore$ QD = $\frac{1}{2}$ CD

$\Delta \mathrm{OPB}$ তে; $\mathrm{OB}=\sqrt{\mathrm{PB}^{2}+\mathrm{OP}^{2}}$
$\Delta \mathrm{OQD}$ তে ; $\mathrm{OD}=\sqrt{\mathrm{OQ}^{2}+\mathrm{QD}^{2}} \because \mathrm{OB}=\mathrm{OD}$
$\therefore \sqrt{P B^{2}+O P^{2}}=\sqrt{O Q^{2}+Q D^{2}}$ $\because \mathrm{OP}\mathrm{QD}$
বা, $\frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}{\rm{AB > }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}{\rm{CD}}$
বা, AB > CD (প্রমাণিত)

একটি বৃত্তের ভিতর যে-কোনাে বিন্দু দিয়ে অসংখ্য জ্যা অঙ্কন করা যায়। এদের মধ্যে বৃত্তটির কেন্দ্র এবং অভ্যন্তরীণ বিন্দুয়ের সংযােজক সরলরেখাংশ যে জ্যা-টির লম্ব-সমদ্বিখণ্ডক হবে, সেই জ্যা-টিই ক্ষদ্রতম হবে। কারণ আমরা জানি, বৃত্তের কেন্দ্র থেকে কোনাে জ্যা-এর লম্ব-দূরত্ব যত বৃদ্ধি পাবে, জ্যা-টির দৈর্ঘ্য তত হ্রাস পাবে এবং উক্ত বিন্দু দিয়ে অপর যতগলি জ্যা অঙ্কন করা যায় তার মধ্যে উক্ত জ্যা-টির লম্ব-দুরত্বই বৃহত্তম হবে। অর্থাৎ, উক্ত জ্যা-টির লম্ব-দুরত্ব কেন্দ্র থেকে সর্বাধিক হবে। সুতরাং উক্ত জ্যা-টির দৈর্ঘ্যই ক্ষুদ্রতম হবে।
গাণিতিকভাবে, ধরি, O কেন্দ্রীয় বৃত্তের অভ্যন্তরে P যে-কোনাে একটি বিন্দু। O, P যুক্ত করা হল। OP-এর P বিন্দুতে লম্ব হয় এরূপ একটি সরলরেখাংশ CD অঙ্কন করি যা বৃত্তটিকে C ও D বিন্দুতে ছেদ করে। তাহলে, CD, P বিন্দুগামী একটি জ্যা।
ধরি, AB, P বিন্দুগামী অপর একটি জ্যা।।
প্রমাণ করতে হবে যে, CD জ্যাটিই ক্ষুদ্রতর।
অঙ্কন : $O Q \perp A B$ অঙ্কন করি।
প্রমাণ : $\angle O Q P$ = সমকোণ $[\because \mathrm{OQ} \perp \mathrm{AB}]$
$\therefore$ $\triangle O P Q$-এর $\angle \mathrm{OQP}>\angle \mathrm{OPQ}$
$\Rightarrow \mathrm{OP}>\mathrm{OQ}$ [$\therefore$ বৃহত্তর কোণের বিপরীত বাহু ক্ষুদ্রতর কোণের বিপরীত বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর]
অর্থাৎ, কেন্দ্র O থেকে CD জ্যাটির লম্ব-দূরত্ব AB জ্যাটির লম্ব-দূরত্ব অপেক্ষা বৃহত্তর। সুতরাং কেন্দ্র থেকে CD জ্যাটি দূরবর্তী। সুতরাং, CD জ্যাটি AB জ্যা-এর চেয়ে ক্ষুদ্রতর।
এভাবে, প্রমাণ করা যায় যে, P বিন্দু দিয়ে যত জ্যা-ই অঙ্কন করা যােক না কেন, তাদের সবগুলিই CD অপেক্ষা বৃহত্তর। সুতরাং CD-ই ক্ষুদ্রতম জ্যা। (প্রমাণিত)

