ধরা যাক, দুজন ব্যক্তির উভয়েই \(P\) বিন্দু থেকে যাত্রা শুরু করলেন।
প্রথম ব্যক্তি \(P\) বিন্দু থেকে সরাসরি দক্ষিণ দিক বরাবর পূর্ব-পশ্চিমমুখী \(AB\) রাস্তার উপর \(D\) বিন্দুতে এসে পৌঁছোলেন।
অপর ব্যক্তি দক্ষিণ-পূর্ব দিক বরাবর আসতে শুরু করলেন
এবং \(AB\) রাস্তার উপর \(E\) বিন্দুতে এসে পৌঁছোলেন।
ছবি থেকে স্পষ্ট যে, \( P D \perp A B \)
তাহলে \( \triangle \mathrm{PDE} \)-এর,\( \angle \mathrm{PDE}=90^{\circ}, \angle \mathrm{PDE}>\angle \mathrm{PED} \)
\(\therefore PE > PD\) ত্রিভুজের [বৃহত্তম কোণের বিপরীত বাহু ক্ষুদ্রতম কোণের বিপরীত বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর]
তাহলে দ্বিতীয় ব্যক্তিকে ওই রাস্তায় পৌঁছোতে গেলে বেশি পথ অতিক্রম করতে হয়,ফলে দ্বিতীয় ব্যক্তির সময়ও অনেক বেশি লাগবে।
\(\therefore\) প্রথম ব্যক্তি ওই রাস্তায় আগে আসবেন।

প্রদত্ত : \(ABCD\) একটি চতুর্ভুজ যার \(AB = AD\) ও \(BC = DC\) । \(D\) বিন্দু থেকে \(AC\) বাহুর উপর ক্ষুদ্রতম দূরত্ব \(DP\) ।
তাহলে \(DP, AC\)-এর উপর লম্ব হবে।
প্রামাণ্য বিষয় : \(B, P \) ও \(D\) বিন্দু তিনটি সমরেখ।
অঙ্কন : \(B\) ও \(P\) বিন্দুকে যুক্ত করা হল।
প্রমাণ : \( \triangle \mathrm{ABC} \) ও \( \triangle \mathrm{ADC} \)-এর
\(AB = AD\) [প্রদত্ত]
\(BC = CD\) [প্রদত্ত] এবং \(AC\) হল সাধারণ বাহু
\( \triangle \mathrm{ABC} \cong \triangle \mathrm{ADC} \) [বাহু-বাহু-বাহু সূত্রানুসারে]
\(\therefore\) \( \angle B A C=\angle D A C \) [সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ কোণ]
\( \angle \mathrm{BCA}=\angle \mathrm{DCA} \) [সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ কোণ]
অর্থাৎ \( \angle \mathrm{BCP}=\angle \mathrm{DCP} \)
আবার, \( \triangle \mathrm{BPC} \) ও \( \triangle \mathrm{DPC} \)-এর
\(BC = CD\) [প্রদত্ত]
\(PC\) হল সাধারণ বাহু
\( \angle \mathrm{BCP}=\angle \mathrm{DCP} \)
তাহলে \( \triangle B P C \cong \triangle \mathrm{DPC} \) [বাহু-কোণ-বাহু সূত্রানুসারে]
\(\therefore\) \( \angle \mathrm{DPC}=\angle \mathrm{BPC} \) [সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ কোণ]
\(\therefore\) \(DP, AC\)-এর উপর লম্ব, অর্থাৎ\( \angle D P C=90^{\circ} \)
\(\therefore\) \( \angle B P C=90^{\circ} \)
তাহলে, \( \angle B P D=\angle B P C+\angle D P C=90^{\circ}+90^{\circ}=180^{\circ} \)
\(\therefore\) \(B, P\) ও \(D\) বিন্দু তিনটি সমরেখ। (প্রমাণিত)

প্রদত্ত : \( \triangle \mathrm{ABC} \)-এর \(AD\) মধ্যমা। \(B\) ও \(C\) বিন্দু থেকে \(AD\) বাহুর উপর ক্ষুদ্রতম দূরত্ব \(BP\) ও \(CQ\)
\(\therefore\) \(BP, AD\) -এর উপর লম্ব
\(CQ\), বর্ধিত \(AD\)-এর উপর লম্ব
প্রামাণ্য বিষয় : \(BP = CQ\)
প্রমাণ : \( \triangle \mathrm{ABC} \)-এর মধ্যমা AD
\(\therefore\) \(CD = BD\quad \) [\(\because \) \(BC\) বাহুর মধ্যবিন্দু \(D\)]
তাহলে \( \triangle \mathrm{CDQ} \) ও \( \triangle \mathrm{BPD} \)-এর
\( \mathrm{CD}=\mathrm{BD}\)
\(\angle \mathrm{CQD}=\angle \mathrm{BPD} \)
[\(\because \) \(CQ,\) বর্ধিত \(AD\)-এর উপর লম্ব; \(BP, AD\)-এর উপর লম্ব]
এবং \( \angle C D Q=\angle B D P \) [বিপ্রতীপ কোণ]
\( \triangle \mathrm{CDQ} \cong \triangle \mathrm{BPD} \) [কোণ-কোণ-বাহু সূত্রানুসারে]
\(\therefore\) \(BP = CQ\) [সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু] (প্রমাণিত)