$\angle A O B=60^{\circ}$ হলে $\angle C O D=60^{\circ}$
কারন একই বৃত্তের সমান দুটি জ্যা কেন্দ্রে সমান সম্মুখ কোণ উৎপন্ন করে।
(c) $60^{\circ}$

ধরি, AB জ্যা-এর দৈর্ঘ্য 10 সেমি।
O বৃত্তের কেন্দ্র এবং $\mathrm{OC} \perp \mathrm{AB}$
$\therefore$ নির্ণেয় দুরত্ব = $\mathrm{OC}$
প্রশ্নানুসারে, বৃত্তের ব্যাসার্ধ, OA = 13 সেমি।
এখন, OAC সমকোণী ত্রিভুজে,
$\mathrm{OA}^{2}=\mathrm{OC}^{2}+\mathrm{AC}^{2}[\because \mathrm{OA}$ = অতিভুজ] $\ldots\ldots$ (1)
এখন $O C \perp A B$, C, AB-এর মধ্যবিন্দু।
$\therefore$ $\mathrm{AC}=\frac{1}{2} \mathrm{AB}=(\frac{1}{2} \times 10)$ সেমি = 5 সেমি
$\therefore$ (1) থেকে পাই, $13^{2}=O C^{2}+5^{2}[\because O A=13$ সেমি]।
বা, $169=O C^{2}+25$
বা,$O C^{2}=169-25=144$ $\therefore O C=\sqrt{144}=12$
$\therefore$ নির্ণেয় দূরত্ব = 12 সেমি। $\therefore$ (b) উত্তরটি সঠিক।

ধরি, O কেন্দ্রীয় বৃত্তে AB ও CD দুটি সমান দৈর্ঘ্যের জ্যা। O বিন্দু থেকে AB ও CD-এর উপর যথাক্রমে OP ও OQ লম্ব।
$\therefore$ O বিন্দু থেকে AB-এর দূরত্ব = OP এবং O বিন্দু থেকে CD-এর দূরত্ব = OQ
এখন AB-এর উপর OP লম্ব। $\therefore$ P, AB-এর মধ্যবিন্দু।
$\therefore$ $\mathrm{BP}=\frac{1}{2} \times \mathrm{AB}$ $\ldots\ldots$ (1)
আবার, CD-এর উপর OQ লম্ব। $\therefore$ Q, CD-এর মধ্যবিন্দু।
$\therefore C Q=\frac{1}{2} \times C D$ $\ldots\ldots$(2)
(I) ও (2) থেকে পাই, BP = CQ [ $\therefore$ AB = CD প্রদত্ত]
এখন, OBP ও QCQ সমকোণী ত্রিভুজের মধ্যে
অতিভুজ OB = অতিভুজ $\mathrm{OC}$ [$\therefore$ একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ)
BP = CQ এবং $\angle \mathrm{OPB}=\angle \mathrm{OQC}$ [$\because$ প্রত্যেকেই সমকোণ]
$\therefore \triangle O B P$ $\cong \Delta O C Q$
$\therefore$ OP = OQ
বা, $4=\mathrm{OQ}$ [ $\therefore$ OP = 4 সেমি]
$\therefore$$\mathrm{OQ}=4$ সেমি।$\therefore$ (b) উত্তরটি সঠিক।

ধরি, O কেন্দ্রীয় বৃত্তে AB ও CD দুটি সমান্তরাল জ্যা। O থেকে AB ও CD-এর উপর যথাক্রমে OP ও OQ লম্ব।
$\because$ AB || CD, $\therefore$ OP ও $\mathrm{OQ}$ একই সরলরেখায় অবস্থিত।
$\therefore$ জ্যা-দুটির মধ্যে দূরত্ব = OP + OQ $\ldots\ldots$(1)
প্রশ্নানুসারে, $\mathrm{OA}=\mathrm{OC}$ = বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 10 সেমি। এখন, $O P \perp A B$,\ (\therefore\) P, AB-এর মধ্যবিন্দু। একইভাবে, Q, CD-এর মধ্যবিন্দু।
$\therefore$ $\mathrm{AP}=\frac{1}{2} \mathrm{AB}=\frac{1}{2} \times 16$ সেমি = 8সেমি।
আবার, $\mathrm{CQ}=\frac{1}{2} \mathrm{CD}=\frac{1}{2} \times 16$ সেমি = 8সেমি
এখন, OAP সমকোণী ত্রিভুজে, $\mathrm{OA}^{2}=\mathrm{OP}^{2}+\mathrm{AP}^{2}$
বা, $(10)^{2}=O P^{2}+(8)^{2}$ [ $\because$ AP = 8 সেমি এবং OA = 10 সেমি]
বা, $100=O P^{2}+64$
বা, $\mathrm{OP}^{2}=100-64=36 \Rightarrow \mathrm{OP}=6 .$
অনুরূপে OCQ সমকোণী ত্রিভুজে, $\mathrm{OC}^{2}=\mathrm{OQ}^{2}+\mathrm{CQ}^{2}$
বা, $(10)^{2}=\mathrm{OQ}^{2}+(8)^{2}$ [ $\because$ OC = 10 সেমি এবং CQ = 8, সেমি]
বা, $100=\mathrm{OQ}^{2}+64$
বা, $\mathrm{OQ}^{2}=100-64$
বা, $\mathrm{OQ}^{2}=36$
বা, OQ = 6
(1) নং থেকে পাই, জ্যা-দুটির দুরত্ব = $\mathrm{OP}+\mathrm{OQ}$ = 6 + 6 সেমি = 12 সেমি।
$\therefore$ নির্ণেয় দূরত্ব = 12 সেমি।

ধরি, $\mathrm{O}$ সমকেন্দ্রীয় দুটি বৃত্তে AB সরলরেখাটি বড়াে বৃত্তটিকে A ও B বিন্দুতে এবং ছােটো বৃত্তটিকে C ও D বিন্দুতে ছেদ করেছে।
ধরি,$\mathrm{OP} \perp \mathrm{CD}, \therefore \mathrm{OP} \perp \mathrm{AB}$ উভয়ের মধ্যবিন্দু।
$\therefore$ PC = PD এবং PA = PB
এখন, BD = PB – PD [চিত্রানুসারে]
= PA – PC [ $\because$ PB = PA এবং PD = PC]
= AC
= 5 সেমি [ $\because$ AC = 5 সেমি প্রদত্ত]
$\therefore$ BD-এর দৈর্ঘ্য = 5 সেমি, $\therefore$ (b) উত্তরটি সঠিক।

মিথ্যা,
কারণ দুটি সমরেখ বিন্দু দিয়ে যায় এরকম একটি বৃত্ত অঙ্কন করা যায়।

সত্য

মিথ্যা।

কারণ জ্যা দ্বয় সমান কিনা তা আমাদের অজানা।

$P Q: R S=1: 1$
জ্যা দুটির দৈর্ঘ্য সমান,
আমরা জানি কোন বৃত্তের সমান দৈর্ঘ্যের জ্যা কেন্দ্রে সমান কোন উৎপন্ন করে।
$\therefore \angle P O Q: \angle R O S=1: 1$

কেন্দ্রগামী

ধরি, P ও Q বৃত্ত দুটির কেন্দ্র এবং CD এদের সাধারণ জ্যা। ধরি, কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব PQ, CD-কে O বিন্দুতে ছেদ করেছে।
$\therefore \mathrm{O}, \mathrm{CD}$ এর মধ্যবিন্দু $[\because \mathrm{PO} \perp \mathrm{CD}]$
$\therefore C O=\frac{1}{2} C D=(\frac{1}{2} \times 12)$ সেমি ($\because \mathrm{CD}=12$ সেমি) = 6 সেমি
প্রশ্নানুসারে, CP = 10 সেমি।
এখন, POC সমকোণী ত্রিভুজে, $\mathrm{CP}^{2}=\mathrm{OC}^{2}+\mathrm{OP}^{2}$
বা, $(10)^{2}=(6)^{2}+\mathrm{OP}^{2}$[$\therefore$ CP = 10 সেমি, OC = 6 সেমি]
বা, $100=36+\mathrm{OP}^{2}$
বা, $\mathrm{OP}^{2}=100-36$
বা, $\mathrm{OP}^{2}=64$
বা, $O P=\sqrt{64}$
বা, OP = 8
$\therefore P Q=2 \times O P$ [ $\because$ OP = OQ] = $( 2 \times 8)$ সেমি = 16 সেমি।
$\therefore$ বৃত্ত দুটির কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব 16 সেমি।

ধরি, O বৃত্তের কেন্দ্র। O, A যুক্ত করি। ধরি, OA, BC-কে D বিন্দুতে ছেদ করেছে।
এখন, $\triangle \mathrm{BOD}$ ও $\Delta \mathrm{COD}$-এর মধ্যে OB = OC [ $\therefore$ একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
$\angle B O D=\angle C O D$ [$\therefore$ সমান সমান জ্যা কেন্দ্রে সমান কোণ উৎপন্ন করে ] এবং OD সাধারণ বাহু।
$\therefore$ $\triangle \mathrm{BOD} \cong \triangle \mathrm{COD}$
(S-A-S শর্তানুসারে)
$\therefore$ BD = CD,
$\therefore$ D, BC-এর মধ্যবিন্দু। $\therefore$ $\mathrm{OD} \perp \mathrm{BC}$.
$\therefore$ BOD সমকোণী ত্রিভুজ। $\therefore \mathrm{OB}^{2}=\mathrm{BD}^{2}+\mathrm{OD}^{2}$
বা, $(5)^{2}=B D^{2}+O D^{2}$
বা, $25=B D^{2}+O D^{2}$ $\ldots\ldots$ (1)
আবার ABD সমকোণী ত্রিভুজে,$\mathrm{AB}^{2}=\mathrm{BD}^{2}+\mathrm{AD}^{2}$
বা, $(6)^{2}=B D^{2}+A D^{2}$
বা, $36=B D^{2}+A D^{2}$ $\ldots\ldots$ (2)
$\therefore$ (2) থেকে (1) বিয়ােগ করে পাই,
$\mathrm{AD}^{2}-\mathrm{OD}^{2}=36-25=11$
বা$(\mathrm{AD}+\mathrm{OD})(\mathrm{AD}-\mathrm{OD})=11$
বা, $\mathrm{OA}(\mathrm{AD}-\mathrm{OD})=11$
বা, $5(\mathrm{AD}-\mathrm{OD})=11$
বা, $\mathrm{AD}-\mathrm{OD}=\frac{11}{5}$ $\ldots\ldots$ (3)
আবার, $\mathrm{AD}+\mathrm{OD}=5$$\ldots\ldots$ (4)
এখন (3) ও (4) যােগ করে পাই,
$2 \mathrm{AD}=\frac{11}{5}+5 =\frac{11+25}{5}=\frac{36}{5}$
বা, $A O=\frac{36}{5} \times \frac{1}{2}$
বা, $2 \mathrm{AD}=\frac{36}{5}$
বা, $\mathrm{AD}=\frac{18}{5}$
$\therefore$ ABD সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই, $A B^{2}=B D^{2}+A D^{2}$
বা, $(6)^{2}=B D^{2}+\left(\frac{18}{5}\right)^{2}$
বা, $36=\mathrm{BD}^{2}+\frac{324}{25}$
বা, $\mathrm{BD}^{2}=36-\frac{324}{25}$
বা, $\mathrm{BD}^{2}=\frac{900-324}{25}$
বা, $\mathrm{BD}=\sqrt{\frac{576}{25}}=\frac{24}{5}$
$\therefore B C=2 \times B D$ [ $\therefore$ D, BC-এর মধ্যবিন্দু]
$=2 \times \frac{24}{5}$ সেমি $=\frac{48}{5}$ সেমি $=9.6$
$\therefore$ BC জ্যা-এর দৈর্ঘ্য = 9.6 সেমি।

$\triangle \mathrm{AOB}$-এ OA = OB [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
$\therefore$ $\angle OAB$ = $\angle OBA$
এখন, $\angle AOB$ + $\angle OAB$ + $\angle OBA$ = 180°
বা, 60° + $\angle OAB$ + $\angle OAB$ = 180° [$\therefore$$\angle OBA$ = $\angle \mathrm{OAB}$]
বা, $2 \angle \mathrm{OAB}=120^{\circ}$
বা, $\angle O A B=\frac{120^{\circ}}{2}$
বা, $\angle \mathrm{OAB}=60^{\circ}$
$\therefore \triangle \mathrm{OAB}$-এর $\angle \mathrm{OAB}=\angle \mathrm{OBA}=\angle \mathrm{AOB}=60^{\circ}$
$\therefore \triangle \mathrm{AOB}$ সমবাহু। $\therefore \mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{AB}$
কিন্তু $A B=C D=6$সেমি। $\therefore \mathrm{OA}=\mathrm{OB}=6$ সেমি।
$\therefore$ বৃত্তটির ব্যাসার্ধ = 6 সেমি।

ধরি, O কেন্দ্রীয় বৃত্তে P বিন্দুগামী জ্যা AB. O, P যুক্ত করি।
প্রশ্নানুসারে, OA = 5 সেমি। OP = 3 সেমি।
এখন, AB-এর দৈর্ঘ্য ন্যূনতম হবে যদি OP, AB-এর উপর লম্ব হয় ।
$\therefore$ $\Delta \mathrm{OAP}$ একটি সমকোণী ত্রিভুজ।
$\therefore \mathrm{OA}^{2}=\mathrm{AP}^{2}+\mathrm{OP}^{2}$
বা, $(5)^{2}=A P^{2}+(3)^{2}$ $[\because OA=5 \mathrm{~cm}, O P=3 \mathrm{~cm}]$
বা, $25=\mathrm{AP}^{2}+9$
বা, $\mathrm{AP}^{2}=25-9$
বা, $\mathrm{AP}^{2}=16$
বা, $\mathrm{AP}=\sqrt{16}=4$ .
আবার, $\because \mathrm{OP} \perp \mathrm{AB}$ $\therefore \mathrm{P}, \mathrm{AB}$-এর মধ্যবিন্দু ।
$\therefore \mathrm{AB}=2 \times \mathrm{AP}=2 \times 4$ সেমি = 8 সেমি।
$\therefore$ P বিন্দুগামী যে জ্যা-টির দৈর্ঘ্য ন্যূনতম সেটির দৈর্ঘ্য 8 সেমি।

ধরি, PM $\perp$ CD এবং $\mathrm{QN} \perp \mathrm{CD}$
$\because \mathrm{PQ}|| \mathrm{CD}$, $\therefore \mathrm{PQ}=\mathrm{MN}$ এখন PQ= 5 সেমি
$\therefore$ MN = 5 সেমি
এখন , $\mathrm{MN}=\mathrm{AM}+\mathrm{AN}$
বা, $\mathrm{MN}=\frac{1}{2} \mathrm{AC}+\frac{1}{2} \mathrm{AD}$ $\left[\because \mathrm{PM} \perp \mathrm{AC} \Rightarrow \mathrm{AM}=\frac{1}{2} \mathrm{AC}\right.$ এবং
$\mathrm{QN} \perp \mathrm{AD} \Rightarrow$ $\left.\mathrm{AN}=\frac{1}{2} \mathrm{AD} .\right]$
বা, $\mathrm{MN}=\frac{1}{2}(\mathrm{AC}+\mathrm{AD})$
বা, $5=\frac{1}{2} \times \mathrm{CD}$ $[\because \mathrm{AC}+\mathrm{AD}=\mathrm{CD}]$
বা, $\mathrm{CD}=5 \times 2=10$
$\therefore$ CD জ্যা-এর দৈর্ঘ্য = 10 সেমি।